1
STATYSTYKA MATEMATYCZNA I PODSTAWY EKSPERYMENTU
dr inż Krzysztof Bryś
wyklad 1 i 2
Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa
1. Poj¸ wst¸
ecia epne.
Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
jedynie informacje o zbiorze możliwych wyników tego doświadczenia. Wynik doświadczenia losowego
wykluczajacy inne możliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.
¸
UWAGA: Zaklada si¸ że w wyniku doÅ›wiadczenia losowego zachodzi dokladnie jedno zdarzenie
e,
elementarne.
Zbiór wszystkich zdarzeÅ„ losowych nazywamy przestrzeni¸ zdarzeÅ„ elementarnych i oznaczamy
a
przez &!.
Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik doświadczenia losowego. Każde zdarzenie losowe
jest zbiorem zdarzeń elementarnych
UWAGA: Jeżeli &! jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny
podzbiór zbioru &!
Zdarzenie " nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Zdarzenie &! nazywamy zdarzeniem pewnym.
Zdarzenie A = &! \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.
Jeżeli dla dwóch zdarzeÅ„ A i B zachodzi A )" B = ", to mówimy, że zdarzenia te wykluczaj¸ si¸ (s¸
a e a
rozlaczne).
¸
Przyklady. Zdarzenie A = miesi¸ kwiecieÅ„ ma 31 dni jest zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie
ac
B = miesi¸ kwiecieÅ„ ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj
ac
jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzień tygodnia niż niedziela.
Rozważmy teraz przyklad bardzo prostego doświadczenia losowego.
Przyklad. Rozważmy doÅ›wiadczenie losowe polegaj¸ na jednokrotnym rzucie monet¸ PrzestrzeÅ„
ace a.
zdarzeÅ„ elementarnych sklada sie z dwóch elementów, zdarzenia ÉO polegajacego na wypadni¸ orla
eciu
i ÉO, które oznacza wypadni¸ reszki. Wypiszmy wszystkie możliwe podzbiory zbioru &! (zdarzenia
ecie
losowe):
A1 = &! = {ÉO, ÉR}, A2 = {ÉO}, A3 = {ÉR}, A4 = ".
Zdarzenie A1 polega na wypadni¸ orla lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A4 polegajace
eciu ¸
na niewypadni¸ ani orla ani reszki nie może zajść w wyniku naszego doÅ›wiadczenia losowego. Jest
eciu
to zdarzenie niemożliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A2 - wypadl orzel jest zdarzenie A3 - wypadla
reszka. Zwróćmy uwag¸ na to, że A2 *" A3 = &! (w wyniku rzutu monet¸ wypadnie orzel lub reszka)
e a
oraz A2 )" A3 = " (nie może wypaść jednocześnie orzel i reszka).
2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech &! b¸ zbiorem skoÅ„czonym, to znaczy &! = {É1, É2 . . . , ÉN}. Dla dowolnego zdarzenia
edzie
2
A Ä…" &! takiego, że A = {Éi , Éi , . . . , Éi }, gdzie i1, i2, . . . , ik " {1, 2, . . . N}, definiuje si¸ funkcj¸
e e
1 2 k
prawdopodobieÅ„stwa w nast¸ acy sposób:
epuj¸
P (A) = P ({Éi }) + P ({Éi }) + . . . + P ({Éi }).
1 2 k
W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸ jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (É1) = P (É2) =
a
1
. . . = P (ÉN) = , otrzymujemy nast¸ ¸ wzór:
epujacy
N
|A| k liczba zdarzeÅ„ elementarnych sprzyjaj¸ zdarzeniu A
acych
P (A) = = = .
|&!| N liczba wszystkich zdarzeń elementarnych
Powyższa definicja prawdopodobieństwa nie jest poprawna w ogólności, gdyż zbiór &! nie musi być
skoÅ„czony a zdarzenia elementarne nie musz¸ by%0Å‚ jednakowo prawdopodobne.
a
3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech &! b¸ przestrzenia zdarzeÅ„ elementarnych, Z Ä…" 2&! = P(&!) zbiorem zdarzeÅ„ losowych.
edzie ¸
Funkcj¸ prawdopodobieÅ„stwa nazywamy funkcj¸
a e:
P : Z [0, 1]
spelniajac¸ nast¸ ¸ trzy aksjomaty:
¸ a epujace
P 1) P (A) e" 0 dla każdego A " Z,
P 2) P (&!) = 1
P 3) jeżeli A1, A2, . . . , An jest ciagiem zdarzeń rozlacznych (to znaczy Ai )" Aj = " dla i = j), to
¸ ¸
+" +"
P ( Ai) = P (Ai).
i=1 i=1
Wartość funckji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A
Wlasności prawdopodobieństwa:
1. P (") = 0.
2. Jeśli A ą" B, to P (A) d" P (B).
3. Dla dowolnego A Ä…" &! P (A) d" 1.
4. Jeśli A ą" B, to P (B \ A) = P (B) - P (A).
5. Dla dowolnego A Ä…" &! P (A) + P (A) = 1.
6. P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B).
7. Jeżeli zdarzenia A1, A2, . . . , An s¸ parami rozlaczne, to P (A1 *"A2 *". . .*"An) = P (A1)+P (A2)+
a ¸
. . . + P (An).
