Obwody RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym w stanie ustalonym
opracowała Krystyna Kubas
Zastosowana notacja liczb zespolonych
z = a + jb liczba zespolona
z = a  jb liczba zespolona sprzężona do liczby z
gdzie:
1
a = (z + z)
2
1
b = (z - z)
2 j
z = a2 + b2 moduł liczby zespolonej
b b
arg z =arctg�# ś# �! " z = arctg�# ś# argument liczby zespolonej
ś# ź# ś# ź#
a a
�# # �# #
Postać algebraiczna liczby zespolonej:
z = z (cos "z + j sin "z)
1
 Zastosowanie liczb zespolonych
Każdy element występujący w obwodzie elektrycznym ma swoją reprezentację w postaci liczby
zespolonej podobną reprezentację ma również każdy sygnał sinusoidalny:
u(t)"!U(t) "!U(�)
gdzie:
u(t)-rzeczywisty sygnał sinusoidalny (funkcja rzeczywista)
U(t)-sygnał zespolony przyporządkowany sygnałowi rzeczywistemu (funkcja zespolona zmiennej
rzeczywistej)
U(�)-amplituda zespolona
u(t)= U cos (�t + " U)
u(t)= U sin (�t + " U)
j "U
U(t)= U cos (�t + " U) + j U sin (�t + " U)= U e(�t+ "U ) = U e ej�t = U ej�t
gdzie:
j "U
U= U e amplituda zespolona
Rezystor:
R  rezystancja [&!] UR=RI  prawo Ohma wĆ postaci zespolonej
Jak widać na powyższym wykresie wektorowym napięcie i prąd na rezystorze są ze sobą w fazie.
Mówimy, że taki obwód ma charakter rezystancyjny!
Cewka:
XL =�L reaktancja indukcyjna [&!] UL = j�LI  prawo Ohma w postaci zespolonej
2
Jak widać na powyższym wykresie wektorowym napięcie na cewce wyprzedza prąd w fazie o 90�.
Mówimy, że taki obwód ma charakter indukcyjny!
Kondensator:
1 1 1
Xc = - reaktancja pojemnościowa [s] UC= I *" UC= - j I  prawo Ohma w postaci
�C j�C �C
zespolonej
Jak widać na powyższym wykresie wektorowym napięcie na kondensatorze opóz
nia się za prądem w fazie
o 90�. Mówimy, że taki obwód ma charakter pojemnościowy!
3
 Połączenie szeregowe RLC
1 1
ś#
Z=R+j�L+ =R+j�#�L - j
ś# ź#
j�C �C
�# #
Na podstawie prawa Ohma w postaci zespolonej:
U=ZI
Moduł impedancji połączenia szeregowego:
2
1
�# ś#
Z = R2 + �L - ź#
ś#
�C
�# #
Argument impedancji połączenia szeregowego:
1
�L -
�C
tg� =
R
Wartości zespolone napięć na elementach idealnych:
1
UR=RI UL = j�LI = I
C
j�C
przy czym: U= UR+ UL+ UC
Rozpatrujemy 3 przypadki:
1
1) �L>
�C
Wówczas 0<Ć<Ą/2 oraz UL> UC, a więc napięcie U wyprzedza prąd w fazie o kąt Ć, wobec tego
połączenie ma charakter indukcyjny.
4
1
2) �L<
�C
Wówczas - Ą/2< Ć<0 oraz UC> UL, a więc prąd I wyprzedza w fazie napięcie U o kąt � , wobec tego
połączenie ma charakter pojemnościowy.
1
3) �L=
�C
Wówczas Ć=0 oraz UL=UC, a więc napięcie U jest w fazie z prądem I. W rozpatrywanym przypadku
wpływ pojemności jest zrównoważony przez wpływ indukcyjności, gdy w połączeniu szeregowym
1
elementów RLC spełniona jest zależność �L= mamy więc do czynienia z rezonansem napięć.
