Zastosowania
Statystyki
Statystyka, dlaczego i kiedy?
" Ocena niepewności wyników zgodnie ISO-GUM
" Ocena Porównania Międzylaboratoryjnego (ILC)
" Zapewnienie jakości:
 metody działania (dokładność; precyzja; ...)
" Optymalizacja procedur pomiarowych
Statystyka w ocenie niepewności
ą 1 s
Rozkład normalny
ą 2 s
-4 -2 0 2 4
dla zbioru n wartości xi
X
n
1
x xi
Wartość nominalna (średnia)
n
i 1
2
n
1
Odchylenie standardowe
s(xi ) xi x
n 1
i 1
V (xi ) s2(xi )
Wariancja (rozbieżność)
s(xi )
RSD (bezwzgl ., %)
Względne odchylenie standardowe
x
Częstość
Rozkład prostokątny
Wartość zawiera się w przedziale
a K�a
2a(= a)
Wartość oczekiwana
y x a
1/2a
Przyjęte odchylenie standardowe:
X
s a / 3
Przyjmuje się, że jest jednakowo prawdopododobne, że
wartość leży gdziekolwiek w przedziale
Przykład rozkładu prostokątnego
 Prawdopodobnie wartość znajduje się gdzieś w zakresie
Rozkład prostokątny jest zazwyczaj opisywany w kategoriach:
wartość średnia i zakres (ąa)
Certyfikaty lub inne specyfikacje podają granice, w których może być
wartość bez podania przedziału ufności (lub stopnia swobody).
Przykłady
Stężenie wzorca kalibracyjnego wyrażone jest jako: (1000 2) mg/l
Przyjmując rozkład prostokątny niepewność wzorca wynosi:
s u(x) a / 3 2 / 3 1.16 mg / l
Czystość kadmu podana jest w certyfikacie jako: (99.99 0.01) %
Przyjmując rozkład prostokątny niepewność wzorca wynosi:
s u(x) a / 3 0.01/ 3 0.0058 %
Rozkład Trójkątny
Rozkład stosowany wówczas, gdy
przypuszczamy, że bardziej
prawdopodobne jest uzyskanie
wartości w pobliżu środka
2a (= a)
zakresu niż przy jego krańcach
y x a
1/a
Przyjęte odchylenie standardowe:
s a 1/ 6
X
Przykład rozkładu trójkątnego
Wartości w pobliżu x są bardziej prawdopodobne niż leżące na
obrzeżach zakresu.
Dostępność informacji dotycząca wartości prawdziwej jest mniej
ograniczona niż w przypadku rozkładu prostokątnego.
Przykład (objętość kolby szklanej)
Producent podaje objętość kolby jako:
(100 ą 0.1) ml w T = 20� C.
Nominalna wartość najbardziej prawdobodobną !
Zakładając rozkład trójkątny niepewności wzorca:
s u(x) a 1/ 6 0.1/ 6 0.04 ml
W przypadkach wątpliwych zastosuj rozkład prostokątny
Przedział ufności
Jednostkowe obserwacje rozkładają się wokół najlepiej
szacowanej wartości prawdziwej z rozkładem zależnym
od precyzji
Przybliżenie  wartości prawdziwej ( ) leżącej w
przedziale ufności (CI), z prawdopodobieństwem
(1- ),
mając  n-1 stopni swobody:
(gdzie n = liczba powtórzeń)
x (1 ) % CI (n)
95 % CI t(0.05, n 1) * s / n
Przedział ufności (2)
N(0,1)
ą 1 s
ą 2 s
-4 -2 0 2 4
s 68 %
s 95 %
s 99.7%
Częstość
Prawo  Propagacji niepewności
bez korelacji
Y = f (X1, X2, ....., Xn)
2
f
2
uc 2 (Y ) u( X )
i
X
i
C (a b)
u(C) u(a)2 u(b)2
C (a b)
C (a b)
2 2
u(C) u(a) u(b)
C (a / b)
C a b
Sposoby oszacowania niepewności
Ocena niepewności typu A :
statystyczne analizy serii obserwacji.
Standardowa niepewność typu A jest uzyskiwana przez
powtórzenie pomiarów i jest liczona jako odchylenie standardowe
wartości pomiarowych
Ocena niepewności typu B :
poprzez inne sposoby niż analizy statystyczne
(wcześniejsze eksperymenty, dane literaturowe, informacje
producentów)
[GUM, 1993]
Według GUM...
Kiedy nie ma powiązań pomiędzy wielkościami złożona
niepewność standardowa jest oszacowana jako zbiór
kwadratów złożonych wariancji zgodnie z prawem
propagacji niepewności:
2
f
2
uc 2 ( y) u(xi )
xi
Niepewność rozszerzoną U otrzymuje się przez
pomnożenie złożonej niepewności standardowej przez
współczynnik rozszerzenia k:
U( y) k * uc ( y)
często k = 2
Niepewność przedstawiana jako
odchylenie standardowe [ s = u(x) ]
R x x
Ale co przedstawia x ?
