Statystyka opisowa zajmuje siÄ™ metodami statystycznymi za
pomocą których opisujemy i charakteryzujemy w sposób
sumaryczny badane zbiorowości. Zaliczamy tutaj między innymi
miary: średnie, dyspersji, asymetrii i koncentracji.
Statystyka matematyczna zajmuje siÄ™ metodami wnioskowania
statystycznego, które polegają na tym, że na podstawie wyników
uzyskanych z próby formułujemy wnioski o całej zbiorowości.
Wnioskowanie statystyczne obejmuje estymacjÄ™ i weryfikacjÄ™
hipotez statystycznych.
Wnioskowanie statystyczne
Estymacja
Weryfikacja postawionych
hipotez statystycznych
Estymacja przedziałowa
Estymacja punktowa
Estymacja to szacowanie wartości parametrów lub postaci funkcji rozkładu
prawdopodobieństwa w populacji generalnej na podstawie wyników próby.
Podstawowe oznaczenia:
¸
- parametr - charakterystyka określająca całą populację,
Tn
- estymator - pewna funkcja określona na próbie, która służy do
¸
oszacowania nieznanej wartości parametru ,
¸
T - ocena parametru , jest to konkretna wartość liczbowa, którą przyjmuje
estymator dla realizacji próby.
Estymator jest zmienną losową o określonym rozkładzie. Podstawowe
( )
( )
( )
( )
E Tn
charakterystyki estymatora to wartość oczekiwana  i odchylenie
( )
( )
( )
standardowe -D(Tn)
nazywane średnim błędem szacunku.
Własności, które powinien mieć dobry estymator:
1. Nieobciążoność
( )
( )
( )
( )
E Tn =¸
Wartość oczekiwana estymatora jest równa wartości szacowanego
parametru.
Wniosek: odchylenia wartości estymatora od wartości parametru nie są
systematycznie zawyżane ani zaniżane.
Tn
W przeciwnym przypadku estymator nazywamy obciążonym, a różnicę:
( ) ( )-¸
( ) ( )-
( ) ( )-
( ) ( )-
b Tn = E Tn
nazywamy obciążeniem estymatora.
Tn
¸
Mówimy, że estymator parametru jest asymptotycznie nieobciążony,
jeśli:
( )
( )
( )
( )
lim b Tn = 0
n"
"
"
"
2. Zgodność
Estymator jest zgodny, jeżeli spełnia warunek:
p Tn = ¸
lim
n"
"
"
"
Wniosek: wraz ze wzrostem liczby obserwacji wzrasta dokładność
oszacowania.
Tn
¸
3. Efektywnością estymatora nieobciążonego parametru nazywamy
iloraz
( )
( )
( )
D2(Tn)
( )
( )
( )
e(Tn') =
( )
( )
( )
( )
D2 Tn'
Tn Tn'
- oznacza estymator najefektywniejszy, - to estymator badany.
Estymator jest najefektywniejszy, jeżeli jest nieobciążony i ma najmniejszą
wariancjÄ™.
Tn
¸
Jeśli estymator parametru jest zgodny, to jest asymptotycznie
nieobciążony. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Przykład: Estymatorem wartości oczekiwanej jest średnia arytmetyczna.
( )
( )
( )
E(Xi)=0,5
Ponieważ dla każdego rzutu monetą mamy , estymowany
¸
parametr jest równy 0,5.
X1 +X2 +X3 +X4
T4 = X =
Estymator
4
Rzucamy czterokrotnie monetą i następnie obliczamy średnią arytmetyczną:
Możliwy wynik, jest
realizacjÄ… zmiennej
X1 X2 X3 X4
losowej
I doświadczenie 0 0 1 1 X = 1/ 2
II doświadczenie 1 0 0 0 X = 1/ 4
III doświadczenie 1 0 1 1 X = 3/ 4
itd.
