Spis treści
POMIARY WIELKOÅšCI FIZYCZNYCH I ICH BA

DY..............................................................................1
METODY POMIAROWE................................................................................................................................5
NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA..................................................................7
Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich..................................................................................8
Ocena niepewności pomiarowej typu A................................................................................................8
Ocena niepewności pomiarowej typu B..............................................................................................15
Niepewność standardowa pomiarów pośrednich .....................................................................................17
Niepewność rozszerzona...........................................................................................................................21
Dokładność metody zerowej mostkowej - przykład.................................................................................23
WST
P DO TEORII POMIARÓW
POMIARY WIELKOÅšCI FIZYCZNYCH I ICH BA

DY
Pomiar jest podstawowym z
ródłem informacji w fizyce. Pomiarem nazywa się
czynności doświadczalne mające na celu wyznaczenie wartości badanej wielkości
fizycznej. Istotą każdego pomiaru jest porównanie wartości mierzonej z wzorcem miary
tej wielkości przyjętym za jednostkę (np. pomiar długości w m, km itp.). Wynik pomiaru
musi zatem składać się z dwóch części: wartości liczbowej, określającej ile razy
mierzona wielkość jest większa lub mniejsza od przyjętego wzorca oraz rodzaju
jednostki.
Pomiary wielkości fizycznych dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary
bezpośrednie polegają wprost na porównaniu danej wielkości z odpowiednią miarą
wzorcową, wynik pomiaru otrzymuje się bezpośrednio bez wykonywania jakichkolwiek
obliczeń.
W pomiarach pośrednich wartość badanej wielkości jest wyznaczana na podstawie
pomiarów bezpośrednich innych wielkości fizycznych, które są z nią powiązane znanym
prawem fizycznym, czyli występuje konieczność wyliczenia wartości wielkości
mierzonej y na podstawie bezpośrednich pomiarów innych wielkości x , x ,..., x
1 2 n
y = f (x1, x2 , x3,...., xn )
związanych z nią znaną zależnością funkcyjną .
W trakcie pomiaru nigdy nie można bezwzględnie dokładnie wyznaczyć rzeczywistej
wartości mierzonej wielkości, uzyskana wartość liczbowa zawsze różni się od
przewidywań teorii. W odniesieniu do przyczyn tej rozbieżności używa się terminu błąd
pomiaru. W tym zastosowaniu pojęcie błąd pomiaru występuje w znaczeniu
jakościowym, natomiast w znaczeniu ilościowym błąd pomiarowy oznacza różnicę
pomiędzy wynikiem pomiaru a rzeczywistą wartością. Błąd bezwzględny definiujemy
jako różnicę wyniku pomiaru x i wartości rzeczywistej x :
R
" x = x - xR
(1)
a błąd względny jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości rzeczywistej:
" x x
´ = = - 1
(2)
x
xR xR
Należy podkreślić, że pojęcie wartości rzeczywistej jest czysto teoretyczne, gdyż
praktycznie nie jest znana. Z tego względu operowanie wartością błędu jest utrudnione.
Uwzględniając przyczyny powstawania błędów występujących podczas wykonywania
pomiarów można wyróżnić następujące trzy kategorie: błędy grube, błędy
systematyczne i błędy przypadkowe.
Błędy grube powstają na skutek nieumiejętności użycia danego przyrządu, pomyłek przy
odczytywaniu i zapisie wyników, nagłej zmiany warunków pomiaru itp. Dla błędów
grubych różnica między wynikiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest na ogół bardzo
duża. Dla serii pomiarów wyniki obarczone błędem grubym są łatwe do wykrycia i
usunięcia. Na wykresach mierzonych lub wyznaczanych wielkości punkty pomiarowe nie
obarczone błędami grubymi układają się zgodnie z prawidłowością występująca w teorii
badanego zjawiska, natomiast wyniki obarczone tym błędem odbiegają znacznie od
pozostałych. Błędy grube eliminuje się poprzez:
" wychwytywanie ich w czasie wykonywania doświadczeń i powtarzanie odpowiednich
pomiarów (uwaga słuszna, gdy eksperymentator posiada doświadczenie w
przeprowadzaniu pomiarów),
" wychwytywanie ich w czasie opracowywania wyników, pojedyncze podejrzane
przypadki należy eliminować, w przypadku pewnej liczby błędnych danych w serii
należy poszukać przyczyn natury systematycznej.
Pomiary są obarczone błędami systematycznymi, gdy przy powtarzaniu pomiarów dla
serii pomiarowej występuje różnica między wartościami zmierzonymi a wartością
rzeczywistą podlegająca pewnej prawidłowości, natomiast rozrzut wyników
poszczególnych pomiarów jest niewielki lub w ogóle nie występuje. Błędy
systematyczne wynikajÄ… z:
" mało dokładnego ustawienia eksperymentu (np. nieuwzględnienie siły wyporu
powietrza przy dokładnym ważeniu),
" wad urządzeń pomiarowych (np. waga dz
wigniowa z przesuniętym punktem
zawieszenia, czasomierz wskazówkowy ze środkiem skali nie pokrywającym się z osią
wskazówek, z
le wyskalowane przyrzÄ…dy),
" ze stanu zewnętrznych warunków pomiaru (zbyt wysoka temperatura w pomieszczeniu),
" niedoskonałości eksperymentatora (błąd paralaksy w trakcie odczytu wskaz
ników
analogowych).
Obecnie błąd systematyczny można w pewnych wypadkach traktować jako zjawisko
przypadkowe, gdyż nie znamy zazwyczaj jego wielkości i znaku. W tym ujęciu
wykonujÄ…c pomiar danym przyrzÄ…dem dysponujemy tylko jednÄ… realizacjÄ… zmiennej
losowej. Losową próbkę można jednak uzyskać, jeżeli pomiary zostaną wykonane przy
użyciu zbioru przyrządów o tej samej dokładności. Postępując w ten sposób można
uzyskać doświadczalny rozkład prawdopodobieństwa dla błędu uważanego za
systematyczny. WynikajÄ…ce z tego konsekwencje matematyczne zostanÄ… przedstawione
przy omawianiu niepewności pomiaru.