" odchylenie standardowe?
" prostokątny rozkład niepewności?
" trójkątny rozkład niepewności?
" przedział ufności bez podania stopnia swobody?
" przedział ufności z podaniem stopni swobody?
" niepewność złożona ?
" niepewność rozszerzona? Czy  k jest
określone?
Odchylenie standardowe
pojedynczego pomiaru
0. Eksperyment pomiarowy Ł�niepewność (Typ A) !
1. Pojedynczy pomiar z kilkoma instumentalnymi powtórzeniami:
R x s
s
- pochodząca z danych instrumentu pomiarowego
- wyliczona dla (aparaturowych) powtórzeń
Odchylenie standardowe
dla n niezależnych pomiarów
2. Kilka (n) różnych pomiarów
z kilkoma instrumentalnymi powtórzeniami
Ri xi si
Zakładając że WSZYSTKIE si są podobne (= s)
Ri xi s
s
R (Ri ) smean (Ri )
n
Czy otrzymane wyniki różnią się?
Z oszacowaniem
Bez oszacowania
wartość
niepewności
12.5 niepewności
(tylko precyzja)
12.0
11.5
11.0
10.5
R1 R2 R1 R2 R1 R2
-1
mg kg
(Tradycyjne) Przybliżenie Statystyczne
Pomiar zawartości Cd w roślinach
3 zmineralizowane próbki
I mineralizacja : 20.5 mg/kg
średnia [Cd] = 21.0 mg/kg
II mineralizacja : 21.0 mg/kg
(odchylenie standardowe) s = 0.5 mg/kg
III mineralizacja : 21.5 mg/kg
(średnia odchyl. stand.)CCd = (21.0 ą 0.5) mg/kg
(średnia 95% prawd.) CCd = (21.0 ą 1.2) mg/kg, z n = 3
t(0.05,2)= 4.3
Podejście GUM
Pomiar zawartości Cd w roślinach
3 zmineralizowane próbki
I mineralizacja : 20.5 mg/kg
średnia [Cd] = 21.0 mg/kg
II minaralizacja : 21.0 mg/kg
Niepewność złoż.. uc = 2.1 mg/kg
III mineralizacja : 21.5 mg/kg
Obliczenie budżetu niepewnościŁ�Niepewność złożona
(zawierająca udział wszystkich parametrów)
średnia rozszerzona niepewność
CCd= (21.0 ą 4.2) mg/kg, przy k = 2
Statystyka w określaniu cech charakterystycznych
i sprawności metody
Najlepsze
przybliżenie do
 Wartości
Dokładne? Precyzyjne?
prawdziwej
nie nie
l� l� l�l� l�
nie tak
l�l�l�l�l�
tak nie
l� l� l�l� l�
tak tak
l�l�l�l�l�
(zgodne) (rozrzucone)
Precyzja: stopień zgodności pomiędzy niezależnymi
wynikami uzyskanymi w zalecanych warunkach [ISO 5725]
Precyzja�� Rozrzut �� niepewność ��
Dokładność
Stopień (zakres) zgodności wyniku pomiaru z
akceptowaną wartością odniesienia (wartością
rzeczywistą wielkości mierzonej)
(ISO 3534-1)
Dokładność nie może być opisana za pomocą rozkładu
normalnego, ale jako rozbieżność średniej arytmetycznej
serii wyników od akceptowanej wartości odniesienia
Dokładność�� Odchylenie��(zero)
Powtarzalność
Precyzja uzyskana w warunkach powtarzalności:
 to samo laboratorium, analityk, sprzęt,
czas (krótki przedział czasowy)
Zwykle stosuje się do badania zmian dla serii lub pomiędzy
kolejnymi powtórzeniami pomiarów.
Precyzja w obrębie danej operacji = Powtarzalność
Odtwarzalność
Precyzja uzyskana w warunkach odtwarzalności :
 różne laboratoria, analityk, sprzęt,
czas (krótki przedział czasowy)
Zwykle stosuje się do badania zmian oczekiwanej wartości
pomiarowej pomiędzy różnymi laboratoriami.
