Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
dla studentów WIP
Temat:
OBWODY REAKTANCYJNE
STANY NIEUSTALONE
W OBWODACH PR
DU STAA
EGO
REZONANS
materiały pomocnicze do laboratorium elektroniki, elektrotechniki i energoelektroniki
wyłącznie do użytku wewnętrznego przez studentów WIP PW
bez prawa kopiowania i publikowania
Zakład Trakcji Elektrycznej
IME PW 2002
1. Metoda operatorowa analizy stanów nieustalonych
Metoda operatorowa jest metodą: rozwiązywania obwodów elektrycznych w stanie nieustalonym
polegającą na algebraizacji równań różniczkowo-całkowych opisujących układ. Teoria rachunku
operatorowego nazywana jest rachunkiem operatorowym Heaviside'a. Teoria ta została rozwinięta i
oparta na przekształceniu całkowym przez Laplace'a.
Przekształcenie Laplace'a i jego własności
W równaniu różniczkowo-całkowym opisującym zależności miedzy wymuszeniami i
odpowiedziami występują napięcia i prądy będące funkcją argumentu rzeczywistego - zazwyczaj
czasu t. W rachunku operatorowym funkcje te nazywamy funkcja oryginalna lub oryginałem i
oznaczamy f(t).
W odniesieniu do rozpatrywanej funkcji czasu, czyli oryginału czynimy następujące założenia:
f(t)=0 przy t < 0;
f(t) jest jednoznacznie określona w całym przedziale czasu od 0 do ", jest w tym przedziale
ciągła, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju;
rośnie co. do wartości bezwzględnej nie szybciej niż funkcja wykładnicza.
Każdej funkcji zmiennej rzeczywistej f(t) spełniającej wymienione warunki można
przyporzÄ…dkować funkcje argumentu zespolonego s=Ã+jÖ, zwanego tez parametrem zespolonym.
FunkcjÄ™ tÄ™ nazywa siÄ™ transformatÄ… funkcji czasu, i oznacza F(s). Przeksztalcenie Laplace'a proste
jednostronne jest określone zależnością:
w którym c - liczba rzeczywista dodatnia nie mniejsza od odciÄ™tej zbieżnoÅ›ci transformaty, ce"Ã.
Przeksztatcenia Laplace'a proste i odwrotne oznacza siÄ™ odpowiednio:
W celu wyznaczenia transformaty odpowiadajÄ…cej danej funkcji czasu, korzystamy z prostego
przekształcenia Laplace'a. W tablicy 1 zestawiono oryginały i transformaty funkcji często
spotykanych w elektrotechnice.
Problem wyznaczania oryginału przy znanej transformacie ma podstawowe znaczenie w
elektrotechnice, ponieważ to odpowiedz
czasowa jest najczęściej poszukiwana. Jedną z metod
wyznaczania oryginału jest metoda Heaviside'a.
Wzór podstawowy Heaviside'a, jest stosowany, gdy funkcja operatorowa F(s) ma bieguny
jednokrotne. Funkcję tę j można wtedy rozłożyć na ułamki proste
przy czym n - stopień wielomianu N (s), a zarazem liczba biegunów funkcji F(s), Współczynniki Ai,
Aj,... Ak,... An można obliczyć ze wzoru na residuum funkcji F(s), a mianowicie
(1)
przy czym
1
Tablica 1 Zestawienie oryginałów i transformat Laplace'a wybranych funkcji
Z tablicy 1 (poz. 5) wynika, że
(2)
Biorąc pod uwagę zależności (14.61) i (14.63), oryginał funkcji operatorowej (14.60) wyrazimy w
postaci
Wzór (14.64) jest nazywany wzorem podstawowym Heaviside'a. W obwodach elektrycznych
zdarza się często, że jeden z biegunów funkcji operatorowej F (s) jest biegunem zerowym, czyli
S=0. Wtedy funkcjÄ™ operatorowÄ… przedstawiamy w postaci:
przy czym stopień m=n-l wielomianu M(s) jest o jeden niższy od stopnia n wielomianu N(s).
