Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli 2007/08
Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych
Dany jest wykres momentów zginających w ramie przedstawionej na rysunku. Wyznaczyć:
a) obrót przekroju A,
b) obrót przekroju B,
c) przemieszczenie pionowe przekroju C.
W obliczeniach pominąć wpływ sił normalnych i poprzecznych, EJ = const.
60 kNm
41,394
5 kN/m
65,367
22,651
B
C
A
60,0
7,326 kN
11,326 kN
64,046
M =59,477
C
1,47
3,0
Mn [ kNm ]
p
21,349 kN
2,0 3,0 2,0 3,0
RozwiÄ…zanie:
Przemieszczenia wyznaczamy za pomocą równania pracy wirtualnej. Stosujemy twierdzenie redukcyjne:
n n
M M
n 0
P P
1Å"´ =
" "
+"M Å" EJ dx = +"M Å" EJ dx
x x
gdzie: ´ - szukane przemieszczenie (liniowe lub kÄ…towe),
1 - obciÄ…\
enie wirtualne adekwatne do szukanego przemieszczenia,
n
M - momenty zginające wywołane odpowiednim obcią\
eniem wirtualnym w układzie
statycznie niewyznaczalnym,
0
M - momenty zginające wywołane odpowiednim obcią\
eniem wirtualnym w układzie
statycznie wyznaczalnym (spełniającym wymagania układu podstawowego metody sił),
n
M - momenty zginające wywołane zadanym obcią\
eniem zewnętrznym w układzie statycznie
p
niewyznaczalnym (w tym przypadku dane :),
EJ - sztywność na zginanie.
a) obrót przekroju A:
1
2/5
A
3/5
1/5
M0 [ - ]
1/5
n
M 1 1 3 2 1 2 2 58,006
0
P
Õ =
A "
ïÅ‚2Å"5Å"5Å"3Å"64,046 - 2Å"2Å"5Å"3Å"22,651Å‚Å‚ = EJ
+"M Å" EJ dx = EJ Å"îÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
1
4,0
Politechnika PoznaÅ„ska º% Instytut Konstrukcji Budowlanych º% ZakÅ‚ad Mechaniki Budowli 2007/08
Obliczanie przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych
b) obrót przekroju B:
1,0 1,0
1
2/5
B
3/5
1/5
M0 [ - ]
1/5
n
M
0 P
ÕB =
"
+"M Å" EJ dx =
x
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 3 2 1 2 2 1 2 5Å"82 229,75
= Å"ïÅ‚ Å"5Å" Å" Å"64,046 - Å"2Å" Å" Å"22,651+8Å"1Å" Å"(41,394-60) - Å" Å"8Å"1śł = -
EJ 5 3 2 5 3 2 3 8 EJ
ðÅ‚2 ûÅ‚
c) przemieszczenie pionowe przekroju C:
5
1
4/5
C
21/5
2/5
M0 [ m ]
7/5
2,0 3,0 2,0 3,0
Potrzebna do obliczeń wartość momentu zginającego wywołanego obcią\
eniem zewnętrznym
w punkcie C:
M = 7,326Å"3+60-5Å"3Å"1,5=59,477 kNm
C
n
M
0 P
vC =
"
+"M Å" EJ dx =
x
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 21 2 1 4 2 1 2 1 2 5Å"52 1
= Å"ïÅ‚ Å"5Å" Å" Å"64,046 - Å"2Å" Å" Å"22,651+ Å"5Å"5Å"ëÅ‚ Å"41,394- Å"59,477öÅ‚- Å" Å"5Å" Å"5śł =
ìÅ‚ ÷Å‚
EJ 5 3 2 5 3 2 3 3 3 8 2
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚2 ûÅ‚
403,166
=
EJ
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
2
4,0