Możliwe wyniki i ich prawdopodobieństwa:
0 1/4 1/2 3/4 1
Xi
1/16 4/16 6/16 4/16 1/16
pi
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0 1/4 1/2 3/4 1
Badamy nieobciążoność:
( )
( )
( ) " " " " "
( ) " " " "
E X = 0"1/ 16+1/ 4"4 / 16+1/ 2"6 / 16+ 3/ 4"4/ 16+1"1/ 16 = 1/ 2
" " " " "
"
Wniosek: średnia arytmetyczna jest estymatorem nieobciążonym.
X1 +X2 +X3 +X4
T4 = X =
Wariancja estymatora
4
2 2
( ) (0 - " ( - "
( ) ( -1/ ) " ( -1/ ) "
) ( )
) )
( )= ( - " - "
D2(T4) ( - 2) "1/ 16+(1/ 4 - 2) "4 / 16+ ...
1
2 2 2
( -1/ ) " ( -1/ ) " ( - "
( ) ( ) ( -1/ ) "
) ) )
)
(1/ 2 - 2) "6 / 16+(3/ 4 - 2) "4 / 16+(1- 2) "1/ 16 =
( - " ( - " ( - "
- " - "
16
X1 +X2
T2 = X =
Wariancja estymatora
2
1
( )
( )
( )
D2(T2) =
8
( ) ( )
( ) ( )
( )> ( )
D2(T2) D2(T4)
Mamy zatem . Wniosek: wraz ze wzrostem obserwacji rośnie
precyzja oszacowania => zgodność estymatora.
Wyróżniamy estymację punktową i przedziałową.
Estymacja punktowa polega na tym, że za ocenę parametru przyjmuje się
konkretną liczbę otrzymaną za pomocą estymatora na podstawie próby
losowej (wcześniejszy przykład).
Estymacja przedziałowa polega na tym, że konstruuje się pewien przedział
(zwany przedziałem ufności), o którym możemy powiedzieć, że z określonym
1-
-ą będzie zawierał wartość szacowanego
-
prawdopodobieństwem -
1-
-Ä…
-
parametru. Prawdopodobieństwo - określa się jako współczynnik
(poziom) ufności.
 Jerzy Neyman (1894  1981)
{ ( ) ( )}=1-Ä…
{ ( ) ( )} -
{ ( ) ( )} -
P{g1(Tn)<¸( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
g1(Tn) g2(Tn)
 jest to dolna granica przedziału,  górna granica przedziału
ufności,
1- współczynnik ufności  prawdopodobieństwo tego, że wyznaczając na
-Ä…
-
-
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
g1(Tn) g2(Tn)
podstawie n-elementowych prób dolną i górną granicę
przedziału nieznana wartość parametru znajduje się w tym przedziale.
Własności przedziału ufności
Interpretacja częstościowa:
1.W nieskończenie wielu doświadczeniach (w praktyce dla dużej
liczby doświadczeń) otrzymany procent przedziałów, które
( - )
( - )"
(1-Ä…)
( "
¸ "
zawierają nieznaną wartość parametru jest równy - )"100
2. Im większa liczba obserwacji tym krótszy przedział ufności =>
większa precyzja.
3. Im większa wartość współczynnika ufności tym większe
prawdopodobieństwo, że estymowany przedział będzie zawierał
nieznany parametr, z drugiej jednak strony większa wartość
współczynnika ufności zwiększa długość przedziału => mniejsza
precyzja.
Przedział ufności dla średniej w populacji o rozkładzie normalnym ze
znanym odchyleniem standardowym w populacji
Estymatorem średniej w populacji jest średnia arytmetyczna z próby
n
Xi
"
"
"
"
Ã
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
öÅ‚
i=1
X ~ NëÅ‚z,
X = ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
, która ma rozkład .
n
n
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Przedział ufności dla średniej:
à Ã
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
PÅ„Å‚X-zÄ… <µ < X+zÄ… üÅ‚ = 1-Ä…
- -
- -
- -
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚
n nżł
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
zą - wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego dla danego poziomu
1-
-Ä…
-
ufności -
Ã
- odchylenie standardowe w populacji generalnej.
