Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 9
GRANICA I CI
GA
OŚĆ FUNKCJI. GRANICE NIEWA
AÅšCIWE W PUNKCIE
1. Granica i ciągłość funkcji w punkcie
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie S punktu x0. Jeżeli dla każdego ciągu (xn )
o wyrazach należących do S i zbieżnego do x0 , ciąg wartości funkcji ( f (xn )) jest zbieżny do g , to liczbę
g nazywamy granicÄ… funkcji f w punkcie x0 . Zapisujemy wtedy lim f (x) =ð g .
x®ðx0
-ð
Jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo S punktu x0 zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym S (lub
+ð
prawostronnym S ) , to otrzymamy definicjÄ™ granicy lewostronnej (lub prawostronnej) funkcji f
w punkcie x0. Stosujemy przy tym zapis: lim f (x) (lub zapis: lim f (x)).
-ð +ð
x®ðx0 x®ðx0
GranicÄ™ lewostronnÄ… i prawostronnÄ… nazywamy granicami jednostronnymi. IlustracjÄ™ granic
jednostronnych przedstawiono na rys.1.
lim f (x) =ð g
Y Y
x®ðx0-ð
g g
lim f (x) =ð g
+ð
x®ðx0
f (xn) f (xn)
y =ð f (x)
f (x2) f (x2)
y =ð f (x)
f (x1) f (x1)
X X
x0 x1
x2 x0
x1 xn xn x2
Rys. 1.
Twierdzenie. Funkcja f posiada w punkcie x0 granicÄ™ wtedy i tylko wtedy gdy istniejÄ… obie granice
jednostronne i są sobie równe.
lim f (x) =ð g Ûð ( lim f (x) =ð lim f (x) =ð g) .
-ð +ð
x®ðx0
x®ðx0 x®ðx0
Twierdzenie. Jeżeli lim f (x) =ð g i lim g(x) =ð p , to
x®ðx0 x®ðx0
f(x) g
1. lim[ðf (x) Ä…ð g(x)]ð=ð g Ä…ð p, 2. lim[ðf (x)g(x)]ð=ð g ×ð p, 3. lim = o ile g(x) Ä…ð 0 i p Ä…ð 0.
x®ðx0 x®ðx0 x®ðx0 g(x)
p
Uwaga. Analogiczne twierdzenia można sformułować dla granic jednostronnych.
x +ð 5
PrzykÅ‚ad 1. Obliczyć: a) lim 6x , b) lim(x2 +ð 4x +ð 1) , c) lim .
x®ð3 x®ð2 x®ð-ð2
x -ð1
Rozwiązanie. Korzystając z definicji i powyższego twierdzenia mamy
a) lim 6x =ð 6 ×ð 3 =ð18 , b) lim(x2 +ð 4x +ð 1) =ð lim(x ×ð x +ð 4x +ð 1) =ð 2 ×ð 2 +ð 4 ×ð 2 +ð 1 =ð13 ,
x®ð3 x®ð2 x®ð2
x +ð 5 -ð 2 +ð 5
c) lim =ð =ð -ð1 .
x®ð-ð2
x -ð1 -ð 2 -ð1
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
2
Obliczenie każdej z powyższych granic sprowadziło się, formalnie, do podstawienia we wzorze funkcji
wartości x0 w miejsce x. Okazało się więc, że granica lim f (x) jest liczbą równą f (x0 ) .
x®ðx0
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U punktu x0 (tzn. zarówno w punkcie x0 jak
i pewnym jego sÄ…siedztwie). Jeżeli lim f (x) =ð f (x0 ) , to funkcjÄ™ nazywać bÄ™dziemy ciÄ…gÅ‚Ä… w punkcie x0 .
x®ðx0
Jeżeli natomiast zachodzi tylko jeden z warunków: lim f (x) =ð f (x0 ) lub lim f (x) =ð f (x0 ) , to funkcjÄ™
-ð +ð
x®ðx0 x®ðx0
nazywać będziemy odpowiednio: lewostronnie ciągłą w punkcie x0 lub prawostronnie ciągłą w punkcie
x0.
