Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Plan wykładu:
Plan wykładu:
Automatyka i Robotyka
Automatyka i Robotyka
Schematy blokowe
Podstawowe elementy schematów blokowych
Budowa schematów blokowych
Przekształcenia schematów blokowych
Grafy przepływu sygnałów
Pojęcia podstawowe
Zasady redukcji grafów
Agata Nawrocka
Agata Nawrocka
Rozwiązywanie grafu metodą Masona
Katedra Automatyzacji Procesów
Katedra Automatyzacji Procesów
Akademia Górniczo-Hutnicza
Akademia Górniczo-Hutnicza
1 2
1 2
2
2
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Podstawowe elementy schematów blokowych
Podstawowe elementy schematów blokowych
Schematy blokowe
Schematy blokowe
Elementarne bloki dynamiczne  są symbolami operacji
Elementarne bloki dynamiczne
są graficznym opisem funkcji wykonywanych przez
graficznym opisem funkcji
matematycznych wykonywanych na sygnałach wejściowych i
wytwarzających odpowiednie sygnały wyjściowe. Przedstawiane są w
każdy element układu regulacji i przepływające przez te
postaci prostokątów, z umieszczonymi wewnątrz informacjami
elementy sygnały,
dotyczącymi ich właściwości  w układach liniowych zwykle podaje
się transmitancję operatorową.
dostarczają informacji o powiązaniach pomiędzy
powiązaniach
poszczególnymi elementami układu regulacji,
X(s)  transformata sygnału
X(s) Y(s)
wejściowego
zawierają informacje o zachowaniu dynamicznym G(s)
zachowaniu dynamicznym
Y(s)  transformata sygnału
układu, lecz nie zawierają żadnych informacji o jego wyjściowego
układu
G(s)  transmitancja operatorowa
fizycznej konstrukcji
Y(s) = G(s)X(s)
elementu dynamicznego
3 4
3 4
3 4
3 4
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Węzły sumacyjne  umożliwiają algebraiczne sumowanie kilku
Węzły sumacyjne
Węzły zaczepowe (informacyjne)  umożliwiają przekazanie tej
Węzły zaczepowe (informacyjne)
sygnałów (jedno wyjście i co najmniej dwa wejścia z uwzględnieniem
samej informacji do kilku różnych punktów schematu blokowego
znaku sygnału)
(jedno wejście i co najmniej dwa wyjścia)
Y(s) = X1(s)  X2(s)
Y(s)
X1(s)
+
X(s)
X(s)
X(s) = X(s) = X(s)
Sygnał wyjściowy jest sumą
-
algebraiczną sygnałów
X2(s)
Sygnał doprowadzony do węzła
dochodzących do węzła
X(s)
i sygnały odchodzące od węzła
są takie same
5 6
5 6
5 6
5 6
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Budowa schematów blokowych
Budowa schematów blokowych
Stosując przekształcenie Laplace a otrzymujemy
Przykład 1. Narysować schemat blokowy poniższego układu
k[Y(s)-V (s)]= CsV (s)
y
Wyznaczamy wartość sygnału wyjściowego
y  przemieszczenie (wejście)
u  przemieszczenie (wyjście)
FS
k
u v b
k  współczynnik sztywności
= �! U(s)= V(s)
a b C  współczynnik tłumienia
b a a
v
a, b  ramiona dz
wigni
C
u
FT
Rysujemy schemat blokowy układu
W stanie równowagi siła w sprężynie FS jest równa sile w tłumiku FT
Y(s)
V(s) U(s)
1 b
k
a
Cs
FS = FT
-
dv
k
k(y - v)= C
dt
7 8
7 8
7 8
7 8
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Przykład 2. Narysować schemat blokowy pasywnego układu
Dokonując transformacji Laplace a, przy zerowych warunkach
wibroizolacji
początkowych, otrzymujemy
ms2Y(s)+ CsY(s)- CsX (s)+ kY(s)- kX(s)= 0
y
m
x  przemieszczenie
(sygnał wejściowy) Po przekształceniach
C
k
y  przemieszczenie
1
(sygnał wyjściowy) Y(s)= [(Cs + k)(X (s)-Y(s))]
ms2
x
Rysujemy schemat blokowy układu
Równanie ruchu układu można przedstawić w postaci:
k
X(s) Y(s)
1
2 ms2
d y(t) dy(t) dx(t)ź#
ś# -
Cs
m + C�# - + k(y(t)- x(t))= 0
ś#
dt2 �# dt dt
#
9 10
9 10
10
10
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Przekształcenia schematów blokowych Przekształcenia schematów blokowych
Przekształcenia schematów blokowych Przekształcenia schematów blokowych
Połączenie szeregowe (kaskadowe, łańcuchowe)  jest to takie
Połączenie szeregowe (kaskadowe, łańcuchowe)
celem przekształceń schematów blokowych jest takie przedstawienie
połączenie, w którym sygnał wyjściowy jednego bloku jest
ich struktury, aby można było wyznaczyć transmitancję zastępczą i
transmitancję zastępczą
jednocześnie sygnałem wejściowym do następnego bloku.