W rozpatrywanym przypadku:
przy czym: L(0) - wartość wielomianu L(s) dla s=0; M(0) - wartość wielomianu M(s) dla s=0;
W drugim przypadku szczególnym jeden z pierwiastków mianownika jest pierwiastkiem urojonym
wynoszÄ…cym s0=jÖ. Taki pierwiastek pojawi siÄ™ wtedy, gdy wymuszenie jest wykÅ‚adnicze i
wyrażone w postaci wektora wirującego:
2
Transformata funkcji czasu wyrażonej zależnością (14.67) ma postać:
W przypadku wiec jednego pierwiastka urojonego s0=jÖ, funkcjÄ™ operatorowa można wyrazić w
postaci:
Wzór Heaviside'a uzyska wtedy postać:
Charakterystyki elementów pasywnych R, L, C, określające zależności miedzy napięciem
chwilowym a prądem chwilowym, dla danego elementu można traktować jako zależności między
oryginałami, gdyż funkcje opisujące przebiegi napiec i prądów spełniają z reguły warunki określone
dla oryginałów. Można zatem przekształcać równania opisujące zależności dla poszczególnych
elementów. Uzyskuje się wtedy równania transformat.
Dla elementu idealnego R:
Dokonując przekształcenia Laplace'a powyższego równania otrzymamy
Dla elementu idealnego L, przy warunku poczÄ…tkowym niezerowym mamy
t
1
i(t) = i(0) +
L
+"u (Ä )dÄ
L
0
gdzie:
0
1
i(0) =
L
+"u (Ä )dÄ
L
-"
Dokonując przekształcenia Laplace'a powyższego równania otrzymamy:
a przy warunku poczÄ…tkowym zerowym:
Dla elementu idealnego C, przy warunku poczÄ…tkowym niezerowym mamy:
t
1
UC (t) = UC (0) +
+"i(Ä )dÄ
C
0
gdzie:
3
0
1
UC (0) =
+"i(Ä )dÄ
C
-"
Dokonując przekształcenia Laplace'a powyższego równania otrzymamy:
a przy warunku poczÄ…tkowym zerowym:
Wyrażenia sL oraz 1/sC są nazywane impedancjami operatorowymi odpowiednio elementu
idealnego L oraz elementu idealnego C. Ich odwrotności 1/sL oraz sC są nazywane admitancjami
operatorowymi.
2. Stany nieustalone w obwodach RC i RL prądu stałego
Stan nieustalony (stan dynamiczny) w obwodzie ma miejsce wtedy, kiedy podczas przewodzenia
prądu zmianie ulegają parametry obwodu (rezystancja indukcyjności lub pojemności), lub kiedy
obwód zostaje załączony do z
ródła napięcia (lub prądu) albo wyłączony. Zwykle przyjmuje się, że
zmiana stanu obwodu, zachodzi w chwili t = 0.
W obwodach z indukcyjnością lub pojemnością obowiązują prawa komutacji. Oznaczamy przez
t=0- chwilę bezpośrednio poprzedzającą t=0, a przez t=0(+) chwilę bezpośrednio następującą po
chwili początkowej (załączenie lub przełączenie).
W gałęzi z indukcyjnością:
È(0-) = È(0+) lub iL(0-) = iL(+) oraz UL(0-) `" UL(+).
Oznacza to, że prąd elementu indukcyjnego nie może zmieniać się skokowo natomiast w przypadku
napięcia taka zmiana jest możliwa.
W gałęzi z pojemnością:
q(0-) = q(0+) lub UC(0-) = UC(0+) oraz iC(0-) `" iC(0+).
Oznacza to, że napięcie na pojemności nie może zmieniać się skokowo, a prąd tak.
W gałęzi z rezystancją:
u = R i
- zmiana wymuszenia powoduje natychmiastową zmianę odpowiedzi i przejścia od jednego stanu
ustalonego do drugiego.
Rozpatrzmy obwód RL zasilany napięciem o stałej wartości U przez łącznik K. W chwili t=0
łącznik K zostaje zamknięty:
4
uL
k
L
UR uR
i
Rys. 1. Obwód rezystancyjno-indukcyjny
Równanie napięciowe obwodu:
di
RÅ"i+L =U
dt
Lub w zapisie operatorowym (równanie charakterystyczne):
R + sL = 0
- pierwiastek:
R
s = -
L
- prąd przejściowy obwodu:
R
- t
ip =Aest=AeL
Prąd w stanie nieustalonym jest sumą prądu przejściowego i ustalonego:
R
- t
ip=iu+AeL
Przy włączeniu obwodu RL na napięcie stałe U prąd wymuszony jest równy U/R (taką wartość
osiÄ…gnie prÄ…d dla stanu ustalonego).
