Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 3
MACIERZ ODWROTNA
1. Macierz odwrotna
MacierzÄ… odwrotnÄ… do macierzy A nazywamy takÄ… macierz, oznaczanÄ… przez A-ð1 , że
A ×ð A-ð1 =ð A-ð1 ×ð A =ð I , gdzie I - macierz jednostkowa.
1 3 -ð5 3
éð Å‚ð éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 1. Niech A =ð . Pokazać, że A-ð1 =ð jest macierzÄ… odwrotnÄ… macierzy A.
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 5 2 -ð1
ëð ûð ëð ûð
RozwiÄ…zanie.
1 3 -ð5 3 1×ð (-ð5) +ð 3×ð 2 1×ð3 +ð 3×ð(-ð1) 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A×ð A-ð1 =ð ×ð =ð =ð ,
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 5 2 -ð1 2 ×ð (-ð5) +ð 5×ð 2 2 ×ð3 +ð 5×ð (-ð1) 0 1
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
-ð5 3 1 3 (-ð5) ×ð1+ð 3×ð 2 (-ð5) ×ð3 +ð 3×ð5 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
A-ð1 ×ð A =ð ×ð =ð =ð .
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
2 -ð1 2 5 2 ×ð1+ð (-ð1) ×ð 2 2 ×ð3 +ð (-ð1) ×ð5 0 1
ëð ûð ëð ûð ëð ûð ëð ûð
Ponieważ A ×ð A-ð1 =ð A-ð1 ×ð A =ð I , to macierz A-ð1 jest odwrotna do A.
Z określenia macierzy wynika, że tylko macierze kwadratowe mogą posiadać macierz odwrotną. Jednak
nie każda macierz kwadratowa posiada macierz odwrotną.
1 2
éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 2. Pokazać, że macierz A =ð
Ä™ð0 0Å›ð nie posiada macierzy odwrotnej.
ëð ûð
b11 b12
éð Å‚ð
RozwiÄ…zanie. Przypuśćmy, że A-ð1 =ð jest macierzÄ… odwrotnÄ… macierzy A.
Ä™ðb b22 Å›ð
ëð 21 ûð
Jeżeli macierz A-ð1 jest odwrotna do A, to m.in. A ×ð A-ð1 =ð I .
1 2 b11 b12 1×ðb11 +ð 2 ×ðb21 1×ðb12 +ð 2 ×ðb22 b11 +ð 2b21 b12 +ð 2b22
éð Å‚ð éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
Ponieważ A×ð A-ð1 =ð ×ð =ð =ð , to
Ä™ð0 0Å›ð Ä™ð Å›ð
b21 b22 Å›ð Ä™ð0 ×ðb11 +ð 0 ×ðb21 0 ×ðb12 +ð 0 ×ðb22 Å›ð Ä™ð 0 0
ëð ûð ëðûð ëð ûð ëð ûð
b11 +ð 2b21 b12 +ð 2b22 1 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
równość A ×ð A-ð1 =ð I , czyli =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð0 1Å›ð nie jest możliwa.
00
ëð ûð ëð ûð
Oznacza to, że A-ð1 nie istnieje.
Uwaga. Macierz A posiada macierz odwrotnÄ… wtedy i tylko wtedy gdy jest macierzÄ… kwadratowÄ…
o wyznaczniku różnym od zera.
2. Dopełnienia algebraiczne
a11 a12 Kð a1n
éð Å‚ð
Ä™ða a22 Kð a2n Å›ð
21
Ä™ð Å›ð
Niech A =ð bÄ™dzie macierzÄ… kwadratowÄ… stopnia n >ð 1.
Ä™ð Å›ð
Mð Mð Oð Mð
Ä™ð Å›ð
an2 Kð ann ûð
ëðan1
DopeÅ‚nieniem algebraicznym elementu aij nazywamy wyrażenie mij =ð (-ð1)i+ð j det Aij .
Wykład 3. Macierz odwrotna
2
Uwaga. Aby obliczyć liczbę mij należy skreślić i-ty wiersz i j-tą kolumnę macierzy A, a następnie przed
wyznacznikiem otrzymanej macierzy postawić ten ze znaków  + lub  - , który na poniższym schemacie
znajduje się na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny:
+ð -ð +ð -ð Kð
éð Å‚ð
Ä™ð
-ð +ð -ð +ð KðÅ›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
+ð -ð +ð -ð Kð
Ä™ð Å›ð
-ð +ð -ð +ð KðÅ›ð
Ä™ð
Ä™ð
ëðKð Kð Kð Kð OðÅ›ð
ûð
Macierz, której elementami są liczby mij nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych macierzy A
i oznaczamy symbolem AD .
3 -ð2
éð Å‚ð
PrzykÅ‚ad 3. Wyznaczyć macierz dopeÅ‚nieÅ„ algebraicznych elementów macierzy A =ð
Ä™ð5 -ð1Å›ð .
ëð ûð
RozwiÄ…zanie.
m11 =ð+ð(-ð1) =ð-ð1, m12 =ð-ð5, -ð1 -ð5
éð Å‚ð
Macierz dopeÅ‚nieÅ„ ma postać: AD =ð .