Precyzja pomiędzy operacjami = Odtwarzalność
Anova, pojedyńczy wpółczynnik
Skrót,(Wyciąg)
Grupy Wylicz. suma Średnia wariancja
Powtórzenia 1 2 3 4 5 6
Vials 1 66 68 67 69 70 69 1 6 409 68.2 2.2
2 66 67 68 68 68 69 2 6 406 67.7 1.1
3 71 67 68 69 68 70 3 6 413 68.8 2.2
4 66 68 67 68 68 69 4 6 406 67.7 1.1
5 67 67 66 69 69 68 5 6 406 67.7 1.5
6 65 67 67 69 68 69 6 6 405 67.5 2.3
7 67 68 68 68 69 69 7 6 409 68.2 0.6
8 67 66 66 68 68 69 8 6 404 67.3 1.5
9 67 67 66 69 68 69 9 6 406 67.7 1.5
10 66 65 67 68 69 68 10 6 403 67.2 2.2
11 67 67 69 68 68 70 11 6 409 68.2 1.4
12 67 68 69 69 68 69 12 6 410 68.3 0.7
13 67 67 68 69 68 68 13 6 407 67.8 0.6
14 67 68 68 69 68 69 14 6 409 68.2 0.6
15 65 66 65 68 68 67 15 6 399 66.5 1.9
72
71 ANOVA
70
Zakres zmian SS df MS F P-wartość F krytyczny
69
Pomiędzy grupami
26.2 14 1.87 1.34 0.207 1.83
68
R = 2* 2 * sR Wewnatrz grup 104.8 75 1.40
67
66
r = 2* 2 * sr Total 131.0 89
65
Powtarzalność odchylenia
64
standardowego 1.18 =sqrt(MSW)
s
r
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Odtwarzalność odchylenia
1.21 =sqrt(MSW+(MSB-MSW)/N)
s
R
standardowego
(n powtórzeń)
Statystyka
Dla porównań międzylaboratoryjnych(ILC),
Testy biegłości (PT)
czynnik Z (tradycyjnie)
xlab xref
Z
" s "
RóżnicaŁ�OdległośćŁ� Dokładność
 Znormalizowana ze względu na ...
" cel działania (np. 5%)
" niepewność wartości odniesienia (wartości
nominalnej)
" wewnątrz-laboratoryjne porównania odtwarzalności
En-score według GUM
xla b xref
En
(ula b2 uref 2 )
 Znormalizowana ze względu na ...
propagację niepewności złożonej
Wykonanie oceny:
0 <|En|< 2 : dobrze
2 <|En|< 3 : ostrzeżenie Ł�akcja ostrzegania
|En|> 3 : nie satysfakcjonująca Ł�akcja
działania
Kryteria oceny
Wartosci krytyczne:
0 <|En|< 2 : dobrze
2 <|En|< 3 : ostrzeżenie Ł�akcja ostrzegania
|En|> 3 : zle Ł�działania korygujace
Budżet niepewności
Obliczenia krok po kroku
Model: Y = X1 * X2 / (X3 * X4) część 1
1
2
RSD Odchylenie standardowe Wartość Opis
?? 0,02 2,46 X1
3,0% ?? 4,32 X2
?? 0,11 6,38 X3
2,3% ?? 2,99 X4
3
RSD Odchylenie standardowe Wartoś Opis
ć
0,8% 0,02 2,46 X1
4
3,0% 0,13 4,32 X2
RSD Odchylenie standardowe Wartość Opis
1,7% 0,11 6,38 X3
0,8% 0,02 2,46 X1
2,3% 0,07 2,99 X4
3,0% 0,13 4,32 X2
1,7% 0,11 6,38 X3
2,3% 0,07 2,99 X4
?? ?? 0,557 Wynik
Model: Y = X1 * X2 / (X3 * X4) część 2
1
RSD Odchylenie standardowe Wartoś Opis X1 X2 X3 X4
ć
5
0,8% 0,02 2,46 X1 ........... 2,46 2,46 2,46
..
3,0% 0,13 4,32 X2 4,32 ........... 4,32 4,32
..
1,7% 0,11 6,38 X3 6,38 6,38 ........... 6,38
..
2,3% 0,07 2,99 X4 2,99 2,99 2,99 ...........
..
?? ?? 0,557 Wynik
6
RSD Odchylenie standardowe Wartoś Opis X1 X2 X3 X4
ć
0,8% 0,02 2,46 X1 2,48 2,46 2,46 2,46
6,38
3,0% 0,13 4,32 X2 4,32 2,45 4,32 4,32
1,7% 0,11 6,38 X3 6,38 6,38 6,49 6,38
x+ x
2,3% 0,07 2,99 X4 2,99 2,99 2,99 3,06
0,557 Wynik 0,562 0,574 0,548 0,544
4,2% 0,024
Różnica 0,005 0,017 -0,009 -0,013 0,001
7
2
Pierwiastek
uc yi y
i
kwadratowy
różnicy
Model: Y = X1 * X2 / (X3 * X4) część 3
Ś�
Odchylenie
RSD wartość opis
X1 X2 X3 X4
wariancji
0,8% 0,02 2,46 X1 2,48 2,46 2,46 2,46
3,0% 0,13 4,32 X2 4,32 4,45 4,32 4,32
1,7% 0,11 6,38 X3 6,38 6,38 6,49 6,38
2,3% 0,07 2,99 X4 2,99 2,99 2,99 3,06
4,2% 0,024 0,557 wynik 0,562 0,574 0,548 0,544
różnica 0,005 0,017 -0,009 -0,013 0,001
index 3,7% 50,8% 16,1% 29,4% 100,0%
��
suma
( yi y)2
Główny składnik:
index
2
X1
yi y
i
X4
" Typ B?L�
" Typ A?J�
X2
" Powtórzenia?
X3
" Czasochłonność?
" Karty kontrolne?