zbadać własności dynamiczne układu,
zbadać własności dynamiczne układu
warunkiem koniecznym poprawnego przekształcania schematów jest
X(s) Y(s)
X(s) Y(s)
2
G1(s) G(s) G1(s) (s)
2
zachowanie własności układu (tym samym sygnałom wejściowym i *G
zachowanie własności układu *
wyjściowym odpowiadają te same sygnały po przekształceniach)
b)
a)
b) schemat równoważny
a) schemat pierwotny
Główna zasada przekształceń:
sygnał wyjściowy Y(s) nie ulega zmianie po przeniesieniu bloku.
11 12
11 12
11 12
11 12
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
X1(s) X2(s) Y(s)
X1(s) X2(s) Y(s)
Połączenie szeregowe
Połączenie szeregowe
G1(s) G2(s) Połączenie równoległe  jest to takie połączenie, w którym ten sam
G1(s) G2(s) Połączenie równoległe
sygnał wejściowy działa równocześnie na kilka bloków, a sygnał
Zakładając X (s) = G1(s)X1(s)
2
wyjściowy jest sumą algebraiczną sygnałów wyjściowych z
Y (s) = G2(s)X (s)
2
poszczególnych bloków.
Otrzymujemy
Y (s) = G2(s)G1(s)X1(s)
Y (s)
X(s)
X2(s)
G(s) = = G1(s)G2(s)
G1(s)
X1(s)
+
Y(s)
X(s) X(s) Y(s)
G1(s) G2(s)
+
Transmitancja wypadkowa członów połączonych szeregowo jest równa
+
G2(s)
iloczynowi transmitancji tych członów. Zależność ta jest słuszna, gdy
X(s) X3(s)
przy przepływie sygnałów przez poszczególne bloki nie występuje
b)
a)
oddziaływanie wsteczne.
Dla liczby  n członów transmitancja zastępcza wynosi
a) schemat pierwotny b) schemat równoważny
n
G(s) = (s)
"Gi
13 14
13 14
13 14
13 14
i=1
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
X1(s) X2(s)
X1(s) X2(s)
Połączenie równoległe
Połączenie równoległe
G1(s)
G1(s)
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym - jest to takie połączenie, w
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
X1(s)
X1(s)
+
Y(s)
Y(s)
którym sygnał wyjściowy z bloku w torze głównym oddziałuje
Zakładając X (s) = G1(s)X1(s) ,
2
+
wstecznie na sygnał wejściowy tego bloku.