Występowanie błędów przypadkowych objawia się jako rozrzut wyników pomiaru
wokół wartości rzeczywistej. Wynik każdego kolejnego pomiaru jest inny. O tym jaka
jest szansa uzyskania wyników większych lub mniejszych od x decyduje rodzaj rozkładu
0
statystycznego (np. Gaussa, prostokątny, jednostajny), któremu te wyniki podlegają.
Błędy przypadkowe wynikają z różnych przypadkowych i nie dających się uwzględnić
czynników. W fizyce klasycznej, gdzie większość zjawisk jest opisywana przez prawa
deterministyczne, przyczyną statystycznego rozrzutu wyników pomiaru mogą być:
" niedokładność i przypadkowość działania ludzkich zmysłów (eksperymentator każdy
kolejny pomiar wykona nieco inaczej),
" fluktuacji warunków pomiaru (wilgotność, temperatura, ciśnienie, zużycie elementów
biorących udział w doświadczeniu),
" nieokreślenie samej mierzonej wielkości fizycznej,
" szumy (elektromagnetyczne, termiczne) generowane w samym układzie pomiarowym
oraz zakłócenia zewnętrzne.
W ogólności przyczyny występowania błędów podczas pomiarów wynikają z:
" niedoskonałości eksperymentatora,
" niedoskonałości przyrządów pomiarowych,
" niedoskonałości metod pomiarowych,
" niedoskonałości mierzonych obiektów,
a analiza ich prowadzi do następujących wniosków:
" błędy grube należy całkowicie wyeliminować odpowiednio starannie przeprowadzając
pomiary i uważnie analizując wyniki (wynik pomiaru nie powinien być obarczony ich
wpływem),
" błędy systematyczne mogą być korygowane na etapie wyboru metody pomiarowej i
analizy wyników pomiarów, ich granice powinny być wyraz
nie określone,
" błędów przypadkowych ze względu na ich losowy (przypadkowy) charakter nie można
całkowicie uniknąć ani skorygować, ale można minimalizować ich wpływ na wynik
końcowy.
METODY POMIAROWE
Metoda pomiarowa to zastosowany podczas pomiaru sposób porównania wartości
mierzonej z wzorcem miary tej wielkości. Istnieje wiele metod pomiarowych różniących
się sposobem postępowania i zastosowanymi narzędziami. Uwzględniając sposób
postępowania podczas pomiaru i rodzaj zastosowanych narzędzi pomiarowych, z czym
wiąże się zwykle osiągalna dokładność wyniku, rozróżnia się metody bezpośredniego
odczytu i metody porównawcze. Wśród metod porównawczych można wyróżnić
następujące rodzaje: metodę różnicową, metodę przez podstawienie i metody zerowe.
W metodzie bezpośredniego odczytu, zwanej też metodą odchyleniową, wartość
wielkości mierzonej zostaje określona na podstawie odchylenia wskazówki lub innego
wskazania (np. cyfrowego) narzędzia pomiarowego. Podczas pomiaru wzorzec wielkości
mierzonej nie występuje bezpośrednio, natomiast przy produkcji narzędzia pomiarowego
cały szereg wartości wzorcowych został wykorzystany do odpowiedniego wykonania
podziałki (wzorcowanie podziałki). Metoda ta jest najprostsza, najłatwiejsza w
zastosowaniu, daje natychmiastowe wyniki, ale przy wykorzystaniu analogowych
narzędzi pomiarowych jest stosunkowo mało dokładna. Dokładność metody znacznie
zwiększyła się z chwilą zastosowania bardzo dokładnych przyrządów cyfrowych.
Niedokładność pomiaru wykonywanego tą metodą wynika głównie z istnienia
dopuszczalnego błędu systematycznego narzędzia pomiarowego określonego jego klasą
dokładności.
Metoda różnicowa jest metodą porównawczą, w której w układzie pomiarowym
występuje wzorzec wielkości o wartości zbliżonej do wartości mierzonej (np.
jednowartościowy wzorzec nienastawialny). W tym przypadku bezpośrednio mierzy się
x = xW + " x
różnicę obu wartości, a wynik pomiaru określa się następująco: , gdzie: x 
W
wartość wzorcowa, "x  zmierzona bezpośrednio różnica z uwzględnieniem jej znaku.
Ponieważ wartość wzorcowa jest zwykle określona z pomijalnie małym błędem, błąd
pomiaru wartości x wynika z niedokładności bezpośredniego pomiaru różnicy "x.
Metoda pomiarowa przez podstawienie jest metodą porównania bezpośredniego. W
układzie pomiarowym znajduje się wzorzec wielkości mierzonej o wartościach
nastawianych w szerokich granicach. Podczas pomiaru wartość mierzoną x zastępuje się
wartością wzorcową x dobraną w taki sposób, aby skutki (np. odchylenia wskazówki
W
miernika) wywoływane przez obie wartości były takie same, z czego wynika zależność:
x = xW
.
Metoda przez podstawienie jest metodą bardzo dokładną, ponieważ praktycznie eliminuje
błędy wprowadzane przez układ porównania. Po wielokrotnym powtórzeniu pomiaru i
obliczeniu wartości średniej (zminimalizowaniu błędów przypadkowych) błąd wyniku
pomiaru jest praktycznie równy błędowi dopuszczalnemu dla wzorca.