Uwaga. Funkcja f określona w pewnym otoczeniu U
Y
punktu x0 jest ciągła w tym punkcie, jeżeli dla każdego
lim f (x) =ð f (x0 )
ciÄ…gu (xn ) o wyrazach należących do S =ð U \ { x0}
x®ðx0
f (xn)
i zbieżnego do x0 , ciąg wartości funkcji ( f (xn )) jest
y =ð f (x)
zbieżny do f (x0 ) .
f (x0)
IlustracjÄ™ warunku przedstawiono na rys. 2.
X
x0
xn
Rys. 2.
FunkcjÄ™ f nazywamy ciÄ…gÅ‚Ä… na przedziale I =ð ( a ; b ) , jeżeli jest ona ciÄ…gÅ‚a w każdym punkcie tego
przedziaÅ‚u. Gdy I =ð a ;b , to funkcjÄ™ nazywamy ciÄ…gÅ‚Ä… w tym przedziale, jeżeli dodatkowo jest ona ciÄ…gÅ‚a
prawostronnie w punkcie a i lewostronnie w punkcie b.
Twierdzenie. Każda funkcja elementarna jest ciągła w swojej naturalnej dziedzinie.
Uwaga. Z powyższego twierdzenia, stanowiącego jedno z fundamentalnych twierdzeń analizy
matematycznej wynika, że dla funkcji elementarnej obliczanie granic: lim f (x) , lim f (x) ,
-ð
x®ðx0
x®ðx0
lim f (x) , w przypadku gdy x0 Îð D , sprowadza siÄ™ do obliczenia wartoÅ›ci f (x0 ) .
f
+ð
x®ðx0
3x +ð 2
PrzykÅ‚ad 2. Obliczyć: a) lim , b) lim 3e-ð x , c) lim(4x +ð arctg 2x) ,
1
x®ð-ð2 x®ð0
x -ð 4
x®ð
2
d) lim ln(e-ð x +ð 4x) , e) lim (sinpðx +ð cospðx) .
x®ð0+ð x®ð4-ð
RozwiÄ…zanie. We wszystkich przypadkach mamy do czynienia z granicÄ… funkcji elementarnej w punkcie
należącym do dziedziny. Zatem
3x +ð 2 -ð 6 +ð 2 2 pð
a) lim =ð =ð , b) lim 3e-ð x =ð 3e0 =ð 3 , c) lim(4x +ð arctg 2x) =ð 2 +ð arctg1 =ð 2 +ð ,
1
x®ð-ð2 x®ð0
x -ð 4 -ð 2 -ð 4 3 4
x®ð
2
d) lim ln(e-ð x +ð 4x) =ð ln1 =ð 0 , e) lim (sinpðx +ð cospðx) =ð sin 4pð +ð cos 4pð =ð 0 +ð 1 =ð1.
x®ð0+ð x®ð4-ð
Powyższą metodę daje się zastosować do obliczania granic niektórych funkcji określonych w pewnym
sąsiedztwie punktu x0 , lecz nieokreślonych w samym punkcie.
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
3
Twierdzenie. Jeżeli f (x) =ð g(x) w pewnym sÄ…siedztwie S punktu x0 oraz lim g(x) =ð g ,
x®ðx0
to lim f (x) =ð lim g(x) =ð g .
x®ðx0 x®ðx0
x2 -ð16 cos 2x x2 +ð x -ð 2
Przykład 3. Obliczyć: a) lim , b) lim , c) lim .
pð
x®ð4 x®ð-ð2
x -ð 4 cos x -ð sin x x +ð 2
x®ð
4
Rozwiązanie. W Każdym z przypadków obliczenie wartości f (x0 ) prowadzi do symbolu nieoznaczonego
[0]. Aby obliczyć granice przekształcimy dane funkcje tak, aby uniknąć nieoznaczoności.