X3(s) = G2 (s)X1(s) oraz
G2(s)
G2(s)
X1(s)
X1(s) X3(s)
X3(s)
Y (s) = X (s) + X3(s)
2
Otrzymujemy Y (s) = (G1(s) + G2 (s))X1(s)
Y (s) X(s) E(s) Y(s)
Y(s) X(s)
G1(s)
G(s) = = G1(s) + G2(s) G1(s)
-
1+G1(s)
G2(s)
X1(s)
+
-
X2(s)
Transmitancja wypadkowa członów połączonych równolegle jest równa
G2(s)
sumie transmitancji tych członów
a) b)
Dla liczby  n członów transmitancja zastępcza wynosi
n
a) schemat pierwotny b) schemat równoważny
G(s) = (s)
"Gi
i=1
15 16
15 16
15 16
15 16
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym
jeżeli G2(s) = 1 i cały sygnał wyjściowy jest podawany na
Zakładając E(s) = X1(s) ą X (s), Y (s) = G1(s)E(s) oraz
2
wejście, to takie sprzężenie nazywamy sprzężeniem
X (s) = G2(s)Y (s)
X1(s) E(s) Y(s)
2 X1(s) E(s) Y(s)
bezpośrednim (jednostkowym)
G1(s)
G1(s)
+
-
Otrzymujemy Y (s) = G1(s)(X1(s) ą X (s))
2
G1(s)
X2(s)
X2(s)
G(s) =
Y (s) = G1(s)X1(s) ą G1(s)G2(s)Y (s)
G2(s)
G2(s)
1m G1(s)
Y (s)(1m G1(s)G2(s))= G1(s)X1(s)
jeśli w torze sprzężenia zwrotnego występuje człon
G1(s)
Y (s) = X1(s)
proporcjonalny G2(s) = K, to sprzężenie takie nazywamy
1m G1(s)G2(s)
sztywnym
Y (s) G1(s)
G(s) = =
jeśli w torze sprzężenia zwrotnego występuje człon
X1(s) 1m G1(s)G2(s)
różniczkujący G2(s) = Ts, to otrzymujemy układ ze
sprzężeniem podatnym (elastycznym)  ujemne podatne
gdzie: G1(s) - transmitancja w torze głównym
s. z. powoduje spowolnienie procesu a dodatnie
G2(s) - transmitancja w torze sprzężenia zwrotnego
17 18
17 18
17 18
17 18
przyspieszenie
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Reguły przekształceń schematów blokowych  tabela
Reguły przekształceń schematów blokowych  tabela
Reguły przekształceń schematów blokowych
Reguły przekształceń schematów blokowych
Tabela 3.1
Układy równoważne
Rodzaj
analiza schematów blokowych i wyznaczenie transmitancji
przekształcenia
przed przekształceniem po przekształceniu
zastępczej możliwe jest w przypadkach, gdy schemat
X(s) Y1(s) Y(s) X(s) Y(s)
1. Połączenie
blokowy układu nie zawiera krzyżujących się pętli
G1(s) G2(s) G1(s)G2(s)
szeregowe
sprzężenia zwrotnego i gałęzi równoległych,
G1(s)
ą
X(s) Y(s) X(s) Y(s)
2. Połączenie
ąG1(s) ą G2(s)
równoległe
ą
G2(s)
w sytuacjach, gdy niezbędne staje się przenoszenie
węzłów sumacyjnych i zaczepowych, to zmiana położenia X(s) G1(s)
Y(s) X(s) Y(s)
3. Połączenie G1(s)
1 G1(s)G2(s)
m
ą
ze sprzężeniem
węzłów może się odbywać przy zachowaniu warunku, że
zwrotnym
G2(s)
układ musi zachować te same własności przed i po
4. Jednostkowe
przeniesieniu węzłów
X(s) G(s) Y(s)
X(s) Y(s)
ujemne G(s)
1 + G(s)
-
sprzężenie
19 20
19 zwrotne 20
19 20
19 20
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Reguły przekształceń schematów blokowych  tabela
Reguły przekształceń schematów blokowych  tabela
Przykład 3
Tabela 3.1cd
Przekształcić schemat blokowy poniższego układu do
Układy równoważne
Rodzaj
przekształcenia
przed przekształceniem po przekształceniu
prostszej postaci i wyznaczyć jego zastępczą transmitancję
X(s)
Y(s) Y(s) operatorową.