Metody pomiarowe zerowe są najdokładniejszymi metodami porównania
bezpośredniego. Porównanie wartości mierzonej z wartością wzorcową (lub z zespołem
wartości wzorcowych) odbywa się za pomocą układu pomiarowego, w którym przez
zmianę parametrów elementów składowych doprowadza się do zaniku (do zera) napięcia
lub prądu w kontrolowanej gałęzi układu. Czynność doprowadzania do zaniku napięcia
lub prądu nazywa się równoważeniem układu, a wskaz
nik służący do zaobserwowania
tego stanu (np. galwanometr) nazywa siÄ™ wskaz
nikiem równowagi. Dokładność
zerowych metod pomiaru jest bardzo duża, zależy od dokładności wykonania
zastosowanych w układzie wzorców oraz od czułości wskaz
nika równowagi.
Zastosowanie bardzo dokładnych wzorców oraz zastosowanie wskaz
nika równowagi o
wysokiej czułości ogranicza błędy systematyczne metody do wartości pomijalnych
wobec błędów przypadkowych. Podczas dokładnych pomiarów wykonuje się zwykle
serię pomiarów i statystyczną analizę wyników pomiaru.
Rozróżniamy zerowe metody mostkowe oraz zerowe metody kompensacyjne. Metody
mostkowe stosuje się najczęściej do dokładnych pomiarów takich parametrów jak
rezystancja, pojemność i indukcyjność w układach z prądem stały lub przemienny.
Metody kompensacyjne służą zwykle do pomiaru napięcia lub do pośredniego pomiaru
innych wielkości przetworzonych uprzednio na napięcie. W metodzie kompensacyjnej
nieznaną wartość napięcia mierzonego U porównuje się z nastawianą dokładnie znaną
wartością wzorcową U , wytworzoną za pomocą kompensatora. Układ pomiarowy
W
doprowadza się do równowagi przez zmianę wartości U , a w chwili równowagi
W
zachodzi równość: U = UW . Szczególnie ważną zaletą metod kompensacyjnych jest to,
że w chwili zrównoważenia układu przez badany obiekt nie płynie prąd, zatem nie
występuje błąd systematyczny metody, wynikający ze spadku napięcia na rezystancji
wewnętrznej obiektu badanego.
NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA
Z istoty natury pomiaru wynika zatem, że nie można nigdy niezależnie od metody
pomiarowej, bezwzględnie dokładnie wyznaczyć rzeczywistej wartości wielkości
fizycznej, czyli dokonać pomiaru absolutnie dokładnego. Pomiary mogą być
wykonywane tylko ze skończoną dokładnością. Ponieważ nie jest znana nigdy
rzeczywista wartość mierzonej wielkości posługiwanie się pojęciem błędu pomiaru,
zdefiniowanym jako różnica pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą, jest
niewygodne. Podawanie tylko wyniku pomiaru jest jednak niewystarczajÄ…ce,
opracowanie wyników pomiaru powinno zawierać także ocenę ich wiarygodności, czyli
niepewność pomiaru. Takie podejście jest zgodne z zaleceniami Międzynarodowej
Normy Oceny Niepewności Pomiaru [1], uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w
Polsce w 1999 roku [2].
Niepewność pomiaru jest ogólnie zdefiniowana jako parametr związany z rezultatem
pomiaru, charakteryzujący rozrzut wyników, który można w uzasadniony sposób
przypisać mierzonej wartości. Pojęciem jakościowym związanym z terminem
niepewność jest dokładność. Pomiarem dokładniejszym jest pomiar o mniejszej
niepewności.
Miarą niepewności pomiarowej jest niepewność standardowa, która może być
szacowana na dwa sposoby:
" ocena typu A  wynika ze statystycznej analizy serii n równoważnych i
nieskorelowanych obserwacji wielkości x podlegającej błędowi przypadkowemu,
" ocena typu B  wynika z naukowego osÄ…du eksperymentatora, biorÄ…cego pod uwagÄ™
wszystkie posiadane informacje o pomiarze i z
ródłach jego niepewności. Stosowana jest
w przypadku niemożności przeprowadzenia statystycznej analizy serii pomiarów np. dla
błędu systematycznego.
Jako symbol niepewności standardowej przyjęto oznaczenie u (od angielskiego słowa
uncertainity), które może być zapisane na trzy sposoby:
" u  niepewność standardowa dowolnej wielkości
" u(x)  niepewność standardowa wielkości x wyrażonej symbolem
" u(długość wahadła)  niepewność wielkości wyrażonej słownie.
Niepewność względna jest definiowana jako stosunek niepewności standardowej do
wielkości mierzonej:
u(x)
ur ( x) =
(W.3)
x
Wymiar niepewności standardowej u(x) jest taki sam jak wymiar wielkości mierzonej,
natomiast niepewność względna jest wielkością bezwymiarową, co umożliwia
porównywanie za jej pomocą niepewności wielkości fizycznych posiadających różny
wymiar.
Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich
Ocena niepewności pomiarowej typu A
Ocena niepewności pomiarowej typu A dotyczy określenia niepewności dla pomiarów
obarczonych błędami przypadkowymi. Z jednego pomiaru nie można wnioskować o jego
dokładności. Dlatego konieczne jest wykonanie serii n bezpośrednich pomiarów
wielkości fizycznej x, poprzez wielokrotne, niezależne powtórzenie rozpatrywanego
pomiaru. Wyniki w serii będą różnić się losowo, oznaczmy je x , x , x , ....... x , gdzie n
1 2 3 n
jest ilością powtórzeń pomiaru w serii. Wyniki można traktować jako n realizacji
zmiennej losowej o wartości oczekiwanej x (utożsamianej z wartością rzeczywistą) oraz
o
odchyleniu standardowym à i stosować standardowe rezultaty teorii bÅ‚Ä™dów. Wartość
rzeczywista jest nieznana, ale w większości przypadków dla serii pomiarów najlepszym
oszacowaniem mierzonej wartości jest średnia arytmetyczna:
n
1
x = xi
(W.4)
"
n
i= 1
Jest to podstawowe twierdzenie teorii pomiarów tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wynika
ono z faktu równości prawdopodobieństw zawyżenia jak i zaniżenia wielkości mierzonej.
