9
WYKA
AD 2
Układy złożone z elementów biernych
Bierne elementy elektroniczne to :
opór R: u(t) = Ri(t)
di(t)
indukcyjność L: u(t) = L
dt
q 1
i pojemność C: u(t) = =
+"i(t)dt
C C
Rozważmy obwód złożony z tych elementów połączonych szeregowo, zasilany ze
z
ródła napięciowego o zmiennej sile elektromotorycznej reprezentowanej przez część
rzeczywistÄ… wyrażenia: u(t)=U0ejÉt, gdzie U0 oznacza amplitudÄ™ napiÄ™cia, a É=2Ä„½ -
1
częstotliwość kołową . Natężenie prądu płynącego przez układ ma podobną postać:
i(t)=I0ejÉt.
R
u(t) L
~
C
Skorzystamy z drugiego prawa Kirchhoffa :
di(t)
+"i(t)dt
u(t) = Ri(t) + L +
dt C
Podstawiając powyższe postaci natężenia oraz napięcia i dzieląc stronami przez I0
U 1
0
otrzymujemy: = Z = R + jÉL +
Io jÉC
Wielkość Z jest impedancją powyższego obwodu i jest wielkością zespoloną. Możemy w
niej wyróżnić impedancje poszczególnych elementów: oporu: ZR=R, indukcyjnoÅ›ci: ZL=jÉL
oraz pojemnoÅ›ci: ZC=1/jÉC. DokonaliÅ›my w ten sposób uogólnienia prawa Ohma dla
prądów zmiennych: napięcie u(t) jest liniowym funkcjonałem prądu i(t). Nadal obowiązują
prawa Kirchhoffa. W ogólności dla innych obwodów postać algebraiczna impedancji może
 10
być inną liczbą zespoloną. W powyższym przypadku, przy szeregowym połączeniu
impedancji uzyskujemy wzór na impedancję wypadkową : ZW= Z1+Z2+...+Zn , analogiczny
jak przy łączeniu oporów. Przy równoległym połączeniu impedancji :
1/ZW=1/Z1+1/Z2+...+1/Zn.
Część rzeczywistą impedancji nazywa się rezystancją, część urojoną - reaktancją. Stosunek
reaktancji do rezystancji jest równy tangensowi kÄ…ta przesuniÄ™cia fazowego Õ miÄ™dzy
napięciem i natężeniem.
Reprezentacja impedancji na płaszczyz
nie zespolonej : Z
Im(Z)
Rezystancja opisuje zdolność obwodu do
Re(Z)
1
zamiany energii elektrycznej na ciepło: P = I0 2R ,
Ć
2
natomiast pojemność i indukcyjność - zdolność do
1
magazynowania energii elektrycznej, odpowiednio: EC = Cu(t)2 - w polu elektrycznym
2
1
pojemności oraz EL = Li(t)2 w polu magnetycznym indukcyjności.
2
Należy pamiętać, że opór, indukcyjność i pojemność to pojęcia teoretyczne.
Rzeczywiste konstrukcje, jak opornik, cewka czy kondensator zawierają wielkości
pasożytnicze oznaczone na rysunku poniżej indeksem p:
opór R R
opornik
Ò!
Lp Cp
indukcyjność L
Rp
cewka
Ò!
L Cp
Rd
pojemność C
kondensator Rp Lp
Ò!
C
- a więc są złożonymi impedancjami. Przy pewnych częstotliwościach sygnału wielkości
pasożytnicze mogą istotnie zniekształcić własności danego elementu.
1
Tutaj -1 oznacza jednostkę urojoną, w odróżnieniu od prądu i.
j =
 11
Obwód drgający
Rozważmy obwód złożony z szeregowo połączonych: indukcyjności, pojemności i
oporu. Kondensator został naładowany do napięcia
UC0, po czym zamknięto wyłącznik. Ruch ładunku w
obwodzie opisuje równanie :
R
di(t)
+"i(t)dt 0 ,
Ri(t) + L + =
dt C
L
które łatwo można przekształcić w liniowe równanie
różniczkowe drugiego stopnia :
C
2
d i(t) di(t) 1
L + R + i(t) = 0 .