X(s)
5. Przesunięcie węzła
G(s) G(s)
zaczepowego przed Y(s)
Y(s) G(s)
człon
H 2(s)
Y(s)
X(s) X(s) Y(s)
6. Przesunięcie węzła
G(s) G(s)
_
zaczepowego za
X + 3
Y
Y(s)
człon 1
X(s) G 1(s) 2
1 G 2(s) G 3(s)
G(s) 4
_
Y(s)
7. Przesunięcie węzła X1(s) X1(s) Y(s)
G(s) G(s)
sumacyjnego przed
H 1(s)
człon X2(s)
1 X2(s)
G(s)
Y(s) Y(s)
X1(s) X1(s)
8. Przesunięcie węzła
Pierwotny schemat blokowy układu
G(s) G(s)
sumacyjnego za
X2(s)
człon
X2(s)
G(s)
21 22
21 22
21 22
21 22
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
H 2(s)
Sposób 1 Kolejne etapy przekształcenia schematu blokowego
_
X + 3
Y H2(s)
1 G 1(s) 2 G 2(s) G 3(s)
4
_
_
X(s) Y(s)
+ Y(s) X(s)
G2(s)
G3(s)
G1(s) 2
H 1(s)
1+H1(s)G1(s)G2(s) G(s)
" Dla otrzymanej dokonujemy połączeń stosujemy wzory na
konfiguracji
" Przesuwamy węzeł sumacyjny 1 za człon o transmitancji G1(s)
" Jednocześnie zamiany kolejności węzłów
połączenie szeregowe i z ujemnym sprzężeniem zwrotnym. G2 (s)
czyli stosujemy regułę 8 z tabeli 3.1
sumacyjnych 1 i 2.
G3 (s)
Y (s) 1 + H1(s)G1(s)G2 (s)
G(s) = = G1(s)
G2 (s)
X (s)
a)
H2(s)
1 + G3 (s)H (s)
2
1 + H1(s)G1(s)G2 (s)
_
+
X(s) + Y(s)
G1(s) 1 G3(s)
2 G2(s)
_
G1(s)G2(s)G3(s)
G(s) =
H1(s)G1(s)
1+ H1(s)G1(s)G2(s) + G2(s)G3(s)H2(s)
23 24
23 24
23 24
23 24
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
H 2(s)
Kolejne etapy przekształcenia schematu blokowego
Sposób 2
_
X + 3
Y
+ Y(s)
X(s)
1 G 1(s) 2 G 2(s) G 3(s) G2(s)
4 1 G1(s) G3(s)
_
1+H2(s)G3(s)G2(s)
_
X(s) Y(s)
G(s)
H 1(s)
H1(s)
Przesuwamy węzeł zaczepowy 4 przed człon o transmitancji G3(s)
Następnie dla otrzymanej konfiguracji połączeń stosujemy wzory na
G2 (s)
czyli stosujemy regułę 5 z tabeli 3.1 G1(s)
połączenie szeregowe i połączenie z ujemnym sprzężeniem
Y (s) 1 + G2 (s)H (s)G3 (s)
2
zwrotnym G(s) = = G3 (s)
G2 (s)
X (s)
1 + G1 (s) H1 (s)
1 + G2 (s)H (s)G3 (s)
2
b)
H2(s)G3(s)
G1(s)G2 (s)G3 (s)
-
G(s) =
+ Y(s)
X(s)
1 + G2 (s)H (s)G3 (s) + G1(s)G2 (s)H1(s)
2
1 G1(s) G2(s) G3(s) 2
_
W obu przypadkach otrzymujemy ten sam wynik przekształcenia
H1(s)
Koniec przykładu
25 26
25 26
26
26
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Grafy przepływu sygnałów graf definiujemy jako zbiór punktów zwanych węzłami i
Grafy przepływu sygnałów
skierowanych gałęzi łączących ze sobą odpowiednie węzły
zostały wprowadzone przez Masona w 1953 roku jako
węzły reprezentują poszczególne sygnały
sygnały
prostsza i szybsza alternatywa dla czasami żmudnej i
gałęzie reprezentują transmitancje opisujące związki
transmitancje
pracochłonnej redukcji schematów blokowych
między sygnałami
są graficzną reprezentacją układu liniowych równań
algebraicznych postaci
podstawiając y (s) = y
j j
n
y (s) = (s)yk (s), j = 1,2,...n
Gkj (s) = akj