0
x2 -ð16 (x -ð 4)(x +ð 4) x2 -ð16
a) Dla x Ä…ð 4 mamy f (x) =ð =ð =ð x +ð 4 , zatem lim =ð lim(x +ð 4) =ð 8 .
x®ð4 x®ð4
x -ð 4 x -ð 4 x -ð 4
b) Postępując podobnie (przekształcenia funkcji dokonujemy pod znakiem granicy) otrzymujemy
2
cos 2x cos2 x -ð sin x (cos x -ð sin x)(cos x +ð sin x)
lim =ð[0]=ð lim =ð lim =ð lim(cos x +ð sin x) =ð 2 .
pð pð pð pð
cos x -ð sin x 0 cos x -ð sin x cos x -ð sin x
x®ð x®ð x®ð x®ð
4 4 4 4
x2 +ð x -ð 2 (x +ð 2)(x -ð1)
c) lim =ð[0]=ð lim =ð lim (x -ð1) =ð -ð3 .
x®ð-ð2 x®ð-ð2 x®ð-ð2
x +ð 2 0 x +ð 2
2. Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie Darboux (o przyjmowaniu wartości pośredniej). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniÄ™tym a ;b przy czym f (a)Ä…ð f (b) , to dla każdej wartoÅ›ci p leżącej miÄ™dzy f (a) i f (b) istnieje
taki argument x0 Îð(a ;b ) , że f (x0 ) =ð p .
Uwaga. Powyższe twierdzenie formułuje się często
Y w następującej wersji: Jeżeli funkcja f jest ciągła
f (b)
w przedziale a ;b , a ponadto f (a) ×ð f (b) <ð 0 (tzn. f
X
przyjmuje na końcach przedziału wartości różnych znaków), to
istnieje taki argument x0 Îð(a ;b ) , że f (x0 ) =ð 0 . InterpretacjÄ™
x0 b
a
geometrycznÄ… tej wersji twierdzenia przedstawia rys. 3.
Z własności tej korzystamy szukając pierwiastka równania
f (a)
f (x) =ð 0 tzw. metodÄ… poÅ‚owienia.
Rys. 3.
PrzykÅ‚ad 4. Wyznaczyć z dokÅ‚adnoÅ›ciÄ… do 0,1 pierwiastek równania x3 +ð 2x -ð1 =ð 0 .
RozwiÄ…zanie. Przyjmijmy f (x) =ð x3 +ð 2x -ð1. Funkcja ta jest ciÄ…gÅ‚a w zbiorze R oraz f (0) =ð -ð1<ð 0 ,
f (1) =ð 2 >ð 0 . StÄ…d wynika, że miejsce zerowe funkcji f (pierwiastek równania) znajduje siÄ™ w przedziale
1 1 1
( 0 ;1) . Åšrodkiem tego przedziaÅ‚u jest x =ð , przy czym f ( ) =ð >ð 0 . Oznacza to, że pierwiastek znajduje
2 2 8
1 1 31
siÄ™ w przedziale (0 ; ) . PostÄ™pujÄ…c podobnie ( patrz rys.4.) otrzymujemy f ( ) =ð -ð <ð 0 , czyli
2 4 64
pierwiastek
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
4
1 1
1 znajduje siÄ™ w przedziale ( ; ) . Dalej mamy
dð =ð kolejne przedziaÅ‚y, w których
4 2
16
znajduje siÄ™ pierwiastek
3 101
równania
f ( ) =ð -ð <ð 0 . PrzyjmujÄ…c za przybliżonÄ…
8 512
Znak f (x)
3 1
wartość pierwiastka środek przedziału ( ; ) tj.
+
+
8 2
7 1 7
1 3
1
0
punkt x0 =ð , poszukiwania możemy zakoÅ„czyć,
16 2
4
8
16
1
Rys. 4.
gdyż bÅ‚Ä…d przybliżenia nie przekracza dð =ð .