Tym samym błędy powinny kompensować się. Przy skończonej ilości pomiarów w serii
może jednak wystąpić nierównomiernie rozłożenie wyników wokół wartości
rzeczywistej. Tym samym wartość średnia x jest jedynie bliska wielkości rzeczywistej
x , ale jej nie równa. Zbliżenie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria pomiarowa.
R
x = xR
Równość występuje tylko dla nieskończenie dużych serii pomiarów, praktycznie
niemożliwej do wykonania.
W serii wyniki pomiarów rozkładają się wokół wartości średniej w tzw. krzywą Gaussa.
Aby się o tym przekonać należy zakres pomiarowy podzielić na przedziały o równej
szerokości "x i obliczyć, ile pomiarów z serii mieści się w każdym z nich (rys. 1).
Oczywiście zwiększając n można zmniejszyć szerokości poszczególnych przedziałów
rozkładu, ale nadal zostanie zachowany jego dyskretny charakter. Obwiednia dzwonowa
poprowadzona po środkach przedziałów (patrz rys. 1) jest pewnym wyidealizowaniem,
n = "
pokazuje wygląd rozkładu normalnego, gdyby był funkcją ciągłą (dla ). Taka
postać łatwiej poddaje się analizie matematycznej i dlatego jest często stosowana, ale nie
należy zapominać, że realny rozkład normalny ma strukturę ziarnistą. Ciągły rozkład
Gaussa jest następującą funkcją matematyczną:
2
(x- x)
-
1 2
2Ã
(W.5)
P( x) = e
à 2Ą
Ã
gdzie parametr , zwany w statystyce odchyleniem standardowym, określa rozkład
wyników pomiarów wokół wartości średniej.
Kształt krzywej Gaussa, zwanej również krzywą dzwonową, bardzo silnie zależy od
Ã
wartości odchylenia standardowego . Na rys. 2 pokazano przebiegi krzywej Gaussa dla
kilku różnych wartości odchylenia standardowego. Dla małych odchyleń standardowych
krzywa jest bardzo stroma i odchylenia od wartości oczekiwanej są bardzo małe. Im
większe odchylenie standardowe tym krzywa jest bardziej płaska. Zauważmy, że na
krzywej Gaussa można wyróżnić obszary o przeciwnie skierowanej krzywiz
nie. W
okolicy maksimum krzywa jest wypukła, a daleko poza maksimum wklęsła. Obszary o
przeciwnej krzywiz
nie są oddzielone punktami przegięcia, odpowiadają im na osi
odciętych punkty x - à i x + à .
Ponieważ rozkład Gaussa opisuje zjawisko probabilistyczne można określić jedynie
prawdopodobieństwo znalezienia się dowolnego wyniku pomiaru x (i = 1, 2, 3....n) w
i
xA, xB
określonym przedziale wartości . I tak:
x - Ã , x + Ã
" w przedziale mieści się 68,26% wyników z serii,
x - 2Ã , x + 2Ã
" w przedziale mieści się 95,45% wyników z serii,
x - 3Ã , x + 3Ã
" w przedziale mieści się 99,73% wyników z serii.
Prawdopodobieństwo, że dany wynik pomiaru z serii pomiarowej znajdzie się w
x - Ã , x + Ã
przedziale
wynosi zatem 0,683. Prawdopodobieństwo, z jakim w zadanym
przedziale znajdzie się dowolny pomiar z serii nosi nazwę poziomu ufności, a przedział
przedziału ufności.
x
Rys. 1. Rozkład pomiarów w serii wokół wartości średniej jest rozkładem Gaussa.
Rys. 2. Przebieg krzywej ciągłego rozkładu normalnego w zależności od odchylenia
standardowego. Im większe jest odchylenie standardowe, tym krzywa jest szersza i
bardziej spłaszczona.
Rys. 3. Interpretacja graficzna przedziałów ufności i poziomów ufności p oraz
współzależność między nimi.
W interpretacji graficznej prawdopodobieństwu znalezienia wyniku pomiaru w
odpowiednim przedziale odpowiada pole pod krzywą Gaussa odcięte tym przedziałem
przy założeniu, że pole pod całą krzywą równa się jeden (rys. 3a, 3b).
Analiza kształtu krzywej Gaussa prowadzi do wniosku, że wybór przedziału
x - Ã , x + Ã
jako określającego rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej jest
najbardziej optymalny, co wynika z faktu, że jest on wyznaczony przez punkty przegięcia
x - d, x + d
krzywej. Sztuczne zmniejszenie przedziału ufności do (rys. 3c) prowadzi
do znacznego obniżenia poziomu ufności (o pole pod krzywą Gaussa odcięte
x - Ã , x - d x + Ã , x + d
przedziałami , , które jest duże, bo na tych odcinkach krzywa
Gaussa jest wypukła). Podniesienie poziomu ufności (rys. 3d) jest możliwe tylko przez
x - c, x + c
znaczne poszerzenie przedziału ufności do , gdyż pola pod krzywą w
przedziaÅ‚ach oddalonych od Å›redniej x dalej niż o à wnoszÄ… maÅ‚y wkÅ‚ad do poziomu
ufności (krzywa Gaussa na tych obszarach jest wklęsła).
