Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 6
CI
GI I SUMY  lista zadań
1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
n
2 3 3n -� 5 1 3
n
a) an =� 4 +� +� , b) an =� 3 +� 2 �� n , c) an =� , d) an =� ( )n +� (-� )n ,
n
n 2 4
n2 2 +� 4
2n +� 4n 3n-�1 +� 2 3n +� 5 4n2 +� 3n +� 4
e) an =� , f ) an =� , g) an =� , h) an =� ,
2n +� 1
4n 3n n2 +� n +� 1
(2n +� 3)(3n -�1) (3n -�1)2 4n +� 2 7n +� 5
i) an =� , j) an =� , k) an =� , l) an =� ,
n +� 5
n2 +� 9 2n2 +� 4
n2 +� 4
n +� 1 n +� 1 n +� 3 n +� 5 n +� 4
ł) an =� ( )4n , m) an =� ( )2n+�5 , n) an =� ( )2n , o) an =� ( )n+�6 , p) an =� ( )3n .
n n n n n +� 3
2. Wypisać wszystkie składniki sumy. Obliczyć tę sumę:
4 7 3 4 6 5 1
1
2 k k +�3
a) , b) , c) , d) , e) +� 2) , f) , g)
��i ��3i ��i ��2 ��(3k �� ��2 ,
k
i=�2 i=�1 i=�1 k =�1 k =�1 k =�1 k =�-�2
6 10 4
3
h) , i) , j) �� 2k .
��k ��2 ��k
k =�3 k =�1 k =�4
3. Następujące sumy zapisać w notacji  sigmowej :
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a) 1 +� 2 +� 3 +� ... +� 9 , b) 1 +� +� +� +� +� , c) +� +� +� +� , d) 7 +� 12 +� 17 +� 22 +� 27 +� 32 ,
2 3 4 5 6 3 4 5 6 7
e) 3 +� 6 +� 12 +� 24 , f) 1 +� 3 +� 5 +� ... +� 21, g) 3 +� 8 +� 13 +� ... +� 73 .
100 50
4. Obliczyć sumy: a) +� 2) , b) -�1) .
��(3k ��(2k
k =�1 k =�5
5. Następujące sumy zapisać w notacji  sigmowej oraz obliczyć wartość tych sum:
a) 3 +� 5 +� 7 +�... +� 1023 , b) 100 +� 105 +� 110 +�...+� 995 .
6. Czy następujące sumy są sobie równe?
3 3 3 5 5 n n
3 3 2 2
a) +� 2i) =� +�2 , b) =� (
��(i ��i ��i ��i ��i) c) ��(3i +� 4) =� 3��i +� 4n .
i=�1 i=�1 i=�1 i=�1 i=�1 i=�1 i=�1
7. Obliczyć sumy:
20 20 20 20 40
a) +� -� n) , b) +� -�1) -� .
��n ��(5 ��2n ��(2n ��n
n=�1 n=�1 n=�1 n=�1 n=�1
8. Niech (an ) będzie ciągiem określonym rekurencyjnie: a1 =� 2 , an =� 2an-�1 +�1 dla n ł� 2 . Obliczyć
4 3 3
sumy: a) , b) , c)
3n
��a2n ��a3n-�2 ��(a +� 2) .
n=�1 n=�1 n=�1
Ciągi i sumy  lista zadań
2
Odpowiedzi
4 1 3 9
1. a) 4, b) 5, c) -� , d) 0, e) 1, f) , g) , h) 4, i) 6, j) , k) 2, l) 7, ł) e4 , m) e2 , n) e6 ,
5 3 2 2
o) e5 , p) e3 .
2. a) 2 +� 3 +� 4 =� 9 , b) 3 +� 6 +� 9 +�12 +�15 +�18 +� 21 =� 84 , c) 12 +� 22 +� 32 =�14 , d) 21 +� 22 +� 23 +� 24 =� 30 ,
1 1 1 1 137
e) 5 +� 8 +�11+�14 +�17 +� 20 =� 75 , f) 1+� +� +� +� =� , g) 21 +� 22 +� 23 +� 24 =� 30 ,
2 3 4 5 60
h) 33 +� 43 +� 53 +� 63 =� 432 , i) 2 +� 2 +� ... +� 2 =� 20 , j) 64 .
1�4� 3�
4�2�4�4�
10 razy
9 6 576 4 11 15
1
-�1
3. a) , b) , c)
��k ��1 ��k +� 2 =� ��1 , d) ��(5k +� 2) , e) ��3�� 2k , f) ��(2k -�1) , g) ��(5k -� 2) .
k k
k =�1 k =�1 k =�1 k =�3 k =�1 k =�1 k =�1 k =�1
5 +� 302 9 +� 99
4. a) ��100 =�15 350 , b) �� 46 =� 2 484 .
2 2
511 180
5. a) +�1) =� ��511 =� ��180 =�
��(2k 3 +�1023 262143 , b) ��(5k +� 95) =� 100 +� 995 98 550 .
2 2
k =�1 k =�1
5 5
2 2
6. a) tak, b) nie =� 55 , ( =�152 =� 225 , c) tak.
��i ��i)
i=�1 i=�1
7. a) 100, b) 0.
8. a1 =� 2 , a2 =� 5, a3 =�11, a4 =� 23 , a5 =� 47 , a6 =� 95 , a7 =�191, a8 =� 383, a9 =� 767 .
a) a2 +� a4 +� a6 +� a8 =� 5 +� 23 +� 95 +� 383 =� 506 , b) a1 +� a4 +� a7 =� 2 +� 23 +�191 =� 216 ,
c) (a3 +� 2) +� (a6 +� 2) +� (a9 +� 2) =�13 +� 97 +� 769 =� 879 .