Wyprowadzenie
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Stany jednostkowe
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Dyskusja wzoru
Mechanika budowli
Przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych
Semestr letni 2008/2009
4

Zasada wzajemnoÅ›ci prac wirtualnych: P1"1P = Pi´i1
i=2

4

dr inż. Bartosz Miller MM NN ºQQ
Zasada prac wirtualnych: Pi´i1 = + + ds
EI EA GA
i=2 (u)
(s)
Katedra Mechaniki Konstrukcji
Ostatecznie:
Politechnika Rzeszowska



MM NN ºQQ
"1P = + + ds
EI EA GA
(u)
(s)
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 1 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 2
Wyprowadzenie Wyprowadzenie
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Stany jednostkowe Stany jednostkowe
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Dyskusja wzoru Dyskusja wzoru
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra  siły jednostkowe



MM NN ºQQ
"1P = + + ds
EI EA GA
(u)
(s)
"1P  szukane przemieszczenie
M, Q, N  siły wewnętrzne wywołane obc. rzeczywistym
M, Q, N  siły wewn. wywołane działaniem obc.
jednostkowego przyłożonego na kierunku szukanego
przemieszczenia
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 3 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 4
Wyprowadzenie Wyprowadzenie
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Stany jednostkowe Stany jednostkowe
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Dyskusja wzoru Dyskusja wzoru
Wzór Maxwella-Mohra  dyskusja Wzór Maxwella-Mohra  dyskusja
"1P =
"1P =

Rj Rj

Rj Rj
MM NN ºQQ Ä…"t
MM NN ºQQ Ä…"t
= + + + M + NÄ…t0 ds- Ri"i +
= + + + M + NÄ…t0 ds - Ri"i +
EI EA GA h kj
EI EA GA h kj
(u) i j
(s)
(u) i j
(s)
"1P =
MM
 wpływ momentu zginającego (belki, ramy, łuki)
Rj Rj
EI
MM NN ºQQ Ä…"t
= + + + M + NÄ…t0 ds - Ri"i +
EI EA GA h kj
NN
(u) i j  wpływ siły osiowej (kratownice)
(s)
EA

ºQQ
 wpływ siły poprzecznej (tylko pręty krępe)
 sumowanie po wszystkich prętach układu
GA
(u)
Ä…"t
M  wpływ różnicy temperatur

h
(·)ds  caÅ‚kowanie po dÅ‚ugoÅ›ci prÄ™ta
Nąt0  wpływ stałej temperatury
(s)


Ri"i  wypływ osiadania podpór
 sumowanie po wszystkich osiadajÄ…cych podporach
i
i

Rj Rj
 sumowanie po wszystkich podporach sprężystych
 wpływ podpór sprężystych
kj
j
j
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 5 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 6
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Przykład rachunkowy przemieszczenie poziome u Przykład rachunkowy
Wzór Maxwella-Mohra

u =
MM MM 1 1

u = ds = ds = MMds = ds
Rj Rj
MM NN ºQQ Ä…"t EI EI EI EI
+ + + M + NÄ…t0 ds - Ri"i +
(u) (s) (s) (s)
(s)
EI EA GA h kj
(u) i j
(s)
uprości się do

Przemieszczenie u zostanie obliczone z zastosowaniem

MM
u = ds
uproszczonej (ale dokładnej!) metody całkowania graficznego.
EI
(u)
(s)
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 7 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 8
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne  podstawowe wzory

Całki typu MMds można bardzo szybko rozwiązywać, jeżeli
A A A A B
przynajmniej jedna z funkcji M lub M jest liniowa.
1 1 1 al
a
aAl aAl aAl (A + 2B)
3 6 2 6
1 1 1 al
a
aAl aAl aAl (2A + B)
6 3 2 6

ds =A · y
1 1 al
a
aAl aAl aAl (A + B)
2 2 2
1 1 2 fl
Afl Afl Afl (A + B)
3 3 3 3
Al Al Al
a b
(b + 2c) (a + 2c) (a + b + 4c) *)
6 6 6
A  pole powierzchni pod wykresem
Al Al Al
a b
(a + 2b) (2a + b) (a + b) **)
y  wartość odczytana z drugiego wykresu pod środkiem
6 6 2
ciężkości pierwszego wykresu
l
*) [Aa + Bb + 2c(A + B)]
6
Wykres, z którego odczytywane jest y, musi być wykresem l
**) [Aa + Bb + (a + b)(A + B)]
6
liniowym! Drugi wykres może być dowolny.
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 9 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 10
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Wzór Simpsona Przykład liczbowy, ciąg dalszy


