1
STATYSTYKA
dr inż Krzysztof Bryś
wyklad 1
KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEC
STWA
1. Poj¸ wst¸
ecia epne.
Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
jedynie informacje o zbiorze możliwych wyników tego doświadczenia. Wynik doświadczenia losowego
wykluczajacy inne możliwe wyniki nazywamy zdarzeniem elementarnym.
¸
UWAGA: Zaklada si¸ że w wyniku doÅ›wiadczenia losowego zachodzi dokladnie jedno zdarzenie
e,
elementarne.
Zbiór wszystkich zdarzeÅ„ elementarnych nazywamy przestrzeni¸ zdarzeÅ„ elementarnych i oz-
a
naczamy przez &!.
Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny wynik doświadczenia losowego. Każde zdarzenie losowe
jest zbiorem zdarzeń elementarnych
UWAGA: Jeżeli &! jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym, to zdarzeniem losowym jest dowolny
podzbiór zbioru &!
Zdarzenie " nazywamy zdarzeniem niemożliwym.
Zdarzenie &! nazywamy zdarzeniem pewnym.
Zdarzenie A = &! \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A.
Jeżeli dla dwóch zdarzeÅ„ A i B zachodzi A )" B = ", to mówimy, że zdarzenia te wykluczaj¸ si¸ (s¸
a e a
rozlaczne).
¸
Przyklady. Zdarzenie A = miesi¸ kwiecieÅ„ ma 31 dni jest zdarzeniem niemożliwym. Zdarzenie
ac
B = miesi¸ kwiecieÅ„ ma 30 dni jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniem przeciwnym do C = dzisiaj
ac
jest niedziela jest zdarzenie C = dzisiaj jest inny dzień tygodnia niż niedziela.
Rozważmy teraz przyklad bardzo prostego doświadczenia losowego.
Przyklad. Rozważmy doÅ›wiadczenie losowe polegaj¸ na jednokrotnym rzucie monet¸ PrzestrzeÅ„
ace a.
zdarzeÅ„ elementarnych sklada sie z dwóch elementów, zdarzenia ÉO polegajacego na wypadni¸ orla
eciu
i ÉO, które oznacza wypadni¸ reszki. Wypiszmy wszystkie możliwe podzbiory zbioru &! (zdarzenia
ecie
losowe):
A1 = &! = {ÉO, ÉR}, A2 = {ÉO}, A3 = {ÉR}, A4 = ".
Zdarzenie A1 polega na wypadni¸ orla lub reszki. Jest to zdarzenie pewne. Zdarzenie A4 polegajace
eciu ¸
na niewypadni¸ ani orla ani reszki nie może zajść w wyniku naszego doÅ›wiadczenia losowego. Jest
eciu
to zdarzenie niemożliwe. Zdarzeniem przeciwnym do A2 - wypadl orzel jest zdarzenie A3 - wypadla
reszka. Zwróćmy uwag¸ na to, że A2 *" A3 = &! (w wyniku rzutu monet¸ wypadnie orzel lub reszka)
e a
oraz A2 )" A3 = " (nie może wypaść jednocześnie orzel i reszka).
2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech &! b¸ zbiorem skoÅ„czonym, to znaczy &! = {É1, É2 . . . , ÉN}. Dla dowolnego zdarzenia
edzie
A Ä…" &! takiego, że A = {Éi , Éi , . . . , Éi }, gdzie i1, i2, . . . , ik " {1, 2, . . . N}, definiuje si¸ funkcj¸
e e
1 2 k
2
prawdopodobieÅ„stwa w nast¸ acy sposób:
epuj¸
P (A) = P ({Éi }) + P ({Éi }) + . . . + P ({Éi }).
1 2 k
W przypadku, gdy zdarzenia elementarne s¸ jednakowo prawdopodobne, to znaczy P (É1) = P (É2) =
a
1
. . . = P (ÉN) = , otrzymujemy nast¸ ¸ wzór:
epujacy
N
|A| k liczba zdarzeÅ„ elementarnych sprzyjaj¸ zdarzeniu A
acych
P (A) = = = .
|&!| N liczba wszystkich zdarzeń elementarnych
Powyższa definicja prawdopodobieństwa nie jest poprawna w ogólności, gdyż zbiór &! nie musi być
skoÅ„czony a zdarzenia elementarne nie musz¸ by%0Å‚ jednakowo prawdopodobne.
a
3. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa.
Niech &! b¸ przestrzenia zdarzeÅ„ elementarnych, Z Ä…" 2&! = P(&!) zbiorem zdarzeÅ„ losowych.
edzie ¸
Funkcj¸ prawdopodobieÅ„stwa nazywamy funkcj¸
a e:
P : Z [0, 1]
spelniajac¸ nast¸ ¸ trzy aksjomaty:
¸ a epujace
P 1) P (A) e" 0 dla każdego A " Z,
P 2) P (&!) = 1
P 3) jeżeli A1, A2, . . . , An jest ciagiem zdarzeń rozlacznych (to znaczy Ai )" Aj = " dla i = j), to
¸ ¸
+" +"
P ( Ai) = P (Ai).
i=1 i=1
Wartość funkcji P na zbiorze A nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A
4. Wlasności prawdopodobieństwa.
1. P (") = 0.
2. Jeśli A ą" B, to P (A) d" P (B).
3. Dla dowolnego A Ä…" &! P (A) d" 1.
4. Jeśli A ą" B, to P (B \ A) = P (B) - P (A).
5. Dla dowolnego A Ä…" &! P (A) + P (A) = 1.
6. P (A *" B) = P (A) + P (B) - P (A )" B).
7. Jeżeli zdarzenia A1, A2, . . . , An s¸ parami rozlaczne, to P (A1 *"A2 *". . .*"An) = P (A1)+P (A2)+
a ¸
. . . + P (An).
3
5. Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszlo zdarzenie B:
P (A )" B)
P (A|B) =
P (B)
Doświadczenia niezależne = dowolny wynik jednego z nich nie wpywa na wynik drugiego.
Zdarzenia niezależne = zdarzenia A, B, dla których:
P (A )" B) = P (A) · P (B)
albo
P (A|B) = P (A) lub P (B|A) = P (B)
Informacja o zajÅ›ciu jednego z nich nie zmienia szans wyst¸ drugiego.
apienia