Ä™ð Å›ð
m21 =ð-ð(-ð2) =ð 2, m22 =ð+ð3 =ð 3. 2 3
ëð ûð
1 3 2
éð Å‚ð
Ä™ð
PrzykÅ‚ad 3. Wyznaczyć macierz dopeÅ‚nieÅ„ algebraicznych macierzy A =ð 1 0 1Å›ð .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð1 3 2ûð
RozwiÄ…zanie. Mamy tutaj
0 1 1 1 1 0
m11 =ð +ð =ð -ð3, m12 =ð -ð =ð -ð3, m13 =ð +ð =ð 3,
3 2 -ð1 2 -ð1 3
-ð 3 -ð 3 3
éð Å‚ð
3 2 1 2 1 3
Ä™ð
m21 =ð -ð =ð 0, m22 =ð +ð =ð 4, m23 =ð -ð =ð -ð6, AD =ð 0 4 -ð 6Å›ð .
Ä™ð Å›ð
3 2 -ð1 2 -ð1 3
Ä™ð Å›ð
3 1 -ð 3ûð
ëð
3 2 1 2 1 3
m31 =ð +ð =ð 3, m32 =ð -ð =ð1, m33 =ð +ð =ð -ð3 .
0 1 1 1 1 0
3. Znajdowanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień algebraicznych
Macierz odwrotną do danej (jeżeli istnieje) można znalez
ć metodą dopełnień algebraicznych.
Uwaga. Macierz odwrotna w przypadku macierzy stopnia n Å‚ð 2 wyraża siÄ™ wzorem:
m11 m12 Kð m1n
éð Å‚ðT
Ä™ðm m22 Kð m2n Å›ð
1
21
Ä™ð Å›ð
A-ð1 =ð
Ä™ð Å›ð
det A Mð Mð Oð Mð
Ä™ð Å›ð
mn2 Kð mnn ûð
ëðmn1
gdzie mij oznacza dopełnienie algebraiczne elementu aij , T - transponowanie macierzy.
Wykład 3. Macierz odwrotna
3
1 3
éð Å‚ð
Przykład 4. Znalez
ć macierz odwrotnÄ… do macierzy A =ð
Ä™ð2 1Å›ð .
ëð ûð
RozwiÄ…zanie. Ponieważ det A =ð 1-ð 6 =ð -ð5 Ä…ð 0 , to macierz A-ð1 istnieje.
Dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A są równe:
m11 =ð1, m12 =ð -ð2
m21 =ð -ð3, m22 =ð1
Zatem
1 3
éð Å‚ð
T
Å›ð
m11 m12 T 1 1 -ð2 1 -ð3Ä™ð -ð
éðÅ‚ð éðÅ‚ð éðÅ‚ð
1 1
5 5
A-ð1 =ð=ð =ð -ð .
=ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ðÅ›ð
det A m21 m22 Å›ð Ä™ð -ð3 1 5 -ð2 1 2 1
-ð5
ëðûð ëðûð ëðûð Ä™ð Å›ð
-ð
Ä™ð Å›ð
ëð 5 5 ûð
4 2 3
éð Å‚ð
Ä™ð2
Przykład 5. Znalez
ć macierz odwrotnÄ… do macierzy A =ð 1 2Å›ð .
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð5 2 4ûð
RozwiÄ…zanie. det A =ð16 +ð 20 +ð 12 -ð15 -ð16 -ð16 =ð1 . Oznacza to, że macierz A posiada macierz odwrotnÄ….
Ponieważ
1 2 2 2 2 1
m11 =ð +ð =ð 0, m12 =ð -ð =ð 2, m13 =ð +ð =ð -ð1,
2 4 5 4 5 2
2 3 4 3 4 2
m21 =ð -ð =ð -ð2, m22 =ð +ð =ð1, m23 =ð -ð =ð 2,
2 4 5 4 5 2
2 3 4 3 4 2
m31 =ð +ð =ð1, m32 =ð -ð =ð -ð2, m33 =ð +ð =ð 0 ,
1 2 2 2 2 1
T T
m11 m12 m13 0 2 -ð1 0 -ð2 1
éð Å‚ð éðÅ‚ð éðÅ‚ð
11
Ä™ð Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð
to A-ð1 =ð m21 m22 m23 Å›ð =ð -ð2 1 2 =ð 2 1 -ð2 .
Ä™ð Å›ð Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð
det A 1
Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð Ä™ðÅ›ð
m31 m32 m33 ûð ëð 1 -ð2 0 -ð1 2 0
ëð ûð ëðûð
Macierz odwrotną do danej (jeżeli istnieje) można znalez
ć również metodą przekształceń elementarnych.
Przekształceniami elementarnymi na wierszach macierzy nazywa się:
1. przestawienie między sobą dwóch dowolnych wierszy,
2. pomnożenie przez liczbę różną od zera wybranego wiersza,
3. dodanie do innego wiersza wybranego wiersza pomnożonego przez liczbę.
Jeżeli na macierzy A i macierzy jednostkowej I (tego samego wymiaru) wykonać te same
przekształcenia na wierszach, to z chwilą, gdy macierz A przekształcona zostanie w macierz I, macierz I
zostanie przeprowadzona w macierz odwrotnÄ… A-ð1 .