PrÄ…d obwodu:
R
- t
U
L
i = - Ae
R
Stałą A wyznaczamy z warunku i(0+) = 0 dla chwili t = 0+
U U
0 = + A => A = -
R R
stÄ…d:
5
R t
- t -
U
L Ä
i = (1- e ) = I(1- e )
R
gdzie:
I - ustalona graniczna wartość prądu obwodu
L
Ä = - staÅ‚a czasowa obwodu RL (równa odstÄ™powi czasu w którym skÅ‚adowa przejÅ›ciowa prÄ…du
R
zmienia siÄ™  e razy).
W chwili poczÄ…tkowej:
t
ëÅ‚ - öÅ‚
di I I
ëÅ‚ öÅ‚
Ä
ìÅ‚ ÷Å‚
= e =
ìÅ‚ ÷Å‚
dt
íÅ‚ Å‚Å‚t=0(+) ìÅ‚Ä ÷Å‚ Ä
íÅ‚ Å‚Å‚t=0
Rys.2 Przebieg prądu w obwodzie RL w stanie nieustalonym, składowa przejściowa i ilustracja
pojęcia stałej czasowej
Stała czasowa jest to czas, w ciągu którego prąd osiągnąłby wartość ustaloną, gdyby szybkość
wzrostu była stała i równa szybkości w chwili początkowej. W interpretacji geometrycznej (rys.2)
stała czasowa jest podstyczną krzywej prądu przejściowego w chwili t=0. W procesach fizycznych
skÅ‚adowa przejÅ›ciowa już po 4÷6Ä stanowi zaledwie okoÅ‚o 1% skÅ‚adowej ustalonej
Z rysunku 3 wynika że prąd w obwodzie wzrasta tym szybciej im mniejsza jest wartość
indukcyjności.
6
a) b)
Rys.3 Przebiegi prądu oraz napięć na rezystancji (uR) i indukcyjności (uL) w obwodzie RL w stanie
nieustalonym przy różnych wartościach indukcyjności
W przypadku obwodu RC (rys. 4) postępowanie jest analogiczne:
uC
k
C
uR
U
R
i
Rys.4 Obwód rezystancyjno-pojemościowy
RÅ"i+uC =U
duC
i=C
dt
duc
RÅ"C +uc=U
dt
równanie charakterystyczne:
RCs + 1 = 0
- pierwiastek:
1
s=-
RÅ"C
Chwilowa wartość napięcia (w funkcji czasu) na kondensatorze C:
7
t
-
uc=UÅ"eÄ
gdzie Ä - staÅ‚a czasowa obwodu równa: RC.
3. Stany nieustalone w obwodach RLC prądu stałego
Obwód RLC (rys. 5) w stanie nieustalonym można opisać następującymi równaniami:
- równanie napięciowe obwodu:
uL+uR +uC =U
di
napięcie na indukcyjności: uL =L
dt
uR =RÅ"i
napięcie na rezystancji:
stąd równanie napięciowe obwodu:
di
L +RÅ"i+uC =U
dt
duC
iC =i=C
biorąc pod uwagę, że prąd kondensatora (i całego obwodu szeregowego RLC): :
dt
Korzystając ze wzoru na transformatę stałej otrzymamy w wyniku przekształcenia .Laplace'a
równania zależność:
Wielkość w mianowniku tego równania jest impedancją operatorową gałęzi szeregowej R, L, C,
(impedancjÄ… operatorowÄ… obwodu) czyli:
1
Z(s) = R + sL +
sC
a więc:
U
zatem przy zasilaniu obwodu stałym napięciem U(s) =
s
8
transformata prÄ…du wyniesie:
U U
I(s) = =
1 R 1
öÅ‚ öÅ‚
sëÅ‚ R + sL + LëÅ‚ s2 + s +
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
sC L LC
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
pierwiastki:
2 2
- R R 1 - R R 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
s1 = + s2 = - ìÅ‚ ÷Å‚ -
ìÅ‚ ÷Å‚ -
2L 2L LC 2L 2L LC
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
uL uR
k
L
R
U uC
C
i
Rys.5 Obwód rezystancyjno-indukcyjno-pojemościowy
R 1
2
WprowadzajÄ…c oznaczenia: Ä… = , ² = Ä… -
2L LC
Otrzymuje siÄ™: s1=-Ä…Ä…²
L
Wielkość R = 2 nazywa się rezystancją krytyczną.