3
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszlo zdarzenie B:
P (A )" B)
P (A|B) =
P (B)
Doświadczenia niezależne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.
Zdarzenia niezależne = zdarzenia A, B, dla których:
P (A )" B) = P (A) · P (B)
albo
P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B)
Informacja o zajÅ›ciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸ drugiego.
apienia
Zmienna losowa jednowymiarowa
Intuicyjnie: zmienna, która przyjmuje pewn¸ wartość liczbow¸ w wyniku doÅ›wiadczenia losowego.
a a
Formalnie: Funkcja X : &! R przyporz¸ ¸ a
adkowujaca każdemu zdarzeniu losowemu pewn¸ wartość
liczbow¸
a
Dystrybuanta zmiennej losowej X - funkcja FX : R R zdefiniowana nast¸ aco:
epuj¸
F (x) = P (X < x) dla każdego x " R
Zmienna losowa typu skokowego
Zmienna X, dla której zbiór wartoÅ›ci przyjmowanych przez t¸ zmienn¸ jest skoÅ„czony lub przeliczalny,
a a
tzn WX = {x1, x2, . . . , xn} albo WX = {x1, x2, . . . , xn, ldots}
Rozklad prawdopodobieństwa: funkcja P , która każdemu punktowi skokowemu xi " WX
przyporz¸
adkowuje skok prawdopodobieństwa pi = P (X = xi) w taki sposób, że:
1) dla każdego i : pi > 0 oraz
2) pi = 1
i
.
Zmienna losowa typu ciaglego
¸
Zmienna X, dla której zbiór wartoÅ›ci przyjmowanych przez t¸ zmienn¸ jest przedzialem liczbowym
a a
lub sum¸ przedzialów.
a
Rozklad prawdopodobieÅ„stwa: funkcja f zwana g¸ a prawdopodobieÅ„stwa taka, że
estoÅ›ci¸
1) dla każdego x " R : f(x) e" 0 oraz
+"
2) f(x)dx = 1
-"
.
4
Podstawowe parametry zmiennej losowej
1. Wartość oczekiwana zmiennej losowej X = liczba E(X) b¸ aca Å›rednia ważon¸ rozkladu
ed¸ a
prawdopodobieÅ„stwa przy zalożeniu, że wag¸ jest prawdopodobieÅ„stwo (dla zmiennej losowej typu
a
skokowego) albo Å›rodkiem ci¸Å¼koÅ›ci rozkladu prawdopodobieÅ„stwa przy zalożeniu, że g¸ ¸ jest
e estościa
funkcja g¸ prawdopodobieÅ„stwa (dla zmiennej losowej typu ciaglego).
estoÅ›ci ¸
2. Wariancja zmiennej losowej X= D2(X) = wartość oczekiwan kwadratu odchylenia zmiennej
od jej wartości oczekiwanej - miara średniego odchylenia kwadratowego.
3. Odchylenie standardowe zmiennej losowej X = D(X)= pierwiastek z wariancji - miara
średniego odchylenia zmiennej od jej wartości oczekiwanej.
4. Kwantyl rz¸ p = xp = punkt, w którym skumulowane prawdopodobieÅ„stwo (dystry-
edu
buanta) osiaga (przekracza) wartość p.
¸
1
mediana=Me=kwantyl rz¸
edu
2
1
kwartyl dolny=Q1=kwantyl rz¸
edu
4
3
kwartyl dolny=Q3=kwantyl rzedu
4
i-ty decyl= przedzial mi¸ kwantylem rz¸ (i - 1) · 0.1 a kwantylem rz¸ i · 0.1
edzy edu edu
i-ty percentyl= przedzial mi¸ kwantylem rz¸ (i - 1) · 0.01 a kwantylem rz¸ i · 0.01
edzy edu edu
Podstawowe teoretyczne rozklady prawdopodobieństwa
Typu skokowego
1. Rozklad jednopunktowy.
2. Rozklad dwupunktowy (zerojedynkowy).
3. Rozklad Bernoulliego (dwumianowy) - B(n, p)
4. Rozklad Poissona - Po()
5. Rozklad geometryczny.
6. Rozklad hipergeometryczny.
Typu ci¸
aglego
1. Rozklad jednostajny na przedziale (a; b) - U(a, b)
2. Rozklad normalny (Gaussa) - N(m, Ã)
3. Rozklad t-Studenta o n stopniach swobody.
4. Rozklad chi kwadrat o n stopniach swobody