�C
Warunkiem wystąpienia rezonansu napięć jest:
Im[Z]=0
5
 Połączenie równoległe RLC
1 1
ś#
Y=G+ +j�C=G+j�#�C - ź#
ś#
j�L �L
�# #
Na podstawie prawa Ohma w postaci zespolonej:
I=YU
Moduł admitancji połączenia równoległego:
2
1
�# ś#
Y = G2 + �C - ź#
ś#
�L
�# #
Argument admitancji połączenia szeregowego (jest nim  Ć):
1
�C -
1 1
�# ś#
�L
tg(- �) = �! tg(�) =
ś# - �C
ź#
G G �L
�# #
Wartości zespolone prądów na elementach idealnych:
U
IG=GU IL= IC=j�CU
j�L
6
przy czym: I= IG+ IL+ IC
Rozpatrujemy 3 przypadki:
1
1) >�C
�L
Wówczas 0<Ć<Ą/2 oraz IL> IC, a więc napięcie U wyprzedza w fazie prąd I o kąt Ć, wobec tego
połączenie ma charakter indukcyjny.
1
2) < �C
�L
Wówczas - Ą/2< Ć<0 oraz ILpołączenie ma charakter pojemnościowy.
7
1
3) = �C
�L
Wówczas Ć=0, a więc prąd I jest w fazie z napięciem U. W rozważanym przypadku wpływ
indukcyjności jest zrównoważony przez wpływ pojemności, gdy w połączeniu równoległym
1
elementów RLC spełniona jest zależność = �C mamy, więc do czynienia z rezonansem prądów.
�L
Warunkiem wystąpienia rezonansu prądów jest:
Im[Y]=0
Rezonans
Rezonansem nazywamy taki stan dwójnika, w którym reaktancja X lub susceptancja B dwójnika jest
równa zeru. Warunkiem wystąpienia rezonansu jest
(*) X=Im[Z]=0  w przypadku rezonansu napięć
(**) B=Im[Y]=0  w przypadku rezonansu prądów
O czym wspomniane było wyżej.
Ponieważ kąt Ć przesunięcia fazowego między napięciem a prądem jest równy argumentowi
impedancji Z, przy czym
X
tg� =
R
więc tg Ć=0 dla X=0. Oznacza to, że w stanie rezonansu napięcie U dwójnika jest w fazie z prądem I.
Do tego samego wniosku dochodzi się, biorąc pod uwagę, że w stanie rezonansu susceptancja B
dwójnika równa się zeru.
W stanie rezonansu Moz bierna dwójnika Q = U Isk sin� =0, a moc czynna Q = U Isk cos� =UI,
sk sk
ponieważ Ć=0.
Elementy L i C w układzie R, L, C, w którym wystąpił rezonans napięć zachowują się jak zwarcie. W
przypadku układu R, L, C, w którym wystąpił rezonans prądów elementy L i C zachowują się jak
przerwa.
Rezonans w obwodach elektrycznych może występować przy jednej lub przy kilku wartościach
pulsacji zwanych pulsacjami rezonansowymi. Pulsacje rezonansowe dwójnika wyznacza się z równań
(*) oraz (**)
8
Przykład:
Obliczyć prądy i napięcia na elementach układu:
Dane:
e(t)=100sin�t
f=50[Hz]
R1=2[&!]
R2=8[&!]
1
�L1 = = 4[&!]
�C1
1
�L2 = = 6 [&!]
�C2
Szukane:
UR1=?
UR2=?
UL2=?
UC2=?
I=?
I1=?
I2=?
I3=?
I4=?