C
L
a) Jeżeli R > 2 wielkość ² jest liczba rzeczywista; ponieważ Ä…>² i obydwa pierwiastki sÄ…
C
rzeczywiste, ujemne.
Rys.6 Przebiegi czasowe prądu ładowania kondensatora przez rezystor i cewkę oraz napięcie na
cewce w przypadku aperiodycznym
A
adowanie kondensatora przez rezystor i cewkÄ™ ze z
ródła napięcia stałego ma charakter
aperiodyczny czyli nieokresowy.
9
L
b) Jeżeli R < 2 , wielkość ² jest liczba urojona, obydwa pierwiastki sÄ… zespolone sprzężone.
C
A
adowanie kondensatora przez rezystor i cewkÄ™ ze z
ródła napięcia stałego ma charakter
oscylacyjny tłumiony.
t
Rys.7. Przebiegi czasowe prądu ładowania kondensatora przez rezystor i cewkę oraz napięcia uc
w przypadku oscylacyjnym tłumionym
Zarówno prąd i(t), jak napięcia Uc(t), UL(t) UR(t są wyrażone za pomocą sinusoid tłumionych.
Współczynnik tłumienia ą= R/2L jest tym mniejszy (przy niezmiennej wartości L), im mniejsza
jest rezystancja R gałęzi.
L
c) Jeżeli R = 2 , wielkość ² jest równa zeru, oba pierwiastki sÄ… sobie równe i tworzÄ… jeden
C
pierwiastek podwójny.
d) W przypadku granicznym R=0 współczynnik tłumienia ą=0 i rozważane przebiegi maja
charakter sinusoidalny.
Drgania w gałęzi szeregowej R, L, C w stanie nieustalonym nazywamy drganiami własnymi lub
drganiami swobodnymi obwodu. Są to drgania, które nie Są wymuszone przez z
ródło harmoniczne.
Podobny charakter przebieg6w uzyskamy w przypadku zwarcia gałęzi szeregowej R, L, C, jeśli w
chwili zwarcia kondensator jest naładowany.
4. Zależność przebiegów obwodu RLC od rezystancji krytycznej
Przypadek (a) - rezystancja gałęzi jest większa od rezystancji krytycznej
Wyrażając mianownik równania na transformatę prądu obwodu w postaci iloczynowej:
Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami:
zatem.
10
Stosując wzór podstawowy Heaviside'a otrzymamy przebieg czasowy prądu ładowania
kondensatora
ëÅ‚ öÅ‚
U 1 1
1 2
÷Å‚
i(t) = ìÅ‚ es t - es t ÷Å‚
ìÅ‚
L 2² 2²
íÅ‚ Å‚Å‚
lub
W wyniku podstawienia s1=-Ä…+², s2=-Ä…-² uzyskujemy innÄ… postać rozwiÄ…zania:
U
i(t) = (e-Ä…t sh²t)
²L
Transformata napięcia na kondensatorze
korzystając z kolejnego wzoru Heaviside'a otrzymuje się funkcję czasu napięcia na kondensatorze:
Napięcie na elemencie indukcyjnym
Ilustrację otrzymanych wyników stanowią wykresy zmienności w funkcji czasu prądu ładowania
kondensatora, napięcia na kondensatorze i napięcia na cewce (rys. 14.15).