j "Gkj
k =1
n
powstałych po transformacji Laplace a układu równań
można zapisać y = yk
różniczkowych, będącego modelem matematycznym j "akj
k =1
liniowego układu automatyki
27 28
27 28
27 28
27 28
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Dla bardziej złożonych układów, np. dla układu opisanego równaniami
Pojęcia podstawowe
Pojęcia podstawowe
y2 = a12 y1 + a22 y2 + a42 y4
ż#
�#y = a23 y2
Elementarny graf przepływu sygnałów, przedstawiający
�# 3
�#
związek między sygnałem wejściowym y1 i sygnałem
�#y4 = a14 y1 + a34 y3
wyjściowym y2, pokazano na rysunku
�#y5 = a35 y3 + a45 y4
�#
a12
y2
y1
można zbudować graf łącząc ze sobą poszczególne węzły zgodnie ze
związkami między sygnałami wynikającymi z układu równań
a14
Równanie grafu
a12 a23 y4 a45
y2 y3 a34
y2 = a12 y1
y5
y1
a22
a42 a35
29 30
29 30
30
30
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Schematy blokowe z odpowiadającymi im grafami
Schematy blokowe z odpowiadającymi im grafami
Pojęcia podstawowe
Pojęcia podstawowe
przepływu sygnałów
przepływu sygnałów
podgraf - wydzielona część grafu,
y1 y2
y1 a12 y2
(a)
a12
węzeł z
ródłowy - z takiego węzła gałęzie tylko wychodzą (y1),
węzeł odbiorczy - do takiego węzła gałęzie tylko dochodzą(y5),
a12
a12
+
y1
(b) y2 y2
y1
węzeł pośredni - do takiego węzła gałęzie zarówno dochodzą
+
b12
jak i wychodzą (y3), b12
ścieżka - droga sygnałów, będąca zbiorem następujących po sobie
y3
+
(c) y1
y1
a13
gałęzi, którymi sygnały kolejno przepływają i tylko raz przechodzą
a13
+
przez poszczególne węzły (y1 --> y4 --> y5),
y3
a23
a23
kaskada - ścieżka zaczynająca się w węz
le z
ródłowym i kończąca y2
y2
w węz
le odbiorczym (y1 --> y2 --> y3 --> y5),
a23
a12
y1 y2 y3
(d) +
pętla - ścieżka zaczynająca się i kończąca w tym samym węz
le (y2 --> a12 y3
a23
y1 y2
y3 --> y4 --> y2), -
a32
pętla własna - pętla zawierająca tylko jedną gałąz
(a22) -a32
31 32
31 32
31 32
31 32
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Zasady redukcji grafów
Zasady redukcji grafów
połączenie równoległe gałęzi grafu
Do redukcji grafu przepływu sygnałów stosuje się niżej
a12
omówione sposoby jego przekształcania
a12+b12
y2
połączenie szeregowe gałęzi grafu
y1
y1
a12
a23 a23a12
b12
y1
y1
y3 y3
y2 = a12 y1 y2 = (a12 + b12 )y1
ż#
�#
y2 = a12 y1
ż# y3 = a23a12 y1
= b12 y1
�#y2
�#y = a23 y2
�# 3
33 34
33 34
33 34
33 34
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
eliminacja węzłów pośrednich
eliminacja węzłów pośrednich eliminacja węzłów pośrednich
eliminacja węzłów pośrednich
y3
y1
y3
a12 y1
a23
a12a23
a13a34
y3 y4
y4
y1
a12
y1
a24
a12a24
a23
a23a34
y4
y4
y2 = a12 y1
ż#
y3 = a12 a23 y1
ż#
y3 = a12 y1 + a23 y2 y4 = a13a34 y1 + a23a34 y2 �#y = a23 y2