Przedział ufności dla średniej w populacji o rozkładzie normalnym z
nieznanym odchyleniem standardowym w populacji
Jeżeli próba zawiera mniej niż 30 obserwacji (mała próba) (n < 30) 
konstruujemy przedział ufności w oparciu statystykę t o rozkładzie t
Studenta dla n-1 stopni swobody
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
S(x) S(x)
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
üÅ‚
PÅ„Å‚X-tÄ…,n-1 < µ < X+tÄ…,n-1 = 1-Ä…
- -
- -
- -
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚
- -
- -
- -
n-1 n-1żł
- -
- -
- -
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
gdzie:
n
2
( - )
(
(xi - )
(
" - x)
" - )
"
"
i=1
( )
( )
( )
S2(x) =
- odchylenie standardowe z próby,
n
tÄ…,n-1
- wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta dla poziomu ufności
-
-
-
1- Ä… oraz n 1 stopni swobody.
-
-
-
ne" 30
Gdy (duża próba), możemy skonstruować przedział ufności w oparciu
o rozkład normalny
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
S x S x
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
üÅ‚
PÅ„Å‚X- zÄ… < µ < X+zÄ… = 1-Ä…
- -
- -
- -
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
n n
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
Przedział ufności dla wskaz
nika struktury (prawdopodobieństwa sukcesu,
odsetka)
Tylko duża próba (n> 120)
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
Å„Å‚
m m m m
ëÅ‚1- öÅ‚ ëÅ‚1- öÅ‚üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚üÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚üÅ‚
- -
- -
- -
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ôÅ‚
ôÅ‚m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
m
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
n n
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ôÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ôÅ‚ 1-Ä…
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ôÅ‚
Å‚Å‚ Å‚Å‚ôÅ‚
PôÅ‚ - zÄ… n íÅ‚ < p < +zÄ… n íÅ‚ = -
- -
- -
-
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
n n n
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚n ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
p  wskaz
nik struktury,
n  liczba obserwacji,
m  liczba elementów w próbie, które posiadają wyróżnioną cechę.
Przedział ufności dla wariancji - mała próba (n<30)
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
nS2(x) nS2(x)
PòÅ‚ < Ã2 < = 1- Ä…
-
-
-
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
żł
Ç2 Ç2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
Ä… Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
,n-1 1- ,n-1
- - -
- - -
- - -
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół 2 2 þÅ‚
ół þÅ‚
Ç2 Ç2
, wartości krytyczne z rozkładu chi-kwadrat o n-1
Ä… Ä…
,n-1 1- ,n-1
- - -
- - -
- - -
2 2
stopniach swobody
n e"
e"
e"
Przedział ufności dla odchylenia standardowego - duża próba, e" 30
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
S x S x
PòÅ‚ < Ã < = 1-
-Ä…
-
-
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
òÅ‚ żł
zą żł
ôÅ‚1+ zÄ… ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
1-
-
-
-
2n 2n
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
ół þÅ‚
Wyznaczanie minimalnej liczebności próby przy estymacji średniej
(wartości oczekiwanej)
" Gdy znane jest odchylenie standardowe w populacji
2 2
zÄ…Ã
Ã
Ã
Ã
Ä…
Ä…
Ä…
n =
=
=
=
d2
d  maksymalny błąd szacunku.
" Gdy nie znane jest odchylenie standardowe w populacji - mała próba
n < 30
<
<
<
2
tÄ… ,n-1%5Å„(x)2
Ä… -
Ä… -
Ä… -
n =
=
=
=
d2
" Gdy nie znane jest odchylenie standardowe w populacji - duża próba,
n e" 30
e"
e"
e"
2
zÄ…s(x)2
Ä…
Ä…
Ä…
n =
=
=
=
d2
Wyznaczanie minimalnej liczebności próby przy estymacji
wskaz
nika struktury
Jeśli znamy spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji p
2
zÄ… pq
Ä…
Ä…
Ä…
n =
=
=
=
d2
Jeśli nie znamy rzędu wielkości szacowanego wskaz
nika struktury
2
zÄ…
Ä…
Ä…
Ä…
n =
=
=
=
4d2