Przypadek (b) - rezystancja gałęzi jest mniejsza od rezystancji krytycznej
Punktem wyjścia do rozważań jest równanie (14.134) z tym, ze pierwiastki mianownika są w
rozważanym przypadku zespolone sprzężone. Wróćmy do równań (14.132). Wprowadzimy
następujące oznaczenie:
przy czym
jest liczba rzeczywista, gdyż
Możemy zatem napisać
ponadto:
11
W rozpatrywanym przypadku
KorzystajÄ…c ze wzoru podstawowego Heaviside'a otrzymamy
Ostatecznie
U
i(t) = e-Ä…t sin Ét
ÉL
W celu wyznaczenia przebiegu napięcia na kondensatorze wyrazimy. to napięcie w postaci
operatorowej posługując się prawem Ohma dla elementu C przy warunku początkowym zerowym
Odpowiedz czasowa otrzymamy stosując wzór o rozkładzie w postaci (14.66), przy czym
zatem:
ëÅ‚ öÅ‚
U 1 1
1 2
ìÅ‚ ÷Å‚
UC (t) = U + es t - es t ÷Å‚
ìÅ‚
LC s1 j2É s2 j2É
íÅ‚ Å‚Å‚
U
= U - e-Ä…t (Ä… sinÉt + Ä… cosÉt)
É
Rys.8 Zależności trygonometryczne związane z kątem Ć
Aby uproÅ›cić otrzymane wyrażenie wprowadzimy kÄ…t Õ wyrażony nastÄ™pujÄ…co (rys.8):
12
Po wprowadzeniu tych zależności do równania (3) otrzymamy:
U
uC (t) = U - e-Ä…t(cosĆ sinÉt + sinĆ cosÉt) =
É LC
U
= uC (t) = U - e-Ä…t sin(Ét + Ć)
É LC
Podobnie dochodzimy do równania wyrażającego napięcie na cewce
Wielkość É ma sens pulsacji drgaÅ„, przy czym pulsacja ta jest funkcja parametrów obwodu
drgającego. Pulsacja ta nosi nazwę pulsacji drgań własnych lub pulsacji drgań .swobodnych
obwodu.
Należy ponadto zwrócić uwagę, ze drgania swobodne uzyskamy nie tyko przy połączeniu
szeregowym elementów R, L, C, ale również przy połączeniu np. szeregowo-równoległym. Drgania
w obwodzie R, L, C powstają wtedy, jeżeli pierwiastki równania N(s)=0 lub M(s)=0 są zespolone
sprzężone. W zależności od struktury obwodu różne są rezystancje krytyczne, stanowiące granicę
przejścia od charakteru aperiodycznego przebiegów do charakteru drgającego. Nie zawsze warunek
powstania drgań jest taki jak dla rozważanej gałęzi szeregowej, gdy wymagane jest, aby rezystancja
gałęzi była mniejsza od rezystancji krytycznej. Jeśli np. kondensator jest zbocznikowany
rezystancją i taka gałąz
równoległa jest połączona szeregowo z cewką, to drgania powstaną tylko
przy dużej rezystancji bocznikującej, gdyż w miarę wzrostu tej rezystancji obwód zbliża się do
gałęzi L, C idealnej, w której występują drgania nietłumione, W tym przypadku R =0, stąd:
wobec czego:
U
i(t) = sinÉt
L
C
uC (t) = U -U cosÉt
uL (t) = U cosÉt
5. Rejestracja stanów nieustalonych
Przebiegi w stanie nieustalonym są przebiegami nieokresowymi, niepowtarzalnymi. Z tego względu
do ich obserwacji i pomiarów należy zastosować rejestrator lub oscyloskop z pamięcią.
Rejestracja przy pomocy oscyloskopu polega na przełączeniu trybu wyzwalania oscyloskopu na
jednokrotny. W takim przypadku sygnał podany na wejście oscyloskopu zostanie zarejestrowany
począwszy od czasu, w którym poziom wyzwalania został po raz pierwszy przekroczony. W
przypadku, gdy chodzi o rejestrację sygnału, którego początek ma charakter narastający (rosnące
wartości) należy ustawić funkcję zbocza wyzwalania (ang. "slope") na zbocze dodatnie
(narastające). W przeciwnym przypadku należy włączyć zbocze ujemne.