1 1 1 2
u = ds = · 3 · 10e3 · · (-1.5) =
EI EI 2 3
(s)

1
= -1 · 10000 · 1.5 · 3 = -15000=
EI 3 EI
15000
<"
= - = -2.334 · 10-3m = -2.334mm -2.3mm
=
210·109·30.6·10-6
Przemieszczenie jest w kierunku przeciwnym do założonego.
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 11 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 12
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Przykład rachunkowy  ugięcie w punkcie A Przykład rachunkowy  ugięcie w punkcie A


MM1 Ä…"t

vA = + M1 h + N1Ä…t0 ds
MM1 Ä…"t
EI
vA = + M1 h + N1Ä…t0 ds
(u)
EI (s)

(u)
(s)

"t

vA = M1 Ä…"t ds
P MM1
h
vA = ds =
(u)
(s)
EI
(u)(s)
Ä…: wsp. rozszerzaln. term., Ä…stal H" 10-5 1
0
2 2 2 C
ql2 1 ql2 1 ql2
1
= l2l1 + l2l2 - l2l2 =
h: wysokość przekroju poprzecznego
EI 2 3 2 3 8

3 3 "t = td - tg : różnica temperatur
ql2 ql2 3
1
= 3l1 + l2 - l2 = 3l1 + l2
6EI 4 6EI 4 "t Ä…"t
vA = M1 ds =
3
ql2
h
P
vA = (4l1 + l2)
Ä…"t 1 2
8EI
= -l2l1 - l2 = -l2Ä…"t (2l1 + l2)
h 2 2h
"t
Dla "t < 0 otrzymamy vA > 0
Obliczenia na jednostkach:

Obliczenia na jednostkach:
N/m·m3
P

vA = m = [m]
0
N/m2·m4 m C /0C
"t
vA = m = [m]
m
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 13 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 14
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Przykład rachunkowy  ugięcie w punkcie A Przykład rachunkowy  przemieszczenie poziome A


MM2 Ä…"t
uA = + M2 h + N2Ä…t0 ds
EI
(u)
(s)


MM1 Ä…"t
Ponieważ M2 a" 0 ostatecznie

vA = + M1 h + N1Ä…t0 ds

EI
(u) uA = N2Ä…t0 ds
(s)


Ponieważ N1 a" 0 ostatecznie
uA = Ä…t0 N2 ds = Ä…t0 (-(l1 + l2))
P "t
vA = vA + vA
tg +td
3
gdzie t0 = to temperatura średnia.
ql2
l2Ä…"t 2
vA = (4l1 + l2) - (2l1 + l2)
8EI 2h
Ostatecznie
co dla "t < 0 da ostatecznie wartość
uA = -Ä…t0 (l1 + l2)
dodatniÄ…
Obliczenia na jednostkach:

1 0
[uA] = C m = [m]
0
C
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 15 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 16
Przemieszczenie poziome w ramie Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór Rama obciążona osiadaniem podpór
Przykład liczbowy  przemieszczenie pionowe A Przykład liczbowy  przemieszczenie pionowe A
Wzór Maxwella-Mohra:
vA =


Rj Rj
MM NN ºQQ Ä…"t
2
= + + + M + NÄ…t0 ds - Ri"i +
3ql2
P MM 1 l2 1 l ql4
EI EA GA h kj
vA = ds = - ql2 + 23ql + l = -
i j EI EI 12 4 3 4 2 3EI
Uprości się do:


MM
Jednostki: [m]
vA = ds - Ri"i
EI
i
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 17 Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 18
Przemieszczenie poziome w ramie
Całkowanie graficzne
Wzór Maxwella-Mohra
Wzór Simpsona
Przykłady rachunkowe
Belka obciążona różnicą temperatur
Rama obciążona osiadaniem podpór
Przykład liczbowy  przemieszczenie pionowe A


c c
vA = Ri"i = -Rcc = - -1 c = Jednostki: [m]
2 2
i
c ql4
Ostatecznie: vA = -
2 3EI
Politechnika Rzeszowska Bartosz Miller Mechanika budowli  obliczanie przemieszczeń 19