Rozwiązanie:
9
j0
Esk = 100e = 100[V]
Z1-impedancja zastępcza elementów L1 i C1 połączonych równolegle
1
j�L1 �"
j�C1 4 �" 4 1 1
Z1 = = = " �! Im[Y1]= = = 0 Jest to rezonans prądów
j(4
�# ś# - 4) Z1 "
1
ś#
jś#�L1 - ź#
�C1 ź#
�# #
Ponieważ na elementach L1 i C1 mamy do czynienia z rezonansem prądów układ w tym miejscu
traktujemy jak przerwę w obwodzie. Dochodzimy więc do wniosku, że prądy:
I1=0
oraz ponieważ
I1=I3+I4 �! I3+I4=0 �! I3=-I4
U34 U34
I3 = I4 =
1
j�L1
- j
�C
Musimy więc znalez
ć napięcie U34
Ponieważ
I=I2
oraz
Z2-impedancja zastępcza elementów L2 i C2 połączonych szeregowo
1
Z2 = j�L2 - j = j(6 - 6) = 0 �! Im[Z2]=0 Jest to rezonans napięć
�C2
Ponieważ na elementach L2 i C2 mamy do czynienia z rezonansem napięć układ w tym miejscu
traktujemy jak zwarcie w obwodzie. Dochodzimy do wniosku, że napięcie
1
U = U +UC 2 = j�L2I2 - j I2 = 0
L2
�C2
Na powyższym zredukowanym schemacie widać, że
10
Esk 100
I = = = 10[A]= I2
R1 + R2 10
Przechodzimy do obliczania napięć na poszczególnych elementach obwodu:
j0
U = R1 �" I1 = 2 �"10 = 40[&!]= 40e [V]
R1
j0
U = R2 �" I2 = 8�"10 = 80[&!]= 40e [V]= U34
R2
j90
U = j�L2I2 = j6 �"10 = j60[V]= 60e [V]
L2
1
UC 2 = - j I2 = - j6 �"10 = - j60[V ]= 60e- j90 [V ]
�C2
Ponieważ znalez
liśmy napięcie U34 możemy wyliczyć prądy
U34 80
I3 = = = - j20[A]= 20e- j90 [A]
j�L1 j4
U34 80
j90
I4 = = = j20[A]= 20e [A]
1 - j4
- j
�C
Na koniec możemy zapisać obliczone prądy i napięcia w funkcjach czasu:
i(t) = i2 (t) = 10sin�t
i1(t) = 0
i3 (t) = 20sin(�t - 90 )
i4 (t) = 20sin(�t + 90 )
uR1 = 20
uR2 = u34 = 20
uL2 (t) = 60sin(�t + 90 )
uC 2 (t) = 60sin(�t - 90 )
Moc w obwodzie prądu sinusoidalnego
1) Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego i napięcia:
T
I
1
2
Isk =
+"i (t)dt =
T
2
0
T
U
1
2
U =
sk
+"u (t)dt =
T
2
0
2) Moc chwilowa:
p=ui
Moc chwilowa jest dodatnia w przedziałach czasu, w których napięcie u oraz prąd i mają znaki
jednakowe  ujemna zaś w przedziałach czasu, w których znaki napięcia u oraz prądu i są różne.
Jeżeli p>0 to energia elektryczna jest dostarczana ze z
ródła do odbiornika; jeżeli natomiast p<0 to
energia jest zwracana do z
ródła przez odbiornik, który przekazuje energię nagromadzoną w polu
magnetycznym cewek i w polu elektrycznym kondensatorów.
3) Moc czynna:
T
1
P = cos�dt = U Isk cos� [W]
sk
+"UI
T
0
11
Moc czynna jest równa iloczynowi wartości skutecznych napięcia i prądu oraz kosinusa kata
przesunięcia fazowego między napięciem i prądem. Współczynnikiem mocy nazywamy kosinusa kata
przesunięcia fazowego między napięciem i prądem (cosĆ). Moc czynna jest nieujemna, wartość
największą (P=UI) moc osiąga wtedy, gdy Ć=0 (odbiornik ma charakter rezystancyjny, cosĆ=1),
wartość najmniejszą (P=0) w przypadku granicznym, gdy Ć=ąĄ/2 (wtedy odbiornikiem jest idealna
cewka lub idealny kondensator, cosĆ=0).