Z rejestracją przebiegów w stanie nieustalonym wiąże się zagadnienie prawidłowego doboru
poziomu wyzwalania. Jeżeli będzie on ustawiony na wartości zbyt bliskie wartościom mierzonego
napięcia dla chwili t=0- to zaistnieje duże prawdopodobieństwo przecięcia tak ustawionego
13
poziomu wyzwalania przez chwilowy wzrost napięcia spowodowany np. zakłóceniami. Ilustruje to
rysunek 9. Przy niesprzyjająco dobranej podstawie czasu (szerokość okna czasowego) spodziewany
przebieg nieustalony (krzywa aperiodyczna z rys.9a) może wręcz w ogóle nie zostać zarejestrowany
(rys.9b).
k
a)
przecięcie
poziomu wyzwalania
POZIOM
SYGNAA

poczÄ…tek eksperymentu
b)
POZIOM
SYGNAA

EKRAN OSCYLOSKOPU
"OKNO CZASOWE"
Rys 9
W takim przypadku należałoby zwiększyć poziom wyzwalania tak, by nie był on przecinany
zakłóceniami, jak na rysunku 10. Oczywiście, w przypadku wykorzystywania standardowych
oscyloskopów prowadzi to do utraty informacji (obrazu) o przebiegu w czasie między chwilą
rozpoczęcia eksperymentu a chwilą przecięcia poziomu wyzwalania (rys.10b). Dlatego niektóre
oscyloskopy (jak używany w ćwiczeniu oscyloskop typu HP) rejestrują pewien margines czasu
sprzed wyzwolenia. Zwykle obraz ustawiany jest tak by chwila przecięcia poziomu wyzwalania
wypadała w połowie okna czasowego oscyloskopu, stanowiąc współrzędną czasową "zero"
(rys.10c).
Rysunek 10d pokazuje jak istotny jest dobór poziomu wyzwalania - w tym przypadku nawet
"zapas" czasu ujemnego nie wystarcza do uchwycenia początkowych fragmentów rejestrowanego
przebiegu, ze względu na zbyt dużą wartość poziomu wyzwalania.
Przykłady z rysunków 9 i 10 dotyczyły wyzwalania zboczem dodatnim (dla wartości
narastajÄ…cych).
Oddzielnym problemem przy rejestracji stanów nieustalonych jest dobór wzmocnienia w kanale
oscyloskopu, który jest wykorzystywany do rejestracji oraz dobór podstawy czasu oscyloskopu.
Wzmocnienie, czyli liczba woltów na działkę (ang.: volts/div), powinno być ustawione (przed
rejestracją) tak by móc zarejestrować na ekranie zarówno stan początkowy przebiegu jak i stan
ustalony przebiegu. W przypadku np ładowania kondensatora stanem ustalonym będzie napięcie
zasilania obwodu.
Dobór podstawy czasu oscyloskopu (rejestratora) powinien umożliwiać rejestrację całego
przebiegu, a przynajmniej na tyle długiego jego fragmentu, by możliwe było oszacowanie stałej
14
czasowej przebiegu. Ustawienie poprawnej podstawy czasu warunkowane jest więc znajomością
szacunkowych wartości elementów obwodu. Jeśli parametry obwodu nie są znane pozostaje
eksperymentalne ustawienie podstawy czasu w drodze kilku rejestracji próbnych.
k
przecięcie
poziomu wyzwalania
a)
POZIOM
SYGANAA

poczÄ…tek
eksperymentu
b)
POZIOM
SYGANAA

EKRAN OSCYLOSKOPU
c)
czas dodatni
POZIOM czas ujemny
SYGANAA

EKRAN OSCYLOSKOPU HP
przecięcie
poziomu wyzwalania
d)
POZIOM
czas dodatni
czas ujemny
SYGANAA

EKRAN OSCYLOSKOPU HP
Rys 10
6. Rezonans w obwodach RLC
Rezonans jest specyficznym stanem obwodu RLC (rezystancyjno-indukcyjno-pojemnościowego)
zasilanym sinusoidalnym napiÄ™ciem e=EsinÉt zależnym od parametrów L i C oraz pulsacji
wymuszenia É tak dobranej, by zachodziÅ‚ zwiÄ…zek:
15
1
É = É0 =
LC
É - pulsacja przy której zachodzi rezonans.
Powyższą zależność otrzymuje się rozpisując równania obwodu RLC (przy stałych parametrach L
oraz C) w celu znalezienia takiej impedancji zastępczej, przy której odpowiedz
obwodu osiÄ…gnie
ekstremalną wartość. W przypadku rezonansu szeregowego będzie to maksimum prądu.
Rezonans to zjawisko, w którym częstotliwość napięcia zasilania jest równa częstotliwości drgań
własnych obwodu.