ż# �#
�# y4 = a12 a24 y1
3
�#
�#
= a34 y3
�#y4 �#y = a24 y2
�# 4
35 36
35 36
35 36
35 36
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
redukcja grafu zawierającego pętlę
Podstawiając y2 z równania pierwszego do drugiego otrzymamy graf
z rysunku b)
Przykład
a) y3 = a12a23 y1 + a23a32 y3
ż#
b)
a12a24
a32 a32a23
�#
a12
= a34 y3
a12a23
�#y4
a34
y3 a34
y1
y1 y4 y3 y4
a23
Z pierwszego równania wyliczamy y3
c)
a12a23
a14
y3 (1 - a23a32 ) = a12a23 y1 y3 = y1
1 - a23a32
y4
y1
Po podstawieniu y3 do równania na y4 otrzymamy graf z rysunku c)
Graf z rysunku a) możemy opisać równaniami
y2 = a12 y1 + a32 y3
ż#
a34a12a23
�#y = a23 y2
y4 = y1 = a14 y1
�#
3 1- a23a32
�#y = a34 y3
�# 4 37 38
37 38
37 38
37 38
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
redukcja grafu zawierającego dwie pętlę Graf z rysunku a) możemy opisać równaniami
y2 = a12 y1 + a32 y3 + a42 y4
ż#
Przykład
�#y = a23 y2
Redukcja grafu sprowadza się do kolejnej eliminacji węzłów y3, y4, y2
�#
3
�#
a) b)
y1 a23a34
a23 y3 y4 y1
y4
a34 a45 �#y4 = a34 y3
a45 a12 �#y5 = a45 y4
a12
a32
�#
a42
a23a32
a42
Podstawiając y3 z równania drugiego do równania pierwszego i trzeciego
a23a32
otrzymamy graf z rysunku b) opisany równaniami
d)
c)
a23a34a45
y1 y1
a12 a23a34a45
y2 = a12 y1 + a23a32 y2 + a42 y4
ż#
�#y = a34a23 y2
�#
4
a23a34a42
a23a34+a23a34a42
�#y = a45 y4
a15
�# 5
e)
y1 39 40
39 40
39 40
39 40
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Podstawiając y4 z równania drugiego do równania pierwszego i trzeciego,
Rozwiązanie grafu metodą Masona
Rozwiązanie grafu metodą Masona
otrzymamy graf z rysunku c) opisany równaniami
y2 = a12 y1 + a23a32 y2 + a42a34a23 y2
ż# metoda ta umożliwia wyznaczenie zależności pomiędzy
�#
dwoma sygnałami bez konieczności pracochłonnego
= a45a34a23 y2
�#y5
przekształcania grafu
A
ącząc ze sobą pozostałe pętle własne otrzymujemy graf z rysunku d)
całkowitą transmitancję grafu, a więc między wybranym
Z pierwszego równania, wyliczamy y2 węzłem z
ródłowym a odbiorczym, możemy obliczyć ze
a12 wzoru
y2(1- a23a32 - a42a34a23) = a12y1 y2 = y1
gdzie:
1- a23a32 - a42a34a23
m a  transmitancja grafu,
Po podstawieniu y2 do równania na y5 , otrzymamy graf z rysunku e)
"i m  liczba kaskad pomiędzy węzłem
"ai
z
ródłowym a odbiorczym,
i=1
a45a34a23a12
a =
ai  transmitancja i-tej kaskady,
y5 = y1 = a15 y1
"
1- a23a32 - a42a34a23)
"  wyznacznik grafu,
"i  dopełnienie i-tej kaskady
41 42
41 42
41 42
41 42
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Przykład 1
Sposób wyliczenia wyznacznika grafu
Dany jest graf przedstawiony na poniższym rysunku. Należy
" =1- + lj - l lk +L,
"li "li "li j
i ij ijk wyznaczyć transmitancję między węzłem y1 a węzłem y7.