4) Moc bierna:
Q = U Isk sin� [VAr]
sk
W przypadku odbiornika indukcyjnego charakterze indukcyjnym mamy Q>0,bo 0<Ć<Ą/2, a w
przypadku odbiornika o charakterze pojemnościowym mamy Q<0, bo -Ą/2< Ć<0.
5) Moc pozorna:
S = U Isk [VA]
sk
6) Moc zespolona
S=UI*
Mamy:
S= U Isk cos� + jU Isk sin� =P + jQ
sk sk
Oraz:
S = P2 + Q2
Rys. a) Trójkąt mocy układu o charakterze indukcyjnym, ponieważ kąt Ć jest dodatni, 0<Ć< Ą/2,a więc
Q=U I sinĆ>0
sk sk
Rys. b) Trójkąt mocy układu o charakterze pojemnościowym, ponieważ kąt Ć jest ujemny, -Ą/2<Ć<0, a
więc Q=U I sinĆ<0
sk sk
Przykład:
7) Kompensacja mocy biernej:
12
Dane:
P=600 [W]
Isk =4,55 [A]
U =220 [V]
sk
f=50 [Hz]
Mamy dobrać kondensator do poprawy współczynnika mocy do wartości 0,9 oraz narysować wykres
wektorowy przed kompensacją i po kompensacji.
Przed kompensacją:
ponieważ:
P 600
P = U Isk cos� �! cos� = = = 0,6 �! � = 53�10' , tgĆ=1,335
sk
U Isk 220 �" 4,55
sk
cosĆ =0,9 �! Ć =25�50 , tgĆ =0,484
Wykres topograficzny:
Na powyższym wykresie wskazowym widać napięcie U oraz prąd I przed kompensacją, które przesunięte są o
obliczony w zadaniu kąt Ć. Po kompensacji mocy biernej kąt Ć zmniejszył się w stosunku do kąta Ć co jest
spowodowane pojawieniem się prądu I płynącego przez kondensator, który to wyprzedza napięcie w fazie o
C
90�.Suma wektorowa prądów I oraz I daje wypadkowy wektor prądu I
C
13
Trójkąt mocy:
Powyższy wykres wektorowy przedstawia zmianę mocy. Przed kompensacją na rezystancji R odkładała się moc
czynna P a na indukcyjności L odkładała się moc bierna Q przesunięta o kąt Ą/2 w stosunku do mocy czynnej P,
L
współczynnik mocy wynosił cosĆ. Po kompensacji mocy biernej na dołączonej pojemności C odłożyła się moc bierna
Q przesunięta o kąt  Ą w stosunku do mocy Q , obie moce odjęte wektorowo dają wypadkową moc Q, nową moc
C L
pozorną S oraz nowy, poprawiony współczynnik mocy cosĆ .
A więc po kompensacji U oraz I są takie same, P jest również taka sama ponieważ dołączony
kondensator pobiera tylko moc bierną.