16
y =ð f (x)
Y
M
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest ciągła
w przedziale domkniętym a ;b , to jest w nim
ograniczona oraz istniejÄ… w tym przedziale punkty
x1, x2 , dla których f (x1) =ð m, f (x2 ) =ð M , gdzie m
, M oznaczają odpowiednio wartość najmniejszą
m
i największą funkcji w przedziale.
Rys. 5.
X
IlustracjÄ™ twierdzenia przedstawia rys.5.
a =ð x1 x2
b
3. Granice niewłaściwe w punkcie
-ð
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 .
-ð
Jeżeli dla każdego ciągu (xn ) o wyrazach należących do S i zbieżnego do x0 ciąg wartości funkcji
( f (xn )) jest rozbieżny do +ðÄ„ð (jest rozbieżny do -ð Ä„ð ), to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x0
lewostronnÄ… granicÄ™ niewÅ‚aÅ›ciwÄ… +ðÄ„ð (lewostronnÄ… granicÄ™ niewÅ‚aÅ›ciwÄ… -ð Ä„ð ). Zapisujemy wtedy
lim f (x) =ð +ðÄ„ð ( lim f (x) =ð -ðÄ„ð ).
x®ðx0 x®ðx0
-ð +ð
Uwaga. Zastępując w powyższej definicji sąsiedztwo S punktu x0 sąsiedztwem S otrzymamy
definicję prawostronnej granicy niewłaściwej oraz prawostronnej asymptoty pionowej.
Ilustrację jednostronnych granic niewłaściwych przedstawia rys. 6.
Y Y
lim f (x) =ð +ðÄ„ð
+ð
x®ðx0
y =ð f (x)
y =ð f (x)
lim f (x) =ð +ðÄ„ð
-ð
f (xn ) x®ðx0
f (xn )
X
x0 X
x0 xn
xn
Rys. 6
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
5
Wykaz najczęściej spotykanych granic niewłaściwych zapisanych w postaci symbolicznej
Granica Uogólnienie Zapis symboliczny
1 1
lim =ð +ðÄ„ð Jeżeli lim u(x) =ð 0 i u(x) >ð 0 , to lim =ð +ðÄ„ð . [01 ]=ð +ðÄ„ð
+ð
x®ð x0 x®ðx0
x®ð0+ð
x u(x)
1 1
lim =ð -ðÄ„ð Jeżeli lim u(x) =ð 0 i u(x) <ð 0 , to lim =ð -ðÄ„ð . [01 ]=ð -ðÄ„ð
-ð
x®ðx0 x®ðx0
x®ð0-ð
x u(x)
lim ln x =ð -ðÄ„ð Jeżeli lim u(x) =ð 0 i u(x) >ð 0 , to lim ln u(x) =ð -ðÄ„ð .
[ln 0+ð ] =ð -ðÄ„ð
x®ð x0 x®ðx0
x®ð0+ð
Uwaga. We wszystkich warunkach występujących w kolumnie: "Uogólnienie" przejście graniczne
-ð +ð
x ®ð x0 może być zastÄ…pione dowolnym innym (zarówno przejÅ›ciami x ®ð x0 , x ®ð x0 jak i tymi, które
omówione zostaną w następnych paragrafach).
4x 5x +ð 2 5x +ð 2 4x -ð 2
Przykład 5. Obliczyć: a) lim , b) lim , c) lim , d) lim .
x®ð2-ð x®ð1+ð x®ð-ð1-ð x®ð0+ð
2x -ð 4
x2 -ð1 x2 -ð1 ex -ð1
4x 5x +ð 2
RozwiÄ…zanie. a) lim =ð[08 ]=ð -ðÄ„ð , b) lim =ð[07 ]=ð +ðÄ„ð ,
-ð +ð
x®ð2-ð x®ð1+ð
2x -ð 4
x2 -ð1
5x +ð 2 4x -ð 2
c) lim =ð[-ð 3]=ð -ðÄ„ð , d) lim =ð[-ð 2]=ð -ðÄ„ð .
x®ð-ð1-ð x®ð0+ð
x2 -ð1 0+ð ex -ð1 0+ð