Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 9
GRANICA I CI
GA
OŚĆ FUNKCJI. GRANICE NIEWA
AŚCIWE W PUNKCIE
1. Granica i ciągłość funkcji w punkcie
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie S punktu x0. Jeżeli dla każdego ciągu (xn )
o wyrazach należących do S i zbieżnego do x0 , ciąg wartości funkcji ( f (xn )) jest zbieżny do g , to liczbę
g nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0 . Zapisujemy wtedy lim f (x) =� g .
x��x0
-�
Jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo S punktu x0 zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym S (lub
+�
prawostronnym S ) , to otrzymamy definicję granicy lewostronnej (lub prawostronnej) funkcji f
w punkcie x0. Stosujemy przy tym zapis: lim f (x) (lub zapis: lim f (x)).
-� +�
x��x0 x��x0
Granicę lewostronną i prawostronną nazywamy granicami jednostronnymi. Ilustrację granic
jednostronnych przedstawiono na rys.1.
lim f (x) =� g
Y Y
x��x0-�
g g
lim f (x) =� g
+�
x��x0
f (xn) f (xn)
y =� f (x)
f (x2) f (x2)
y =� f (x)
f (x1) f (x1)
X X
x0 x1
x2 x0
x1 xn xn x2
Rys. 1.
Twierdzenie. Funkcja f posiada w punkcie x0 granicę wtedy i tylko wtedy gdy istnieją obie granice
jednostronne i są sobie równe.
lim f (x) =� g �� ( lim f (x) =� lim f (x) =� g) .
-� +�
x��x0
x��x0 x��x0
Twierdzenie. Jeżeli lim f (x) =� g i lim g(x) =� p , to
x��x0 x��x0
f(x) g
1. lim[�f (x) ą� g(x)]�=� g ą� p, 2. lim[�f (x)g(x)]�=� g �� p, 3. lim = o ile g(x) ą� 0 i p ą� 0.
x��x0 x��x0 x��x0 g(x)
p
Uwaga. Analogiczne twierdzenia można sformułować dla granic jednostronnych.
x +� 5
Przykład 1. Obliczyć: a) lim 6x , b) lim(x2 +� 4x +� 1) , c) lim .
x��3 x��2 x��-�2
x -�1
Rozwiązanie. Korzystając z definicji i powyższego twierdzenia mamy
a) lim 6x =� 6 �� 3 =�18 , b) lim(x2 +� 4x +� 1) =� lim(x �� x +� 4x +� 1) =� 2 �� 2 +� 4 �� 2 +� 1 =�13 ,
x��3 x��2 x��2
x +� 5 -� 2 +� 5
c) lim =� =� -�1 .
x��-�2
x -�1 -� 2 -�1
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
2
Obliczenie każdej z powyższych granic sprowadziło się, formalnie, do podstawienia we wzorze funkcji
wartości x0 w miejsce x. Okazało się więc, że granica lim f (x) jest liczbą równą f (x0 ) .
x��x0
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U punktu x0 (tzn. zarówno w punkcie x0 jak
i pewnym jego sąsiedztwie). Jeżeli lim f (x) =� f (x0 ) , to funkcję nazywać będziemy ciągłą w punkcie x0 .
x��x0
Jeżeli natomiast zachodzi tylko jeden z warunków: lim f (x) =� f (x0 ) lub lim f (x) =� f (x0 ) , to funkcję
-� +�
x��x0 x��x0
nazywać będziemy odpowiednio: lewostronnie ciągłą w punkcie x0 lub prawostronnie ciągłą w punkcie
x0.
Uwaga. Funkcja f określona w pewnym otoczeniu U
Y
punktu x0 jest ciągła w tym punkcie, jeżeli dla każdego
lim f (x) =� f (x0 )
ciągu (xn ) o wyrazach należących do S =� U \ { x0}
x��x0
f (xn)
i zbieżnego do x0 , ciąg wartości funkcji ( f (xn )) jest
y =� f (x)
zbieżny do f (x0 ) .
f (x0)
Ilustrację warunku przedstawiono na rys. 2.
X
x0
xn
Rys. 2.
Funkcję f nazywamy ciągłą na przedziale I =� ( a ; b ) , jeżeli jest ona ciągła w każdym punkcie tego
przedziału. Gdy I =� a ;b , to funkcję nazywamy ciągłą w tym przedziale, jeżeli dodatkowo jest ona ciągła
prawostronnie w punkcie a i lewostronnie w punkcie b.
Twierdzenie. Każda funkcja elementarna jest ciągła w swojej naturalnej dziedzinie.