dt2 dt C
Zakładamy, że rozwiązanie ma postać wykładniczą :
i(t) = AeÄ…t
. Podstawiając je do powyższego równania różniczkowego otrzymujemy
2
równanie algebraiczne: Lą + Rą + 1 C = 0 , którego pierwiastki mają wartość:
R + R2 - 4L C R - R2 - 4L C
ą1 = - oraz ą = - . Rozwiązanie równania ruchu
2
2L 2L
Å‚adunku w obwodzie jest kombinacjÄ… liniowÄ…
natężenie [mA]
rozwiązań z ą1 i ą2 :
12
i(t) = A1eÄ… t + A2eÄ… t ,
Układ antyoscylacyjny
L=2 mH, C=1 nF, R=5k&!
przy czym wartości amplitud A1 i A2 możemy 1
UC0=5 V
wyznaczyć z warunków początkowych :
i(0) = 0 = A1 + A2 ,Ò! A1 = - A2 ,
0.5
UC0
di
UC0 = L + Ri = LA1 1 - Ä… )
(Ä… ,Ò! A1 =
2
dt L - Ä… )
(Ä…
t =0 1 2
0
Przypadki :
0
2 4 6 8 10
" Jeżeli R2 e" 4L C , wtedy R2 - 4L C jest liczbÄ… czas [µs]
rzeczywistÄ… i rozwiÄ…zania majÄ… charakter
natężenie [mA]
1 2
dwuwykładniczy : i(t) = A1(eą t - eą t ) , a więc po
Układ drgający :
wzbudzeniu prÄ…d w obwodzie zanika.
L=2 mH, C=1 nF, R=300 &!
2
UC0=5 V
" Gdy R2 < 4L C , wtedy R2 - 4L C jest liczbÄ…
0
urojonÄ… i rozwiÄ…zania majÄ… charakter oscylacyjny
UC 0 - R t
2
2L
: i(t) = e sin(É t) , gdzie czÄ™stotliwość
x -2
LÉ
x
0
10 20 30
1 R2
oscylacji É = - .
x czas [µs]
LC 4L2
jx
e - e- jx
2
Skorzystaliśmy tutaj z tożsamości : sin x = .
2 j
 12
" W szczególnym przypadku, gdy R=0 otrzymujemy drgania niegasnące [3] :
i(t) = UC 0 C L sin(É t) , gdzie czÄ™stotliwość oscylacji : É = 1 LC .
0 0
Filtr rezonansowy szeregowy.
Obecnie będziemy analizowali pracę
szeregowego układu RLC, do którego dołączono
C
L
napięciowe z
ródło sygnału przemiennego o
czÄ™stotliwoÅ›ci É. Ze wzoru na dzielnik napiÄ™cia
uwe(t)
otrzymujemy napięcie na poszczególnych elementach :
uwe (t)
R uwy(t)
jÉC jÉLuwe (t)
uC (t) = , uL (t) = ,
1 1
R + jÉL + R + jÉL +
jÉC jÉC
Ruwe (t)
uWY (t) = uR (t) =
1
R + jÉL +
jÉC
Stosunek amplitud napięcia wyjściowego do wejściowego (tzw. transmitancja układu)
U
R
wy
wynosi: = ,
2
U U /U
WY WE
we 1 L = 2 mH, C = 1 nF
R2 + (ÉL - )
ÉC
1,
R=50 &!
a przesunięcie fazowe między sygnałem
0,8
wejściowym i wyjściowym :
R=300 &!
1/ 2
2
É LC -1 0,6
Õ = arctan
ÉRC
0,4
Układ ten nazywany jest filtrem
0,2
rezonansowym szeregowym. Pasmo jego
przepuszczania zlokalizowane jest w okolicach 0,0
3
4 5 6 7 8
czÄ™stotliwoÅ›ci É = 1 LC . 10 10 10 10 10 10
0
½ ½
g1 g2
częstotliwosc [Hz]
Pasmo przenoszenia filtru rozciÄ…ga siÄ™ od
faza [rad]
½g1 do ½g2,, nazywanych czÄ™stoÅ›ciami
granicznymi. Dla częstości granicznych -Ą/2
zachodzi równość :
-Ä„/4
L=2 mH, C=1 nF
Uwy U = 1 2 , oraz : Õ = Ä„ 4 .
we
R=300 &!
Ä„/4
R=50 &!
Ä„/2
103 104 105 106 107
½g2
½
g1
częstotliwość [Hz]
[3] Ponieważ w rzeczywistym obwodzie zawsze występuje dodatnia rezystancja (np.
pasożytnicza), aby uzyskać R=0 do obwodu należy wprowadzić rezystancję ujemną, którą jest
np. wzmacniacz albo inny odpowiedni element elektroniczny.