Ã
Odchylenie standardowe w teorii pomiarów przyjmuje się za miarę rozrzutu wyników
pomiaru i definiuje sią jako niepewność standardową pojedynczego pomiaru, którą
oblicza się przy pomocy wyrażenia:
n
( xi - x)2
"
(W.6)
i= 1
u(x) = Ã =
(n - 1)
(n
Występujący w wyrażeniu czynnik - 1)
można uzasadnić faktem, że ponieważ część
informacji zawartej w serii x ,x ,x , ....... x została wykorzystana do określenia wartości
1 2 3 n
średniej x , uśrednianie związane z odchyleniem standardowym następuje z mniejszą
(n
liczbą punktów swobody i stąd dzielenie przez - 1)
zamiast przez n.
x
Natomiast dla wartości średniej uznawanej za wynik serii n pomiarów jako
Ã
niepewność standardową przyjmuje się odchylenie standardowe wartości średniej i
x
wynosi ona:
n
( xi - x)2
"
(W.7)
u( x)
i= 1
u(x) = Ã = =
x
(n - 1) n
n
Wartość niepewności standardowej wartości średniej jest razy mniejsza od
n
niepewności standardowej pojedynczego pomiaru. Wartości niepewności standardowych
u( x) u(x)
lub , choć wyznaczone przy pomocy jednoznacznych wzorów są równe
prawdziwym wartościom odchylenia standardowego i odchylenia standardowego średniej
tylko w granicy dla nieskończonej ilości pomiarów. Dla skończonej liczby pomiarów
niepewność pomiaru jest określona ze skończoną dokładnością. Przyjmuje się, że dla
wyznaczenia niepewności standardowej jako odchylenia standardowego należy wykonać
5÷10 pomiarów, co pozwala na ocenÄ™ niepewnoÅ›ci pojedynczego pomiaru rzÄ™du 20÷
30%. Wykonywanie zbyt dużej liczby pomiarów nie jest opłacalne, ponieważ dokładność
wyznaczenia niepewności dość powoli zwiększa się ze wzrostem n ilości pomiarów.
Reasumując wykonanie serii n pomiarów umożliwia:
" oszacowanie niepewności spowodowanych błędami przypadkowymi,
" zwiększenie dokładność niepewności.
Wykonanie niewielkiej liczby 2 lub 3 pomiarów można przyjąć jako sprawdzian
powtarzalności, za wynik pomiaru należy wówczas przyjąć średnią, a dla oceny
niepewności pomiaru stosować ocenę typu B.
( x , Ã )
Trzeba zdecydowanie silnie podkreślić, że same parametry rozkładu nie dają
pełnej informacji statystycznej. Taką informacją jest jedynie wykres rozkładu w postaci
dyskretnej (tzw. histogram) lub w postaci ciągłej. Punkty eksperymentalnie otrzymanego
histogramu niejednokrotnie znacznie odbiegajÄ… od teoretycznej krzywej Gaussa,
ponieważ N nie jest wystarczająco duże. W ćwiczeniu w celu ułatwienia otrzymania
docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsona umożliwiającą
przeliczenie punktów eksperymentalnych P(x ) na punkty położone bliżej docelowej
i
krzywej P (x ) i w związku z tym ułatwiające jej znalezienie. Zależność Simpsona ma
S i
postać:
PS(xi) = 0,25[P(xi- 1) + 2 Å" P(xi) + P(xi+ 1)]
(1.1)
i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależność trzech sąsiednich
punktów pomiarowych. Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć
następującymi sposobami:
x
średnia : na bazie wzoru (W.4); z wykresu rozkładu normalnego - jako miejsce
położenia jego maksimum;
Ã
odchylenie standardowe : na bazie wzoru (W.6); z wykresu rozkładu normalnego
określając położenie punktów przegięć.
Ocena niepewności pomiarowej typu B
Ocena niepewności pomiarowej typu B jest stosowana, gdy statystyczna analiza serii
pomiarów nie jest możliwa. Taka sytuacja zachodzi dla błędu systematycznego lub dla
błędu przypadkowego, gdy dostępnych jest tylko kilka rezultatów pomiaru. Co ma
miejsce, gdy ze względów eksperymentalnych nie ma możliwości powtórzenia
doświadczenia.
Ocena niepewności typu B opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora, możliwie
obiektywnym, wykorzystujÄ…cym wszystkie informacje o pomiarze i z
ródłach jego
niepewności. W tym celu może on wykorzystać między innymi:
" doświadczenie i wiedzę na temat przyrządów i obiektów mierzonych,
" informacje producenta przyrządów (np. klasę przyrządów, działkę elementarną),
" dane z poprzednich pomiarów,
" niepewności przypisane danym zaczerpniętym z literatury.
Ocena niepewności typu B polega na oszacowaniu niepewności maksymalnej,
oznaczanej symbolem " (duża delta), czyli największej jaka może wystąpić w danym
pomiarze.
Najczęściej ocena typu B dotyczy określenia niepewności wynikających ze skończonej
dokładności przyrządów. Aktualnie prawie wszystkie używane przyrządy pomiarowe to
proste przyrzÄ…dy mechaniczne lub elektroniczne mierniki cyfrowe. Dla prostych
przyrządów mechanicznych, do których można zaliczyć linijkę, termometr, śrubę
mikrometryczną, jako niepewność maksymalną przyjmuje się działkę elementarną
przyrządu, np. oszacowana niepewność maksymalna pomiaru temperatury przy pomocy
typowego termometru wynosi " t = 1o C .
W elektronicznych przyrządach cyfrowych wartość odpowiadająca zmianie ostatniej
cyfry, zwana działką elementarną, określa rozdzielczość przyrządu. Niepewność
maksymalna zazwyczaj jest kilkakrotnie większa od działki elementarnej. Podawana jest
przez producenta przyrządu i najczęściej zależy od wielkości mierzonej x oraz zakresu z,
" x = c1x + c2 z
na którym dokonuje się pomiaru i wyznaczana jest z zależności: .
Jeśli za pomocą woltomierza, dla którego podane przez producenta wartości c i c
1 2
wynoszą odpowiednio: c =0,2% i c =0,1% zmierzono napięcie o wartości U = 98,25 V na
1 2
zakresie z = 150 V, to niepewność maksymalna tego pomiaru jest równa 0,35 V.