Przed kompensacją: P= Usk Isk cos�
2
Po kompensacji: Usk Isk2 cos�
2
stąd: Isk cos� = Isk2 cos�
cos�
czyli: Isk2 = Isk [A]
2
cos�
0,6
W naszym przykładzie: Isk2 = 4,55�" = 3,03 [A]
0,9
Na podstawie trójkąta mocy wiemy, że:
QL=P�tgĆ
Q= P�tgĆ
QL- QC = P�tgĆ �! P�tgĆ- QC= P�tgĆ
QC=P(tgĆ-tgĆ )
ponieważ: QC=XC�%Isk%2=%Usk%2��C
P(tg� - tg�')
więc: %Usk%2��C= P(tgĆ-tgĆ ) �! C =
2
� U
sk
600(1,335 - 0,484)
W naszym przykładzie: C = = 33,6 [�F]
314 �" 2202
14
U
sk
IskC = = U �"�C = 2,32 [A]
sk
X
C
Wyznaczenie URL i UL w układzie szeregowym RLC na podstawie znajomości zmierzonych
napięć U1 UR i ULR , czyli metodą  trzech woltomierzy :
Na podstawie rys.1 wiemy, że (podkreśleniem zaznaczono liczby zespolone):
U1 = U +U
R LR
Po podstawieniu obu stron równania do skalarnego kwadratu otrzymujemy:
2 2
U12 = U + U + 2U U cos�
R LR R LR
oraz
2 2
U12 -U -U
R LR
cos� =
2U U
R LR
Wiemy, że:
UR=RL�I oraz UL=XL�I
Na podstawie wykresu:
UR=ULRcosĆ oraz UL=ULRsinĆ
stąd:
U U cos�
R LR
RL = =
I I
U U sin�
L LR
X = =
L
I I
Znajomość wartości XL umożliwia obliczenie indukcyjności L cewki rzeczywistej.
15
Program ćwiczenia:
1) Pomiar napięć i prądów w obwodzie szeregowym RLC
2) Pomiar napięć i prądów w obwodzie równoległym RLC
3) Kompensacja mocy biernej odbiornika RL
Wykonanie ćwiczenia:
I. A
ączymy układ szeregowy RLC jak na poniższym schemacie:
Rys.1
Dokonujemy pomiarów prądów oraz napięć na elementach R,L,C oraz na z
ródle. Otrzymane wyniki
zapisujemy w tabeli nr1.
Dokonujemy sprawdzenia wyników pomiarów napięć i prądu na podstawie znajomości napięcia
z
ródłowego i parametrów R,RL, L, C, f otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli nr1.
Na podstawie zmierzonych wartości napięć ma prądu rysujemy wykres wskazowy napięć ma prądu
przyjmując odpowiednie skale.
Tabela nr1
Uz
r[V] I[mA] ULR[V] U1[V] UC[V] UR[V] UL[V] UR [V]
L
Wielkości
x x
mierzone
Wielkości
x x x x x x
wyliczone
16
rys. 1 : Wykres wskazowy prądu i napięć -
poł. szeregowe RLC
UL
U1
ULR
I
UR URL
UC
10V
Uz
r
10A
II. A
ączymy układ równoległy RLC jak na poniższym schemacie:
Rys. 2
17
Dokonujemy pomiarów prądów I, IR, IL, IC oraz napięcia. Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli nr2.
Dokonujemy sprawdzenia wyników pomiarów napięcia i prądów na podstawie znajomości R, L, C, f
oraz napięcia U - otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli nr2.
Na podstawie obliczeń prądów i danego napięcia U rysujemy wykres wskazowy napięcia i prądów
przyjmując odpowiednie skale.
Tabela nr2
U[ma] I[A] IR[A] IL[A] IC[A]
Wielkości
mierzone
Wielkości
wyliczone
napięcia - poł. równoległe RLC
I
IL
U
IC
IR
10V
100mA
18
III. Kompensacja mocy biernej:
A
ączymy układ jak na poniższym schemacie:
Rys.3
Dokonujemy pomiarów napięcia , mocy i prądów najpierw dla obwodu szeregowego R, L a następnie
po dołączeniu równolegle kondensatora do odbiornika. Otrzymane wyniki zapisujemy w tabeli nr3.
Na podstawie pomiarów rysujemy wykres wskazowy.
Tabela nr3
U[V] I[mA] IRL[mA] IC[mA] P[W] cosĆ S[VA]
Wyznaczamy pojemność kondensatora na podstawie wzoru:
P(tg� - tg�')
C =
2
� U
sk
19
mocy przy kompensacji mocy biernej
P
U
Icos�
U
Ikomp
Skomp
Q
I
Isin�
10mA 10V
1W 10V
QC
S
IC=3,5�F
20