 13
Dla czÄ™stotliwoÅ›ci É = 1/ LC moduÅ‚y napięć na poszczególnych elementach obwodu majÄ…
0
odpowiednio wartości :
U0 L U0 L
UC = , U = , UR=U0.
L
R C R C
a impedancja obwodu wynosi R. Dla tej częstotliwości znika łączna impedancja elementów
reaktancyjnych, a napięcia na kondensatorze i indukcyjności osiągają wartości maksymalne.
Zjawisko to nosi nazwÄ™ rezonansu, a É0 to czÄ™stotliwość rezonansowa. W rezonansie
amplitudy napięcia na indukcyjności lub na pojemności mogą przekroczyć amplitudę napięcia
U UC 1 L
L
wejściowego. Wielkość: Q = = = ,
U0 U0 R C
nazywana jest dobrocią obwodu 4. Inna postać dobroci :
1
jÉ L
UL 0 2Ä„ I02 L 2Ä„ EL
2
Q = = = =
1
U0 R T T P
I02R
2
Ogólna definicja : Dobroć wyraża stosunek energii zmagazynowanej w układzie
rezonansowym (EL) do mocy traconej w nim (P) w ciągu jednego okresu drgań (T).
Magazynowanie energii w elementach reaktancyjnych obwodu rezonansowego o
wysokiej dobroci i wywołane przez nie  podbijanie napięcia jest wykorzystywane do filtracji
i transformowania sygnałów o określonej częstotliwości.
Filtr rezonansowy równoległy :
R
-1
ëÅ‚ 1 öÅ‚
jÉC +
ìÅ‚ ÷Å‚
u(t)
íÅ‚ jÉLÅ‚Å‚
uwy (t) = u(t)
-1
ëÅ‚ 1 öÅ‚ C L u (t)
wy
R + jÉC +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ jÉLÅ‚Å‚
Dla czÄ™stotliwoÅ›ci rezonansowej É = 1/ LC
0
napięcie wyjściowe osiąga wartość minimalną.
.
4
Wykazać (to co widać na rysunkach na poprzedniej stronie), że Q=É0/"É, gdzie "É jest
szerokością połówkową charakterystyki układu rezonansowego, czyli funkcji
f(É)=|uC(É,t)/u(É,t)|.
 14
PRACOWNIA WST
PNA
Instrukcja do ćwiczenia nr.2 pt.  Układ oscylujący
1. Cel ćwiczenia.
" Zaznajomienie siÄ™ z oscyloskopem i generatorem.
" Zbadanie własności układu oscylującego RLC
2. Wymagania :
" Materiał z poprzednich wykładów i ćwiczeń.
" Biegła umiejętność rozwiązywania obwodów z elementami RLC.
" Znajomość przepływu prądu przez układ oscylujący.
3. Wykonanie ćwiczenia.
R L
" Zmontować na płytce
obwód drgający według
podanego obok
50 &!
W Y
schematu. W pierwszej
lub
C = 1 nF
W E
kolejności do budowy 510 &!
układu użyć opornika o
wartości 50 &!.
" Zbudować układ
generator
oscyloskop
WY
pomiarowy podłączając na
(trójnik BNC)
A
wejście obwodu drgającego
obwód
generator, Wyjścia obwodu
WY
B ext. trig.
drgajÄ…cego Å‚Ä…czymy z
dod.
WE WY
kanałem B oscyloskopu.
Sygnał z wyjścia generatora
poprzez trójnik należy doprowadzić do kanału A oscyloskopu. Podstawa czasu
oscyloskopu powinna być wyzwalana w sposób zewnętrzny, z dodatkowych wyjść
generatora.
" Na wejście obwodu podać z generatora sygnał prostokątny o maksymalnej amplitudzie i
o częstotliwości 1 kHz. Zbocza narastające i opadające tego sygnału pobudzają w
obwodzie drgania gasnÄ…ce.