gdzie:
a53
- suma transmitancji wszystkich pojedynczych pętli grafu,
"li
i
l a12
7
"li j - suma iloczynów transmitancji pętli nie stykających się ze sobą, y1 a23 y3 y4 a56 a67
a34
a45
ij branych po dwie,
l lk
"li j - suma iloczynów transmitancji pętli nie stykających się ze sobą, a33
ijk
branych po trzy
a24 a46
Dopełnienie i-tej kaskady "i otrzymujemy z wyznacznika grafu " przez
przyrównanie do zera w tym wyrażeniu wszystkich transmitancji pętli i
wchodzących lub stykających się z i-tą kaskadą
43 44
43 44
43 44
43 44
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
Pętla l1 nie styka się z kaskadami a2 i a3
Między węzłami y1 i y7 są cztery kaskady
"2 = "3 =1- a33
y1
1) - y2 - y3 - y4 - y5 - y6 - y7 o transmitancji a1 = a12a23a34a45a56a67
y1
2) - y2 - y4 - y5 - y6 - y7 o transmitancji Wyznacznik grafu
a2 = a12a24a45a56a67
" = 1-(l1 + l2)= 1-(a33 + a34a45a53)
y1
3) - y2 - y4 - y6 - y7 o transmitancji
a3 = a12a24a46a67
4) y1 - y2 - y3 - y4 - y6 - y7 o transmitancji Podstawiając wyliczone wartości do wzoru znajdujemy
a4 = a12a23a34a46a67
szukaną transmitancję między węzłami y1 i y7
y7 a1"1 + a2"2 + a3"3 + a4"4
Rozważany graf ma dwie pętle
a17 = =
y1 "
1) y3 - y3 o transmitancji l1 = a33
a12a23a34a45a56a67 + a12a24a45a56a67(1- a33)
2) y3 - y4 - y5 - y3 o transmitancji l2 = a34a45a53
a17 = +
1-(a33 + a34a45a53)
Obie pętle stykają się z kaskadami a1 i a4
a12a24a46a67 (1- a33) + a12a23a34a46a67
+
"1 = "4 =1 1-(a33 + a34a45a53)
45 46
45 46
45 46
45 46
Automatyka i Robotyka Wykład nr 6 Automatyka i Robotyka Wykład nr 6
&
x1 ń# Ą# ń# Ą# ń# x1
Ą# ń# Ą#- 2 0 0 x1 12
Ą# ń#
Przykład 2
ó#x Ą# ó# Ą# ó#x Ą# ó#
Ą#
& = 0 - 3 0 +
[1
2 2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#- 24Ą# u(t) y = 1 1]ó#x2 Ą#
Ą#
ó#
ó# & Ą# ó# - 4Ś# Ł#x3 Ś# Ł# 12 ó# Ą#
Zbudować graf przepływu sygnałów dla układu opisanego 0 0 Ą# ó# Ą# ó# Ą#
Ł#x3 Ś# Ł# Ś#
Ł#x3 Ś#
poniższym równaniem stanu i wyjścia.
1
X1
s
&
x1 ń# Ą# ń# Ą# ń#
Ą# ń# Ą#- 2 0 0 x1 12
1
12
ó#x Ą# ó# Ą# ó#x Ą# ó#
-2
& - 3 0 +
= 0
2 2
ó# Ą# ó# Ą# ó# Ą# ó#- 24Ą# u(t)
Ą#
1
-24
ó# & Ą# ó# - 4Ś# Ł#x3 Ś# Ł# 12
0 0 Ą# ó# Ą# ó# Ą#
X2 1
Ł#x3 Ś# Ł# Ś#
s
U Y
x1
Ą# ń#
-3
y = [1 1 1]ó#x2 Ą#
12
ó# Ą#
1
1
ó# Ą#
Ł#x3 Ś#
X3
s
-4
47 48
47 48
49
49