1
É0L =
É0C
gdzie:
É0 = 2 Ä„ f0
f0 - częstotliwość przebiegu.
Dla stanu rezonansu ( XL = XC ), impedancja obwodu równa jest jego rezystancji:
2
Z = R + (XL - XC )2 = R
w przypadku gałęzi szeregowej RLC:
Z = R + X + XC = R + j(X - XC )
L L
gdzie:
Z, X , XC - impedancja zespolona, reaktancja zespolona cewki, reaktancja zespolona kondensatora
L
XL - wartość skuteczna reaktancji cewki
XC - wartość skuteczna reaktancji kondensatora
Przypadek rezonansu w szeregowo połączonym obwodzie RLC nosi też nazwę rezonansu napięć,
bowiem |UL| = |UC|, a suma napięć przesuniętych wzajemnie o 180 stopni wynosi UL + UC = 0.
PrÄ…d I osiÄ…ga dla É0 wartość maksymalnÄ… i jest w fazie z napiÄ™ciem wymuszajÄ…cym U równym
spadkowi napięcia na rezystancji R.
Dostrojenie obwodu do rezonansu można osiągnąć przez:
- regulacjÄ™ czÄ™stotliwoÅ›ci É = 1 LC ; L = const; C = const
- regulacjÄ™ indukcyjnoÅ›ci L ; É = const; C = const
- regulacjÄ™ pojemnoÅ›ci C ; É = const; L = const
Dla obwodu o stałych parametrach L i C istnieje tylko jedna częstotliwość przy której zachodzi
rezonans.
Poniżej przedstawiony jest wykres spadków napięć na elementach XL i XC oraz prądu obwodu w
zależności od pulsacji.
R = const; L = const; C = const
16
Rys.11 Spadki napięć na elementach XL i XC oraz prądu obwodu
Rys.12 Prąd względny (odniesiony do prądu rezonansowego I0) obwodu w funkcji względnej
częstotliwości
Dla É =É0 prÄ…d obwodu osiÄ…ga wartość maksymalnÄ… a maksymalne spadki napięć na elementach
XL i XC wystÄ™pujÄ… przy innych pulsacjach ÉL i ÉC. Pulsacji rezonansu odpowiada punkt przeciÄ™cia
charakterystyk |"UC| = f(É) i |"UL| = f(É).
1
ÉL =
2
R C2
LC -
2
2
1 R
ÉC = -
LC 2L2
Z równania (4) wynika, że w stanie rezonansu prąd gałęzi RLC jest określony przez zależność:
U
I =
R
gdzie: R - rezystancje obwodu.
17
Na rezystancję R składają się: - rezystancja elementu rezystancyjnego obwodu (opornik R który w
szczególnym przypadku może mieć rezystancję równą zeru), - rezystancja wewnętrzna RL cewki,
- rezystancja RC szeregowego układu zastępczego kondensatora rzeczywistego określana z
zależności:
RC = tg´ Å" XC
gdzie: tg´ - kÄ…t stratnoÅ›ci dielektryka kondensatora, a wiÄ™c:
R = R0 + RL + RC
Dobroci elementów i całego obwodu wynoszą odpowiednio:
dobroć pojemności:
1
QC =
RC Å"ÉC
dobroć indukcyjności:
ÉL
QL =
R
L
dla obwodu w stanie rezonansu:
XL XC
Q = =
R R
Szerokością przepuszczanego pasma częstotliwości przez gałąz
RLC nazywamy taki przedział
częstotliwości otaczający częstotliwość rezonansową w którym wartość prądu względnego
I
wyrażona jako stosunek (stosunek wartości prądu do wartości prądu przy rezonansie) nie
I0
zmniejsza się poniżej wartości granicznej:
1
a" 70,7%
2
f0 É0 É2 É1
= = Q ; f2 = ; f1 =
f2 - f1 É2 - É1 2 2
Stosunek częstotliwości rezonansowej do szerokości pasma przepustowego jest równy dobroci
gałęzi RLC (rys.13).
Rys.13
18
7. Przebieg ćwiczenia
STANY NIEUSTALONE
Do rejestracji stanów nieustalonych badanych w ćwiczeniu posłużyć się cyfrowym oscyloskopem
HP54600B z pamięcią. W panelu wyzwalania ustawić tryb wyzwalania jednokrotnego ("single").