 15
" Dokonać pomiaru kształtu pojedynczego
0,000000 0,000005 0,00001 0,00001 0,000020 0,000025 0,000030
0 5
ciągu oscylacji, szczególnie starannie
0,004
rejestrujÄ…c jego maksima i minima oraz
0,002
przejścia przez zero. Należy pamiętać o
0,000
zmienianiu czułości i podstawy czasu
oscyloskopu tak, by osiągnąć jak największą
-0,002
dokładność. W czasie pomiaru umieścić
-0,004
obwód rezonansowy zdala od innych
0,000000 0,000005 0,00001 0,00001 0,000020 0,000025 0,000030
0 5
przedmiotów i nie przybliżać do niego rąk,
by nie zakłócić jego parametrów
pasożytniczym wpływem otoczenia.
" Wymienić w układzie opornik na 510 &! i dokonać powtórnego pomiaru przebiegu prądu.
" Do zarejestrowanych przebiegów dopasować funkcjÄ™ U0e-atcos(Ét). Nanieść tÄ™ funkcjÄ™ na
punkty doÅ›wiadczalne. Na podstawie podanych na wykÅ‚adzie wzorów na a i É wyznaczyć
indukcyjność obwodu. Dla poprawnej interpretacji wyników należy uwzględnić
rezystancję wyjściową generatora (50 &!). Czy pojemności kabli i rezystancja wejściowa
oscyloskopu mają istotny wpływ na pracę obwodu oscylującego ? Czym wyjaśnić
rozbieżności wartości L otrzymane dla R=50 &! i R= 510 &! ?
Dodatek 4. Dopasowanie funkcji U0e-atcos (Ét) do danych doÅ›wiadczalnych.
" Miejsca zerowe szukanej funkcji wyznaczone sÄ… przez miejsca zerowe funkcji cosinus.
Okres tej funkcji (a dziÄ™ki temu i czÄ™stotliwość É) znajdujemy wiÄ™c jako podwojonÄ…
średnią arytmetyczną z odległości czasowych miedzy kolejnymi miejscami zerowymi.
" Tworzymy pomocniczy wykres (współrzędne : czas - napięcie, oś napięciowa -
logarytmiczna) dla bezwzględnych wartości zarejestrowanych maksimów i minimów.
5
Punkty doświadczalne ułożą się wzdłuż prostej : ln(ćłUćł) = -a(t-t0) + lnU0 . Należy
dopasować tę prostą do punktów doświadczalnych, znajdując współczynnik nachylenia a
(a tym samym współczynnik tłumienia dla funkcji wykładniczej) oraz amplitudę U0.
.
5
t0 jest czasem wystÄ…pienia pierwszego ekstremum po momencie wzbudzenia oscylacji.
 16
Dodatek 5. Opisy.
Podstawą pozytywnej oceny pracy doświadczalnej jest rzetelne przeprowadzenie
eksperymentu, ale praca może być dobrze oceniona tylko wtedy, gdy jej wyniki zostaną poprawnie
opisane. Właściwe przedstawianie rezultatów swej pracy jest sztuką, której warto się uczyć.
Opis doświadczenia z pracowni studenckiej powinien być zwięzły i zawierać tylko niezbędne
informacje. Nie ocenia się narzędzia, którym się posłużono (rachunek ręczny, suwak logarytmiczny,
kalkulator, maszyna do pisania, komputer), ale stronę merytoryczną i formę opisu, który musi być
czytelny.
W zasadzie opis powinien składać się z trzech części :
" wstępu, w którym wyjaśnia się cel doświadczenia. Nie należy tracić miejsca na podawanie historii
zjawisk i życiorysów odkrywców, ani przepisywać z podręczników partii materiałów z opisami
zjawiska.
" rozwinięcia, który zawiera przebieg doświadczenia , jego schemat, wyjaśnienia co do przebiegu
pomiaru, wyniki i ich dyskusję a także wnioski,
" zakończenia, będącego jednocześnie podsumowaniem, zawierającym wnioski ogólne.
Bardzo ważna jest komunikatywność opisów - informacje powinny być przedstawione w taki
sposób, by były dobrze i jednoznacznie zrozumiałe dla czytającego. Poza poprawnym językiem należy
posłużyć się poprawną formą przedstawienia rezultatów. Wszystkie rysunki powinny być
ponumerowane i podpisane. Ideałem jest włączanie (choćby przez wklejanie) rysunku do odnoszącego
siÄ™ do niego tekstu.
W czasie pomiarów dane są zwykle zapisywane w postaci tabeli, jednak, poza wyjątkowymi
przypadkami (takim przypadkiem jest ćwiczenie I z Pracowni Wstępnej), w opisie powinny się one
znalez
ć w postaci wykresu. Tabele pomiarowe można dołączyć jako dodatek do opisu na jego końcu.
