KONSTRUKCJE PR
TOWE
STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Przypadki w których wielkości do wyznaczenia jest więcej od równań statyki  przypadki
nazywane sÄ… statycznie niewyznaczalne.
W zależnościom liczby niewiadomych, dla których  zabrakło równań statyki określa się rząd
statycznej niewyznaczalności. Dlatego wykorzystuje się:
1. Warunki równowagi;
2. warunki geometryczne;
3. ZwiÄ…zki fizyczne.
ODKSZTAA
CENIA I NAPR
ŻENIA WYWOA
ANE ZMIAN

TEMPERATURY
Przyczyną odkształcenia ciała stałego może być oprócz działania sił również zmiana temperatury.
o
Przypuśćmy, że pręt z pewnego materiału ma w temperaturze 0 C długość l0. Przy wzroście tem-
peratury od tl do t2 długość jego zmienia się z l1 na l2. Wówczas średnim współczynnikiem roz-
szerzalności liniowej w granicach temperatur tl i t2 jest wielkość ą
1 l2 - l1
Ä…1,2 =
l0 t2 - t1 (1)
ą współczynnik rozszerzalności liniowej w temperaturze t
Ä…
Ä…
Ä…
1 "l 1 dl
Ä…t = lim =
(2)
l0 "t0 "t l0 dt
Współczynnik ten zależy przede wszystkim od rodzaju materiału (tabl. 1). Jak wykazują do-
świadczenia, dla metali technicznych można przyjąć bez większego błędu, że dla dość znacznego
zakresu temperatur ma on wartość stałą = ą)
(Ä…t
Tabela 1.
1 1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
Ä… ïÅ‚K śł Ä… ïÅ‚K śł
Materiał Materiał
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1
Aluminium 23*10-6 Stal niestopowa 12*10-6
Cynk 19*10-6 Żelazo 12*10-6
Magnez 16*10-6 Żeliwo 9*10-6
Miedz
17*10-6
Jeżeli znamy długość pręta l1 w temperaturze t1, to przyrost długości l2 - l1 po podgrzaniu do tem-
peratury t2 oblicza siÄ™ zgodnie ze wzorem
l2 - l1 = Ä…l0 t2 - t1 (3)
( )
wyrażając l0 przez l1, otrzymamy
l1 - l0 = Ä…l0 t1 - 0 : l0 (4)
( )
stÄ…d
l1
l0 =
(5)
Ä…t1 +1
Ä…l1
l2 - l1 = t2
( - t1 (6)
)
Ä…t1 +1
Jeżeli uwzględnimy, że współczynnik ą jest rzędu 10-6, to dla temperatur w najczęściej spotyka-
nym zakresie w zagadnieniach technicznych można przyjąć +1 H" 1. Wówczas
(Ä…t1
)
l2 - l1 = Ä…l1 t2 - t1 (7)
( )
Wydłużenie względne jest równe
l2 - l1
µ =
l1
więc dzieląc obustronnie równanie (7) przez l1 otrzymamy
µ = Ä…"t
(8)
Jeżeli oprócz wzrostu temperatury "t pojawi siÄ™ naprężenie Ã, to wydÅ‚użenie wzglÄ™dne wyrazi siÄ™
wzorem
Ã
µ = + Ä…"t
(9)
E
a wydłużenie całkowite pręta o długości l
2
Nl
 = + Ä…"tl
(10)
EA
Rys. 1. Wydłużenie pręta wywołane przyrostem temperatury
Przykład. Jeżeli pręt ma swobodę wydłużenia się (rys. 1a), to zmiana temperatury powodująca
odkształcenia nie będzie przyczyną pojawienia się naprężeń. Inaczej będzie w przypadku jak na
rys. 1b, gdzie oba końce pręta są mocowane w nieprzesuwnych podporach. Wskutek podgrzania
pręta w podporach A i B pojawią się reakcje RA i RB. Wyznaczymy ich wartości zgodnie z dotych-
czas poznanymi zasadami.
1) Warunki równowagi:
RA - RB = 0
2) Warunki geometryczne:
Odległość l między nieprzesuwnymi podporami nie ulega zmianie, skąd
µ = 0  = 0
3) Warunki fizyczne:
Zgodnie z równaniem (10)
Nl
 = + Ä…"tl
EA
Siły wewnętrzne
N = -RA = -RB
Z powyższych równań otrzymamy wartości RA i RB.
RA = RB = Ä…"tEA
więc
3
N = -Ä…"tEA
Wartość naprężenia à wywoÅ‚anego zmianÄ… temperatury otrzymamy z równania (9)
Ãt = -Ä…"tE
Naprężenia powstałe na skutek zmiany temperatury, nazywane są naprężeniami cieplnymi.
PrzykÅ‚ad. Obliczyć wartość naprężenia à dla prÄ™ta stalowego przy wzroÅ›cie temperatury o "t =
30 K, Ä…=12*10-6, E = 2,1*105 MPa
Ãt = -Ä…"tE
=-12 * 10-6 * 30 * 2.1 * 105 = -75.6 MPa
Przykład. Obliczyć całkowite wydłużenie pręta stalowego swobodnego przy wzroście temperatu-
ry o "t = 100 K, Ä…=12*10-6, l=1.0 m.
 = Ä…"tl
=12 * 10-6 * 100 * 1.0 = 0.0012 m = 1.2 mm
4