12. Przestrzenie funkcji caªkowalnych przygotowanie do

sprawdzianu

Zad. 12.1 Obliczy¢ normy L

∞

oraz L

p

, p ≥ 1,

dla funkcji f : ([0, 1], B

[0,1]

) → R danych

przez

1. 1

Q

,

2. sin(2πx),
3. |x − 1/2|.

Zad. 12.2 Policzy¢ iloczyny skalarne w L

2

([0, 1], B

[0,1]

, l

[0,1]

) :

1. h1

A

, 1

B

i,

dla A, B ∈ B

[0,1]

,

2. hx − 1/2, |x − 1/2|i.

Zad. 12.3 (*) Pokaza¢ »e jedynymi funkcjami prostopadªymi do caªej przestrzeni L

2

([0, 1], l

[0,1]

)

s¡ funkcje to»samo±ciowo równe 0.

Zad. 12.4 (*) Pokaza¢ »e »adna z przestrzeni L

p

(R, B

R

, l), L

q

(R, B

R

, l), 1 ≤ p < q < ∞,

nie zawiera si¦ w drugiej.

Zad. 12.5 (*) Niech (Ω, F, µ) b¦dzie przestrzeni¡ mierzaln¡. Pokaza¢ »e je±li p, q s¡ takie,

»e

1
p

+

1
q

= 1,

to dla ka»dej funkcji φ ∈ L

q

(Ω, F , µ)

funkcjonaª liniowy

I

φ

: L

p

(Ω, F , µ) → R zadany przez

I

φ

(f ) =

Z

Ω

φf dµ

jest ci¡gªy.

Zad. 12.6 (*) Niech µ b¦dzie pewn¡ miar¡ sko«czon¡ na (Ω, F). Pokaza¢ »e odwzorowanie

P : L

∞

(Ω, F ) → R zadane przez

P (f ) := log

Z

Ω

exp(−f (x))µ(dx)

jest wypukªe na L

∞

(Ω, F ).