1 2 3
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
PrzykÅ‚ad 6. Wyznaczyć macierz odwrotnÄ… do macierzy A =ð 2 3 0 . Sprawdzić, czy otrzymana
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð 3 -ð 5 -ð 2ûð
macierz spełnia warunki z definicji macierzy odwrotnej.
Wykład 3. Macierz odwrotna
4
Rozwiązanie. Wypiszemy najpierw obok siebie macierze A oraz I . Następnie wyróżnimy wiersz
pierwszy.
1 2 3 1 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð0 1 0Å›ð I
A =ð 2 3 0 =ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð 3 -ð 5 -ð 2ûð Ä™ð 0 1ûð
ëð0 Å›ð
Krok 1. Z pomocą wiersza pierwszego przekształcimy kolumnę pierwszą macierzy A w pierwszą
kolumnÄ™ macierzy jednostkowej. W tym celu:
- pozostawimy bez zmian wiersz pierwszy (bo jedynka jest  na swoim miejscu ),
- pomnożymy wybrany wiersz najpierw przez -2 i dodamy do wiersza drugiego, a potem przez 3
i dodamy do wiersza trzeciego.
Macierze, w których wyróżnimy teraz wiersz drugi, wyglądać będą po tych operacjach następująco:
1 2 3 1 0 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 -ð1 -ð 6Å›ð Ä™ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð 2 1 0Å›ð
Å›ð
Ä™ð Å›ð
ûð ëð
ëð0 1 7 Å›ð Ä™ð 3 0 1ûð
Krok 2. Z pomocą wiersza drugiego przekształcimy kolumnę drugą macierzy A w drugą kolumnę
macierzy jednostkowej. W tym celu:
- pomnożymy wiersz drugi przez  1,
- pomnożymy wybrany wiersz najpierw przez 2 i dodamy do wiersza pierwszego, a potem
(pomnożony przez 1) dodamy do wiersza trzeciego.
Macierze, w których wyróżnimy teraz wiersz trzeci, wyglądać będą po tych operacjach następująco:
1 0 -ð 9 -ð 3 2 0
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0 1 6 Å›ð Ä™ð
2 -ð1 0Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 1 Å›ð Ä™ð 1 1 1ûð
ûð ëð
Krok 3. Z pomocą wiersza trzeciego przekształcimy kolumnę trzecią macierzy A w trzecią kolumnę
macierzy jednostkowej. W tym celu:
- pozostawimy bez zmian wiersz trzeci ,
- pomnożymy wiersz trzeci najpierw przez -6 i dodamy do wiersza drugiego, a potem przez 9
i dodamy do wiersza pierwszego.
Otrzymamy wówczas
1 0 0 6 11 9
éð Å‚ð éð Å‚ð
Ä™ð0
I =ð 1 0Å›ð Ä™ð 4 -ð 7 -ð 6Å›ð =ð A-ð1 .
Ä™ð Å›ð Ä™ð-ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 1ûð Ä™ð 1 1 1 Å›ð
ëð ûð
Sprawdzimy, czy otrzymana po prawej stronie macierz jest macierzÄ… odwrotnÄ… macierzy A.
1 2 3 6 11 9 1×ð6 +ð 2×ð(-ð4) +ð 3×ð1 1×ð11+ð 2×ð(-ð7) +ð 3×ð1 1×ð9 +ð 2 ×ð(-ð6) +ð 3×ð1 1 0 0
éðÅ‚ð éðÅ‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
,
Ä™ðÅ›ð Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ð0
A×ð A-ð1 =ð 2 3 0 ×ð -ð7 -ð6Å›ð =ð 2×ð6 +ð 3×ð(-ð4) +ð 0 ×ð1 2×ð11+ð 3×ð(-ð7) +ð 0 ×ð1 2×ð9 +ð 3×ð(-ð6) +ð 0×ð1 =ð 1 0Å›ð
Ä™ðÅ›ð Ä™ð-ð4 Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ðÅ›ð Å›ðëð0 Å›ð
ëð-ð3 -ð5 -ð2ûð Ä™ð 1 1 1 Å›ð Ä™ð ×ð6 +ð (-ð5) ×ð(-ð4) +ð (-ð2) ×ð1 (-ð3) ×ð11+ð (-ð5) ×ð(-ð7) +ð (-ð2) ×ð1 (-ð3) ×ð9 +ð (-ð5) ×ð(-ð6) +ð (-ð2) ×ð1ûð Ä™ð 0 1ûð
ëðûð ëð(-ð3)
Podobnie
éð 6 11 9 1 2 3 1 0 0
Å‚ð éð Å‚ð éð Å‚ð
.
Ä™ð Ä™ð Å›ð Ä™ð0
A-ð1 ×ð A =ð 4 -ð 7 -ð 6Å›ð ×ð 2 3 0 =ð 1 0Å›ð
Ä™ð-ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð Ä™ð Å›ð
1 1 1 3 -ð 5 -ð 2ûð ëð0 0 1ûð
ëð ûð ëð-ð
.