Na końcowy wynik oszacowania niepewności oprócz dokładności przyrządów składa się
również dokładność samego eksperymentatora. Własną niepewność odczytu, czy
niedoskonałość zmysłów, szczególnie trudno jest ocenić. Podczas pomiaru czasu przy
pomocy stopera należy uwzględnić szybkość reakcji fizjologicznej podczas jego
włączania i wyłączania, która może być rzędu 0,2 s lub mniejsza. Można ją oszacować
próbując kilkukrotnie zatrzymać stoper na określonej pozycji. A
ączna niepewność
pomiaru czasu jest dwukrotnie większa, ponieważ niedokładności włączania i wyłączania
stopera sumują się. W wyniku takiej analizy może się okazać, że w celu zwiększenia
dokładności pomiaru użycie precyzyjniejszego stopera jest bezcelowe. Lepszym
rozwiązaniem będzie zastosowanie elektronicznego pomiaru czasu z użyciem
fotokomórki.
Jak wynika z określenia niepewności maksymalnej, jeśli nie występują żadne dodatkowe
informacje, wynik pomiaru powinien wystąpić z jednakowym prawdopodobieństwem w
przedziale ą " x . Dla rozkładu jednostajnego, który występuje w tym przypadku jako
odchylenie standardowe przyjmuje się połowę szerokości rozkładu podzieloną przez .
3
Zgodnie z zaleceniami normy [1] zaleca się niepewność standardową wyrazić poprzez
niepewność maksymalną za pomocą wzoru:
" x
u(x) =
(W.8)
3
Gdy występują oba typy niepewności zarówno statystyczny rozrzut wynikający z błędów
przypadkowych jak i niepewność wynikająca z dokładności przyrządów i obie są tego
samego rzędu, to żadna z nich nie może być pominięta. W tym przypadku całkowita
niepewność standardową wyraża się wzorem:
2
(" x)
2
(W.9)
u(x) = Ã +
x
3
Niepewność standardowa pomiarów pośrednich
Wiele wielkości fizycznych nie można wyznaczyć jako wynik pomiaru bezpośredniego.
Takie wielkości są związane z k innymi wielkościami fizycznymi x , x ,...x
1 2 k
wyznaczanymi z pomiarów bezpośrednich odpowiednią zależnością funkcyjną:
y = f ( x1, x2 ,..., xk )
(W.10)
xk
Po przeprowadzeniu pomiarów znane są wyniki x1 , x2 ,...., i niepewności
u(x1) u(x2 ) (xk )
standardowe , , ...., u mierzonych wielkości x , x ,...x .
1 2 k
y
Jako wynik pomiaru wielkości y przyjmuje się wielkość wyznaczoną z zależności:
y H" y = f (x , x ,..., x )
1 2 k (W.11)
y uc( y)
Wartość obarczona jest pewną skończoną niepewnością , na która przenoszą się
u( x1) u(x2 ) u(xk )
niepewności standardowe wielkości mierzonych bezpośrednio , ,.., .
uc( y)
Niepewność nosi nazwę niepewności złożonej (od angielskiego terminu
combined uncertainty), a sposoby jej obliczania to prawo przenoszenia niepewności lub
prawo propagacji niepewności.
W przypadku pomiarów bezpośrednich nieskorelowanych tzn. gdy każdą z wielkości x ,
1
x ,...x wyznacza się niezależnie, bezwzględną niepewność złożoną uc( y) wielkości y
2 k
szacuje się przy pomocy następującego wzoru:
2 2 2 2
k
ëÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚
" y " y " y " y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
uc ( y) = u( x1)öÅ‚ + u(x2 )öÅ‚ + ..... + u(xk )öÅ‚ = u( xi )öÅ‚
"
ìÅ‚ ìÅ‚
" x1 ÷Å‚ ìÅ‚ " x2 ÷Å‚ " xk ÷Å‚ i= 1 ìÅ‚ " xi ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
(W.12)
" y
y = f (x1, x2 ,..., xk )
Pochodne cząstkowe oblicza się różniczkując związek
" xi
xi
względem zmiennej traktując pozostałe zmienne jak stałe.
Prawo przenoszenia niepewności przyjmuje przejrzystą i wygodną do praktycznych
obliczeń postać, gdy zamiast niepewności złożonej bezwzględnej zostanie wyznaczona
(
niepewność złożona względna u y) :
c,r
uc( y)
uc,r ( y) =
(W.13)
y
W tym celu wyrażenie (W.12) dzielimy obustronnie przez y, a następnie wyrażenia
xk
wewnątrz nawiasów po prawej stronie równości mnożymy i dzielimy przez , co
prowadzi do postaci:
2
k
ëÅ‚ öÅ‚
uc ( y) " y xi u( xi )
ìÅ‚ ÷Å‚
(W.14)
=
"
ìÅ‚
y " xi y xi ÷Å‚
i= 1
íÅ‚ Å‚Å‚
Niepewność złożoną względną można zatem wyrazić jako sumę geometryczną
u(xi )
niepewności względnych wielkości mierzonych bezpośrednio pomnożonych przez
xi
" y xi
wi wi =
bezwymiarowe wagi w postaci , czyli
" xi y
k
2
uc,r( y) = (wi Å" ur(xi))
" (W.15)
i= 1
Jeśli zależność funkcyjna pomiędzy wielkościami x , x ,...x wyrażona jest w postaci
1 2 k
potęgowo  iloczynowej typu:
n1 n2 nk
y = C Å" x1 Å" x2 Å" ...Å" xk (W.16)
" y xi
wi =
to wagi są odpowiednio równe:
" xi y
n1 n2 i nk
)
" y xi "(C Å" x1 Å" x2 Å" ...Å" xin Å" ...Å" xk xi
wi = = = ni
n1 n2 i nk
" xi y " xi
C Å" x1 Å" x2 Å" ...Å" xin Å" ...Å" xk
(W.17)
czyli niepewność złożona względna wielkości y wyraża się zależnością:
2
k k
uc( y) ëÅ‚ u( xi ) öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
uc,r ( y) = = (ni Å" ur ( xi ))2 = ni Å"
" "
ìÅ‚
y xi ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
i= 1 i= 1
(W.18)
W szczególnym przypadku jeśli wielkość y wyraża się zależnością
iloczynowo - ilorazową wielkości x , x ,...x , przy obliczaniu wag otrzymuje się jako
1 2 k
wynik jedność. W tym przypadku złożona niepewność względna jest sumą geometryczną
xi
względnych niepewności wielkości :
k
2
uc,r( y) = (uc,r( xi )) (W.19)
"
i= 1
Wartości wag dla najczęściej spotykanych funkcji zebrane są w poniższej tabeli, gdzie
symbol C oznacza nie tylko stałą, ale również pozostałą cześć wzoru funkcyjnego nie
xi
zawierającą zmiennej , czyli stanowiącą czynnik stały przy obliczaniu odpowiedniej
pochodnej czÄ…stkowej.