Wykres spełni swoją rolę, jeżeli będzie
UWY/UWE
starannie opracowany. Należy zastanowić się, czy
zastosujemy na osiach skalÄ™ logarytmicznÄ…, czy
1,
liniową, czy jakąkolwiek inną. Oś powinna być
BÅ‚Ä…d !!
0,8
opisana, posiadać jasno zaznaczoną podziałkę i
1/ 2
podane jednostki. Przy wyborze skali logarytmicznej
0,6
(w skali ogólności nieliniowej) zaznaczamy na skali
nie logarytmy wartości, ale ich rzeczywiste wielkości. 0,4
Punkty doświadczalne powinny być reprezentowane
0,2
za pomocą odpowiednich symboli; powinny być
zaznaczone niepewności ich wartości wyliczone w
0,0
oparciu o rzetelny rachunek błędów. Jeżeli na tym
3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1
½g1 ½g2
samym rysunku przedstawiamy różne serie
częstotliwosc [Hz]
pomiarowe, stosujemy różne symbole.
3 4 5 6 - błąd
Jeżeli badane zjawisko posiada swój opis
teoretyczny którego wynikiem jest konkretna funkcja
(jak w przypadku rezonansu) należy dopasować krzywą teoretyczną do danych doświadczalnych i
sprawdzić, czy parametry dopasowania potwierdzają zgodność teorii z doświadczeniem w granicach
błędu eksperymentalnego. Na osiach zaznaczmy charakterystyczne wielkości krzywej teoretycznej.
Niedopuszczalne jest łączenie punktów doświadczalnych prostą łamaną. Błędem jest także
ciągnięcie krzywej przez punkty doświadczalne przy pomocy krzywika. Krzywikiem można się
posłużyć aproksymując krzywą teoretyczną, ale wpierw należy zaznaczyć kilka punktów
teoretycznych. Wszystkie rysunki powinny być ponumerowane i podpisane. Dobrze jest włączać
rysunki (choćby przez wklejanie) do odnoszącego się do nich tekstu.
Rysunek nie jest dodatkiem do tekstu, gdyż często dostarcza więcej informacji niż
wielostronicowy opis. Nie zwalnia to jednak autora pracy z konieczności przedyskutowania rysunku w
opisie.
Opracowując wyniki doświadczenia prezentujemy zwykle kilka tez. Należy jednoznacznie
wskazać w opisie fakt potwierdzający daną tezę.
 17
Dodatek 6. Oscyloskop.
Oscyloskop jest uniwersalnym urządzeniem pomiarowym służącym do badania i wizualizacji
zmiennych przebiegów elektrycznych.
OSCYLOSKOP JEDNOKANAA
OWY- uproszczony schemat blokowy
działo
elektronowe
ostrość
płytki odchylania
poziomego
GENERATOR
PODSTAWY
astygmatyzm
CZASU
rozdzielczość
czasowa
jaskrawość
wygaszanie
płytki odchylania
pionowego
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
POZIOMEGO;
położenie obrazu w poziomie,
rozdzielczość czasowa x5 (czułość),
WE  X
WE  Y
WZMACNIACZ ODCHYLANIA
PIONOWEGO;
dobór czułości i położenia obrazu
RODZAJ SPRZ
ŻENIA:
w pionie
DC, AC, GND
napięcie
czas
świecenie świecenie
wyga- wyga-
szenie szenie
Sygnał generatora podstawy czasu
 18
Sposoby wyzwalania podstawy czasu
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
ust. progu wyzwalania
WE. Synchr. zew
WYBÓR SPOSOBU
WYZWALANIA:
ZEWnętrzny,
WEWnętrzny,
WE Y
AUTOmatyczny
Uproszczony schemat oscyloskopu dwukanałowego
GENERATOR
PODSTAWY CZASU
WYBÓR
WYZWALANIA :
z kanału Y1
lub Y2
PRZEA

CZNIK
ELEKTRON.
wybór kanału
(Y1 lub Y2)
albo
WE Y1 przełączanie
między kanałami
typu ALT lub
CHOPP.
WE Y2
WZMACNIACZE ODCH. PIONOWEGO Y1 I Y2
niezależny dobór czułości i położenia obrazów na ekranie