rok 2015/2016, semestr zimowy
Teoria chaosu  seminarium
Lp. Temat seminarium Zagadnienia ImiÄ™ i nazwisko
1. Funkcje chaotyczne - Definicja chaotycznego układu dynamicznego,
- Odwzorowanie logistyczne - symulacje,
- Odwzorowanie namiotowe i dwuadyczne oraz ich zwiÄ…zek z odwzorowaniem logistycznym,
- Chaotyczność odwzorowania dwuadycznego.
2. Związki między trzema - Zależności między: tranzytywnością (T), gęstością punktów okresowych (O) i
definicyjnymi cechami wrażliwością na warunki początkowe (W) (dowody i przykłady)
chaosu - Sprzężenie układów dynamicznych,
- Pokazać, że chaos jest zachowywany przez sprzężenia,
- Chaotyczność odwzorowania logistycznego,
3. Bifurkacje w rodzinie funkcji - Punkty stałe przyciągające i odpychające, orbity okresowe,
- Bifurkacje w rodzinie funkcji logistycznych (drobiazgowe omówienie oraz symulacje)
logistycznych.
- Twierdzenie Li-Yorka z dowodem (dowód tylko tezy o okresie 3).
Twierdzenie Li-Yorka
4. Twierdzenie Szarkowskiego - Twierdzenie Szarkowskiego z dowodem.
- Metryka Hausdorffa,
5. System IFS (Iterated
- system IFS, operator Barnsleya-Hutchinsona i atraktor Barnsleya (dowód istnienia i jedyności),
Function
- wyznaczanie atraktorów IFS  przykłady, symulacje
System)
6. Dynamika symboliczna - Dynamika symboliczna,
- Przestrzeń metryczna kodów stowarzyszona z IFS (adresy punktów atraktora),
- Chaos na atraktorze Barnsleya,
- Podkowa Smale a.
7. Wymiar Hausdorffa. - Wymiar topologiczny (mały wymiar indukcyjny) oraz wymiar Hausdorffa. Definicja fraktala,
Fraktale. Dynamika - Szacowanie wymiaru Hausdorffa atraktora IFS. Przykłady,
zespolona - Zbiory Julia (dla rodziny odwzorowań kwadratowych). Zbiór Mandelbrota.
8. Wprowadzenie do teorii - Geneza ergodyczności (doświadczenie z gazem i hipotezy ergodyczne),
ergodycznej. Odwzorowania - Twierdzenie Poincaré o powrocie (z dowodem),
- Indywidualne twierdzenie ergodyczne Birkhoffa (z dowodem).
zachowujÄ…ce miarÄ™
9. Ergodyczność, dokładność, - Transformacja ergodyczna  definicja i przykłady; kryterium ergodyczności,
- Zastosowanie twierdzenia Birkhoffa - prawie wszystkie liczby na odcinku [0,1] sÄ… normalne,
mieszanie
- Transformacja mieszająca i transformacja dokładna  definicje i przykłady,
- Twierdzenie ergodyczne von Neumanna (dla kontrakcji na przestrzeni Hilberta) z dowodem,
10. Ewolucja gęstości. Operator - Histogramy  intuicja gęstości ([3], Rozdz. 1.2),
Markowa na gęstościach. - Operator Markowa na gęstościach, własności ( [3], Rozdz. 3.1),
Operatory Frobeniusa- - Transformacja nonsingularna. Operatora Frobeniusa-Perrona i jego własności. Przykłady ( [3], Rozdz.
Perrona i Koopmana 3.2),
- Operator Koopmana ( [3], Rozdz. 3.3).
11. Ergodyczność, mieszanie, - Ergodyczność transformacji non-singularnej [3, theorem 4.2.2 + dowód],
dokładność a operatory - Ergodyczność, mieszanie, dokładność transformacji zachowującej miarę [3, theorem 4.4.1 + dowód],
Frobeniusa-Perrona i - Dowody ergodyczności obrotu na okręgu [3, Example 4.4.1] oraz transformacji r-adycznej [3,
Koopmana Example 4.4.2]),
- Ergodyczność, mieszanie dokładność dla operatorów Markowa (także niedeterministycznych).
12. Ewolucja miar. Operator - Twierdzenie Riesza o reprezentacji funkcjonału na C(K), przestrzeń miar, mocna oraz (*-)słaba
Markowa na miarach zbieżność ciągu miar, własności i przykłady [3, rozdział 12.],
- Operatorem Markowa na miarach i jego związek z operatorem Markowa na gęstościach,
- Operator Frobeniusa-Perrona na miarach i jego zwiÄ…zek z operatorem Frobeniusa-Perrona na
gęstościach. Operator Frombeniusa-Perrona na miarach skupionych w jednym punkcie,
- Operator Markowa opisujÄ…cy rozchodzenie siÄ™ miary za pomocÄ… heat equation [3, ex. 12.3.2],
- Asymptotyczna stabilność operatora Markowa na miarach.
13. Stochastyczne układy - PIFS (probabilistic IFS  iterowany układ funkcyjny z prawdopodobieństwami), metryka
Wassersteina,
dynamiczne
- Atraktor IFS a nośnik miary niezmienniczej operatora Markowa indukowanego przez PIFS,
- Regularny stochastyczny układ dynamiczny,
- Przybliżanie atraktora IFS. Gra w chaos - symulacje.
Literatura podstawowa:
[1] S.W.Fomin, I.P.Kornfeld, J.G.Sinaj, Teoria ergodyczna, PWN, Warszawa, 1987.
[2] H.O.Peitgen, H.Jurgens, D.Saupe, Chaos and Fractals. New Frontiers of Science, Springer, New York, 2004.
[3] A. Lasota and M.C. Mackey, Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics, Springer, New York, 1994.
[4] T.M.Sękowski, Zagadnienia matematycznej teorii chaosu, Wydawnictwo UMCS, Lublin, 2007.
[5] K. Falconer, Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, John Wiley & Sons, 2014
Literatura uzupełniajaca:
[6] W.Szlenk, Wstęp do teorii gładkich układów dynamicznych, BM tom 56, 1982.
[7] Y. Pesin and V. Climenhaga, Lectures on Fractal Geometry and Dynamical Systems, AMS, Rhode Island, 2009.
[8] A.Berger, Chaos and Chance, Walter de Gruyter, 2001.
[9] R.Zaharopol, Invariant Probabilities of Markov-Feller Operators and their Supports, Birkhauser, 2005.