" y xi
wi =
typ zależności funkcyjnej waga
" xi y
y = Cxn n
ax
y = Ceax
y = C ln(ax) 1/ ln(ax)
Otrzymane zgodnie z prawem przenoszenia niepewności wyrażenie (W.12) wiążące
(
u( x1) u( x2 )
niepewność złożoną uc y) wielkości y z niepewnościami standardowymi , ,..,
u( xk )
wielkości x , x ,...x mierzonych bezpośrednio jest słuszne zarówno w przypadku
1 2 k
u(x1) u(x2 ) )
wyznaczenia niepewności , ,.., u( xk z zastosowaniem metody oceny
niepewności typu A jak i oceny typu B.
Jeżeli bezpośrednie pomiary wielkości x , x ,...x pozwalają jedynie na zastosowanie
1 2 k
" x1
metody oceny niepewności typu B, czyli wyznaczenie niepewności maksymalnych ,
" x2
,... " xk , wówczas uwzględniając jednostajny rozkład mierzonych wielkości w
xi Ä… " xi
przedziałach należy zgodnie z wyrażeniem (W.8) obliczyć niepewności
standardowe pomiarów bezpośrednich jako:
" xi
u(xi ) =
(W.20)
3
W tym przypadku wyrażenie opisujące niepewność złożoną sprowadza się do postaci:
2 2 2 2
k
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 " y " y " y 1 " y
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
uc( y) = " x1 + " x2 + ..... + " xk ÷Å‚ = " xi
"
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
" x1 ÷Å‚ ìÅ‚ " x2 ÷Å‚ " xk Å‚Å‚ " xi ÷Å‚
3 3
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
i= 1
(W.21)
a dla zależności potęgowo  iloczynowej (W.16) niepewność złożona względna
2
k
ëÅ‚ öÅ‚
uc( y) 1 " xi
ìÅ‚ ÷Å‚ (W.22)
uc,r ( y) = = ni Å"
"
ìÅ‚
y 3 xi ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
i= 1
Prawidłowo przeprowadzony rachunek błędów, automatycznie odpowiada na pytania:
xi
" które wielkości fizyczne należy zmierzyć z większą dokładnością dla uzyskania
zmniejszenia niepewność pomiarowej wielkości wynikowej y;
u( xi )
" która niepewność standardowa bezwzględna wnosi największy wkład do
(
policzonej niepewności złożonej u y)
c,r
Otrzymane wnioski z analizy błędów są ważne i pouczające, pozwalają na ewentualne
efektywniejsze powtórzenie doświadczenia.
Niepewność rozszerzona
u(x)
Niepewności standardowa i niepewność złożona wyznaczają przedziały
uc ( y)
domknięte, takie że prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej pomiaru
x
odpowiednio w przedziale od - u( x) x + u( x) y - uc( y) y + uc( y)
do wynosi
lub od do
0,683. Niepewności te są miarą dokładności pomiarów i umożliwiają porównywanie
dokładności różnych metod pomiarowych.
Aby wyciągać wnioski o zgodności wyniku pomiaru z innymi wynikami
Międzynarodowa Norma Niepewności Pomiarów [1] wprowadza pojęcie niepewności
U(x)
rozszerzonej (z języka angielskiego expanded uncertainty), oznaczanej .
U(x)
Niepewność rozszerzoną wybiera się tak, aby w przedziale ą , zwanym przedziałem
objęcia znajdowała się przeważająca większość wyników pomiaru, potrzebna do
U(x)
określonych zastosowań. Wartość niepewności rozszerzonej jest iloczynem
niepewności standardowej i bezwymiarowego współczynnika rozszerzenia k:
U(x) = k Å" u(x)
(W.23)
Tak zdefiniowany przedział objęcia można utożsamiać z przedziałem ufności, a
prawdopodobieństwo objęcia z poziomem ufności. Przykładowe poziomy ufności dla
kilku najczęściej stosowanych współczynników k podaje poniższa tabela:
Tabela 1. Poziomy ufności dla wybranych współczynników rozszerzenia k.
współczynnik rozszerzenia k poziom ufności
1 0,683
1,28 0,8
1,65 0,9
2 0,954
2,33 0,98
3 0,997
W przypadku oceny typu B dla niepewności standardowej przedział objęcia nie ma
ścisłej interpretacji statystycznej. W zgodzie z międzynarodową praktyką do obliczenia
niepewności rozszerzonej przyjmuje się wówczas domyślnie wartość k=2, wartości inne
niż 2 mogą być stosowane tylko w wyniku decyzji uprawnionego eksperta i powinny
wynikać z ustalonych i udokumentowanych wymagań [3].