Uwaga. Z powyższego twierdzenia, stanowiącego jedno z fundamentalnych twierdzeń analizy
matematycznej wynika, że dla funkcji elementarnej obliczanie granic: lim f (x) , lim f (x) ,
-�
x��x0
x��x0
lim f (x) , w przypadku gdy x0 �� D , sprowadza się do obliczenia wartości f (x0 ) .
f
+�
x��x0
3x +� 2
Przykład 2. Obliczyć: a) lim , b) lim 3e-� x , c) lim(4x +� arctg 2x) ,
1
x��-�2 x��0
x -� 4
x��
2
d) lim ln(e-� x +� 4x) , e) lim (sinp�x +� cosp�x) .
x��0+� x��4-�
Rozwiązanie. We wszystkich przypadkach mamy do czynienia z granicą funkcji elementarnej w punkcie
należącym do dziedziny. Zatem
3x +� 2 -� 6 +� 2 2 p�
a) lim =� =� , b) lim 3e-� x =� 3e0 =� 3 , c) lim(4x +� arctg 2x) =� 2 +� arctg1 =� 2 +� ,
1
x��-�2 x��0
x -� 4 -� 2 -� 4 3 4
x��
2
d) lim ln(e-� x +� 4x) =� ln1 =� 0 , e) lim (sinp�x +� cosp�x) =� sin 4p� +� cos 4p� =� 0 +� 1 =�1.
x��0+� x��4-�
Powyższą metodę daje się zastosować do obliczania granic niektórych funkcji określonych w pewnym
sąsiedztwie punktu x0 , lecz nieokreślonych w samym punkcie.
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
3
Twierdzenie. Jeżeli f (x) =� g(x) w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 oraz lim g(x) =� g ,
x��x0
to lim f (x) =� lim g(x) =� g .
x��x0 x��x0
x2 -�16 cos 2x x2 +� x -� 2
Przykład 3. Obliczyć: a) lim , b) lim , c) lim .
p�
x��4 x��-�2
x -� 4 cos x -� sin x x +� 2
x��
4
Rozwiązanie. W Każdym z przypadków obliczenie wartości f (x0 ) prowadzi do symbolu nieoznaczonego
[0]. Aby obliczyć granice przekształcimy dane funkcje tak, aby uniknąć nieoznaczoności.
0
x2 -�16 (x -� 4)(x +� 4) x2 -�16
a) Dla x ą� 4 mamy f (x) =� =� =� x +� 4 , zatem lim =� lim(x +� 4) =� 8 .
x��4 x��4
x -� 4 x -� 4 x -� 4
b) Postępując podobnie (przekształcenia funkcji dokonujemy pod znakiem granicy) otrzymujemy
2
cos 2x cos2 x -� sin x (cos x -� sin x)(cos x +� sin x)
lim =�[0]=� lim =� lim =� lim(cos x +� sin x) =� 2 .
p� p� p� p�
cos x -� sin x 0 cos x -� sin x cos x -� sin x
x�� x�� x�� x��
4 4 4 4
x2 +� x -� 2 (x +� 2)(x -�1)
c) lim =�[0]=� lim =� lim (x -�1) =� -�3 .
x��-�2 x��-�2 x��-�2
x +� 2 0 x +� 2
2. Własności funkcji ciągłych
Twierdzenie Darboux (o przyjmowaniu wartości pośredniej). Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale
domkniętym a ;b przy czym f (a)ą� f (b) , to dla każdej wartości p leżącej między f (a) i f (b) istnieje
taki argument x0 ��(a ;b ) , że f (x0 ) =� p .
Uwaga. Powyższe twierdzenie formułuje się często
Y w następującej wersji: Jeżeli funkcja f jest ciągła
f (b)
w przedziale a ;b , a ponadto f (a) �� f (b) <� 0 (tzn. f
X
przyjmuje na końcach przedziału wartości różnych znaków), to
istnieje taki argument x0 ��(a ;b ) , że f (x0 ) =� 0 . Interpretację
x0 b
a
geometryczną tej wersji twierdzenia przedstawia rys. 3.
Z własności tej korzystamy szukając pierwiastka równania
f (a)
f (x) =� 0 tzw. metodą połowienia.
Rys. 3.
Przykład 4. Wyznaczyć z dokładnością do 0,1 pierwiastek równania x3 +� 2x -�1 =� 0 .