Przebiegi "wolne" (o względnie dużej wartości stałej czasowej) najlepiej jest obserwować przy
włącznej funkcji Roll (w panelu "Horizontal": klawisz Main/Delayed -> Roll).
Przygotować oscyloskop do rejetracji automatycznej: ustawić odpowiednią wartość poziomu
wyzwalania, wybrać zbocze sygnału wyzwalającego i włączyć rejestrację (klawisz RUN).
Panele regulacji oscyloskopu cyfrowego HP54600B
Badanie obwodu RL
W obwodzie pokazanym na schemacie niżej należy wykonać rejestracje przebiegów prądu w
funkcji czasu od chwili t = 0. Wykorzystać rezystancję R jako bocznik pomiarowy oscyloskopu.
19
k
L
HP54600B
U
R
oscyloskop
Wyniki pomiarów dla różnych wartości rezystancji obwodu przedstawić w tabeli:
1 i
t
2 i
t
3 i
t
Badanie obwodu RC.
W obwodzie pokazanym na schemacie należy wykonać pomiary przebiegów napięć na pojemności
C dla różnych wartości parametrów R i C.
12 3
R
[&!]
C
[µF]
k R
HP54600B
C
U
oscyloskop
20
Wyniki pomiarów
1 UC
t
2 UC
t
3 UC
t
Badanie obwodu RLC
W obwodzie pokazanym na schemacie należy wykonać rejestracje przebiegów napięć na
pojemności C oraz prądu obwodu (napięcie na rezystancji) dla wskazanych obwodów RLC. Z
przebiegu należy wyznaczyć częstotliwość drgań własnych obwodu i porównać ją z wartością
teoretyczną (z danych parametrów obwodu). Zaznaczyć obwiednię drgań i na jej podstawie
wyznaczyć stałą czasową tłumienia drgań.
k L R
C HP54600B
U
oscyloskop
Wyniki pomiarów
1 UC
t
2 UC
t
3 UC
t
21
REZONANS
uR uL uC
A
RL
C
~
Generator
Dla zadanych zestawień obwodu RLC należy przestrajając generator znalez
ć częstotliwości
rezonansu, szerokości pasma przenoszenia (tak jak na rys.13).
Należy obliczyć dobroć obwodu i z dobroci obwodu wyliczyć szerokość pasma przenoszenia.
Porównać wartości pasma przenoszenia otrzymane obydwoma sposobami.
Pomiary
R0 = ............ ; RL = ............. ; L = ............. ; C = ............ ; tg´ = .............
f0 = ........................................... I0 = ...........................................
f2 = ........................................... I2 = ...........................................
f1 = ........................................... I1 = ...........................................
QL = ...........................................
f0
Q = = ...........................................
f2 - f1
QC = ...........................................
XL - XC = ................................................
Q = ...........................................
R = ........................................................
R0 = ............ ; RL = ............. ; L = ............. ; C = ............ ; tg´ = .............
f0 = ........................................... I0 = ...........................................
f2 = ........................................... I2 = ...........................................
f1 = ........................................... I1 = ...........................................
QL = ...........................................
f0
Q = = ...........................................
f2 - f1
QC = ...........................................
XL - XC = ................................................
Q = ...........................................
R = ........................................................
22
8. Pytania kontrolne
1. Przebiegi napięć i prądów przy ładowaniu i rozładowaniu kondensatora w obwodzie RC
2. Przebiegi napięć i prądów w obwodzie RL przy załączaniu zasilania ze z
ródła napięcia stałego
oraz rozłączaniu obwodu.
3. Przebiegi napięcia na kondensatorze i prądu w obwodzie szeregowym RLC przy załączeniu
L L
z
ródła prądu stałego gdy a) R > 2 , b) R < 2 . Jak określamy te przypadki?
C C
4. Od czego zależy szerokość przepuszczanego pasma w obwodzie RLC. Przedstawić zależności
względne prądu w stosunku do prądu rezonansowego w funkcji częśtotliwości.
Literatura
1. S. Bolkowski - Stany nieustalone w obwodach elektrycznych, WNT W-wa, 1976.
2. T. Cholewicki - Elektrotechnika teoretyczna tom 1. WNT Warszawa.
23