Typowe zastosowania niepewności rozszerzonej to wnioskowanie o zgodności
uzyskanego wyniku z wartością dokładną: teoretyczną (określoną przy pomocy teorii) lub
tabelaryczną np. stałą przyrody, wyznaczoną w wyniku pomiarów, ale aktualnie znaną z
bardzo dużą dokładnością. Porównanie wartości zmierzonej x z wartością dokładną x
0
x - x0 U( x)
polega na porównaniu różnicy
z niepewnością rozszerzoną . Jeśli spełniony
jest warunek:
x - x0 < U( x)
(W.24)
to wartość zmierzoną uznajemy za zgodną z wartością dokładną.
Aby określić, czy wyniki dwóch niezależnych pomiarów tej samej wielkości x i x są
1 2
równe w granicach niepewności pomiaru, należy porównać różnicę tych wyników z
niepewnością rozszerzoną tej różnicy. Jeśli niepewności standardowe pomiarów są równe
u(x1) u( x2 )
odpowiednio i , to zgodnie z prawem przenoszenia błędów niepewność
u( x1) u( x2 )
standardowa różnicy jest równa sumie geometrycznej , :
2 2
(W.25)
u(x1 - x2 ) = (u( x1)) + (u( x2 ))
a niepewność rozszerzona:
2 2
(W.26)
U(x1 - x2 ) = k Å" (u(x1)) + (u( x2 ))
x1
Wyniki obu pomiarów można uznać za zgodne, jeżeli - x2 < U(x1 - x2 )
.
Dokładność metody zerowej mostkowej - przykład
Z zasada budowy i równoważenia mostka Wheatstone a jest zgodna z rysunkiem
przedstawionym poniżej, gdzie l = l2 + l3 to całkowita długość drutu.
RamiÄ™ AC  odpowiada mierzonej rezystancji R , zaÅ› ramiÄ™ AD  wzorcowej
X
rezystancji zatyczkowej R . Wielkości rezystancji R i R (odcinki drutu ślizgowego)
4 2 3
zależą od położenia suwaka reochordu. Przy przesuwaniu jego suwaka zmieniają się
wielkości rezystancji R i R , a w związku z tym ich stosunek. Pomiar nieznanej
2 3
rezystancji sprowadza się do znalezienia takiego położenia suwaka reochordu, przy
którym przez galwanometr nie płynie prąd. Powyższa operacja nosi nazwę równoważenia
mostka. W rzeczywistych układach dodatkowo instaluje się komutator służący do
zamiany miejscami rezystancji włączonych w ramiona mostka bez przełączania
przewodów. Stosowanie komutatora jest wskazane z tego powodu, że drut reochordu nie
bywa całkowicie jednorodny wzdłuż całej długości i dlatego stosunek R / R nie jest
2 3
dokładnie równy stosunkowi l /l . Obwód zasilany jest prądem stałym.
2 3
Zastosujemy teraz rachunek niepewności do wyznaczenia najlepszego punktu pomiaru.
Mimo braku znajomości wartości mierzonych i ich niepewności będzie można
wyznaczyć jak przeprowadzić ćwiczenie, by rezultaty były obarczone jak najmniejszą
niepewnością. Wartość tej niepewności będzie można wyznaczyć po wykonaniu
ćwiczenia.
W przypadku, gdy oporniki R , R są odcinkami drutu ślizgowego (reochordu), warunek
2 3
równowagi mostka ma postać:
l2 l2
RX = R4 = R4
(P.1)
l3 l - l2
l2 l3
R2 = Á Å" R3 = Á Å"
gdyż: i . (P.2)
S S
Á
l = l2 + l3
gdzie:
 całkowita długość drutu,  opór właściwy drutu, S  powierzchnia
przekroju drutu.
Rozpatrzmy zależność (P.1), z której metodą pośrednią określamy wartość nieznanej
" l2
rezystancji R . Mierzymy l z niepewnością maksymalną . Wartość l oraz R zostały
X 2 4
zmierzone ze znacznie większą precyzją. Załóżmy, że ich niepewności maksymalne
" l " R4
wynoszą odpowiednio oraz . Wówczas niepewność złożona bezwzględna
wyznaczanej rezystancji wyniesie (patrz wzór W.21):
2 2
2
1 " RX " RX " RX
(P.3)
uc(RX ) = " l2 + " l + " R4
" l2 " l " R4
3
" l " R4
Przy pominięciu wkładów od błędu oraz jako znacznie mniejsze od wkładu
" l2
pochodzącego od powyższy wzór przyjmuje postać:
1 l Å" " l2
uc(RX ) = R4
(P.4)
3 - l2 )2
(l
a niepewność względna:
uc(RX ) 1 l Å" " l2
uc,r (RX ) = =
(P.5)
RX l2 (l
3 - l2 )
Niepewność względna osiąga minimum dla takiej wartości l , przy której mianownik
2
powyższego wyrażenia osiąga maksimum. A
atwo zauważyć, że warunek ten ma miejsce
l2 = l 2 l2 = l3
dla , czyli w sytuacji, gdy (tzn. R = R ). Wówczas spełniony jest warunek
2 3
R = R . Dla tej szczególnej sytuacji niepewność względną wyznaczanej rezystancji
X 4
możemy wyrazić niepewnością względną zmierzenia długości l :
2
2 " l2
uc,r(RX ) =
(P.6)
l2
3
Wzór powyższy możemy stosować, gdy R mało różni się od R , czyli gdy l jest bliskie
X 4 2
l
.
2
Poszukiwaną wartość niepewności będzie można wyznaczyć (po wykonaniu ćwiczenia)
ze wzoru (P.6) gdy suwak reochordu znajduje się blisko połowy długości drutu
ślizgowego (P.1).