Rozwiązanie. Przyjmijmy f (x) =� x3 +� 2x -�1. Funkcja ta jest ciągła w zbiorze R oraz f (0) =� -�1<� 0 ,
f (1) =� 2 >� 0 . Stąd wynika, że miejsce zerowe funkcji f (pierwiastek równania) znajduje się w przedziale
1 1 1
( 0 ;1) . Środkiem tego przedziału jest x =� , przy czym f ( ) =� >� 0 . Oznacza to, że pierwiastek znajduje
2 2 8
1 1 31
się w przedziale (0 ; ) . Postępując podobnie ( patrz rys.4.) otrzymujemy f ( ) =� -� <� 0 , czyli
2 4 64
pierwiastek
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
4
1 1
1 znajduje się w przedziale ( ; ) . Dalej mamy
d� =� kolejne przedziały, w których
4 2
16
znajduje się pierwiastek
3 101
równania
f ( ) =� -� <� 0 . Przyjmując za przybliżoną
8 512
Znak f (x)
3 1
wartość pierwiastka środek przedziału ( ; ) tj.
+
+
8 2
7 1 7
1 3
1
0
punkt x0 =� , poszukiwania możemy zakończyć,
16 2
4
8
16
1
Rys. 4.
gdyż błąd przybliżenia nie przekracza d� =� .
16
y =� f (x)
Y
M
Twierdzenie. Jeżeli funkcja f jest ciągła
w przedziale domkniętym a ;b , to jest w nim
ograniczona oraz istnieją w tym przedziale punkty
x1, x2 , dla których f (x1) =� m, f (x2 ) =� M , gdzie m
, M oznaczają odpowiednio wartość najmniejszą
m
i największą funkcji w przedziale.
Rys. 5.
X
Ilustrację twierdzenia przedstawia rys.5.
a =� x1 x2
b
3. Granice niewłaściwe w punkcie
-�
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym sąsiedztwie S punktu x0 .
-�
Jeżeli dla każdego ciągu (xn ) o wyrazach należących do S i zbieżnego do x0 ciąg wartości funkcji
( f (xn )) jest rozbieżny do +�Ą� (jest rozbieżny do -� Ą� ), to o funkcji mówimy, że posiada w punkcie x0
lewostronną granicę niewłaściwą +�Ą� (lewostronną granicę niewłaściwą -� Ą� ). Zapisujemy wtedy
lim f (x) =� +�Ą� ( lim f (x) =� -�Ą� ).
x��x0 x��x0
-� +�
Uwaga. Zastępując w powyższej definicji sąsiedztwo S punktu x0 sąsiedztwem S otrzymamy
definicję prawostronnej granicy niewłaściwej oraz prawostronnej asymptoty pionowej.
Ilustrację jednostronnych granic niewłaściwych przedstawia rys. 6.
Y Y
lim f (x) =� +�Ą�
+�
x��x0
y =� f (x)
y =� f (x)
lim f (x) =� +�Ą�
-�
f (xn ) x��x0
f (xn )
X
x0 X
x0 xn
xn
Rys. 6
Wykład 9. Granica i ciągłość funkcji. Granice niewłaściwe w punkcie
5
Wykaz najczęściej spotykanych granic niewłaściwych zapisanych w postaci symbolicznej
Granica Uogólnienie Zapis symboliczny
1 1
lim =� +�Ą� Jeżeli lim u(x) =� 0 i u(x) >� 0 , to lim =� +�Ą� . [01 ]=� +�Ą�
+�
x�� x0 x��x0
x��0+�
x u(x)
1 1
lim =� -�Ą� Jeżeli lim u(x) =� 0 i u(x) <� 0 , to lim =� -�Ą� . [01 ]=� -�Ą�
-�
x��x0 x��x0
x��0-�
x u(x)
lim ln x =� -�Ą� Jeżeli lim u(x) =� 0 i u(x) >� 0 , to lim ln u(x) =� -�Ą� .
[ln 0+� ] =� -�Ą�
x�� x0 x��x0
x��0+�
Uwaga. We wszystkich warunkach występujących w kolumnie: "Uogólnienie" przejście graniczne
-� +�
x �� x0 może być zastąpione dowolnym innym (zarówno przejściami x �� x0 , x �� x0 jak i tymi, które
omówione zostaną w następnych paragrafach).
4x 5x +� 2 5x +� 2 4x -� 2
Przykład 5. Obliczyć: a) lim , b) lim , c) lim , d) lim .
x��2-� x��1+� x��-�1-� x��0+�
2x -� 4
x2 -�1 x2 -�1 ex -�1
4x 5x +� 2
Rozwiązanie. a) lim =�[08 ]=� -�Ą� , b) lim =�[07 ]=� +�Ą� ,
-� +�
x��2-� x��1+�
2x -� 4
x2 -�1
5x +� 2 4x -� 2
c) lim =�[-� 3]=� -�Ą� , d) lim =�[-� 2]=� -�Ą� .
x��-�1-� x��0+�
x2 -�1 0+� ex -�1 0+