W s t p - W
T E O R I A B AE D W P O M I A R W
1 . W i a d o m o [c i z p o d s t a w m e t r o l o g i i
P o m i a r e m n a z y w a s i c z y n n o [c i d o [w i a d c z a l n e m a j c e n a c e l u w y z n a c z e n i e w a r t o [c i w i e l -
k o [c i b a d a n e j . I s t o t k a |d e g o p o m i a r u j e s t p o r w n a n i e w a r t o [c i m i e r z o n e j z w z o r c e m m i a r y
t e j w i e l k o [c i .
M e t o d a p o m i a r o w a t o z a s t o s o w a n y p o d c z a s p o m i a r u s p o s b p o r w n a n i a . I s t n i e j e w i e l e m e -
t o d p o m i a r o w y c h r |n i c y c h s i s p o s o b e m p o s t p o w a n i a i z a s t o s o w a n y m i [r o d k a m i . Z a w s z e
j e d n a k d o w y k o n a n i a p o m i a r u , t j . o k r e [l e n i a s t o s u n k u w a r t o [c i m i e r z o n e j d o w a r t o [c i p r z y j -
t e j z a j e d n o s t k m i a r y n i e z b d n e j e s t :
- o k r e [l e n i e j e d n o s t k i m i a r y o r a z
- p o s i a d a n i e o d p o w i e d n i e g o n a r z d z i a p o m i a r o w e g o .
P o d s t a w o w y p o d z i a B m e t o d p o m i a r o w y c h t o p o d z i a B n a :
- m e t o d y b e z p o [r e d n i e , w k t r y c h z a s t o s o w a n y m i e r n i k : r e a g u j e w p r o s t n a w a r t o [
w i e l k o [c i m i e r z o n e j i w y n i k p o m i a r u o t r z y m u j e s i b e z p o [r e d n i o z o d c z y t u j e g o
w s k a z a D, b e z w y k o n y w a n i a j a k i c h k o l w i e k o b l i c z e D. P r z y k Ba d a m i p o m i a r w b e z p o -
[r e d n i c h s p o m i a r y : d Bu g o [c i z a p o m o c l i n i j k i , c z a s u z a p o m o c s t o p e r a , n a p i c i a
z a p o m o c w o l t o m i e r z a , t e m p e r a t u r y z a p o m o c t e r m o m e t r u i t p .
- m e t o d y p o [r e d n i e , w k t r y c h w y s t p u j e k o n i e c z n o [ w y l i c z e n i a w a r t o [c i w i e l k o [c i
m i e r z o n e j X n a p o d s t a w i e b e z p o [r e d n i c h p o m i a r w i n n y c h w i e l k o [c i A , D , C , D
z w i z a n y c h z n i z n a n z a l e |n o [c i f u n k c y j n f , t z n . g d y :
X = f ( A , B , C , D ) .
P r z y k Ba d a m i p o m i a r w p o [r e d n i c h s : w y z n a c z e n i e p r z y [p i e s z e n i a z i e m s k i e g o z a p o m o c
w a h a d Ba m a t e m a t y c z n e g o , w y z n a c z e n i e r e z y s t a n c j i z a p o m o c w o l t o m i e r z a i a m p e r o m i e r z a ,
w y z n a c z e n i e l e p k o [c i c i e c z y m e t o d S t o k e s a .
I n n y p o d z i a B m e t o d p o m i a r o w y c h u w z g l d n i a s p o s b p o s t p o w a n i a p o d c z a s p o m i a r u i r o d z a j
z a s t o s o w a n y c h n a r z d z i p o m i a r o w y c h , z c z y m w i |e s i z w y k l e o s i g a l n a d o k Ba d n o [ w y n i -
k u . R o z r |n i a m y t u t a j :
1 ) M e t o d o d c h y l e n i o w z w a n t e | b e z p o [r e d n i e g o o d c z y t u .
W a r t o [ w i e l k o [c i m i e r z o n e j o k r e [l a s i w n i e j n a p o d s t a w i e o d c h y l e n i a w s k a z w k i l u b i n -
n e g o w s k a z a n i a ( n p . c y f r o w e g o ) n a r z d z i a p o m i a r o w e g o . P o d c z a s p o m i a r u w z o r z e c w i e l k o -
[c i m i e r z o n e j n i e w y s t p u j e b e z p o [r e d n i o , n a t o m i a s t p r z y p r o d u k c j i n a r z d z i a p o m i a r o w e g o
c a By s z e r e g w a r t o [c i w z o r c o w y c h z o s t a B w y k o r z y s t a n y d o o d p o w i e d n i e g o w y k o n a n i a p o -
d z i a Bk i ( w z o r c o w a n i e p o d z i a Bk i ) . M e t o d a t a j e s t n a j p r o s t s z a , n a j Ba t w i e j s z a w z a s t o s o w a n i u ,
d a j e n a t y c h m i a s t o w e w y n i k i , a l e p r z y w y k o r z y s t a n i u a n a l o g o w y c h n a r z d z i p o m i a r o w y c h
j e s t s t o s u n k o w o m a Bo d o k Ba d n a . D o k Ba d n o [ m e t o d y z n a c z n i e z w i k s z y Ba s i z c h w i l z a s t o -
s o w a n i a b a r d z o d o k Ba d n y c h p r z y r z d w c y f r o w y c h .
N i e d o k Ba d n o [ p o m i a r u w y k o n y w a n e g o t m e t o d w y n i k a g B w n i e z i s t n i e n i a d o p u s z c z a l n e -
g o b Bd u s y s t e m a t y c z n e g o n a r z d z i a p o m i a r o w e g o o k r e [l o n e g o j e g o k l a s d o k Ba d n o [c i . N a
p r z y k Ba d d l a e l e k t r y c z n y c h m i e r n i k w w s k a z w k o w y c h d o p u s z c z a l n w a r t o [ b Bd u b e z -
w z g l d n e g o o k r e [l a z a l e |n o [:
k
"X = X n , ( W - 1 . 1 )
1 0 0
g d z i e : k - k l a s a d o k Ba d n o [c i m i e r n i k a w p r o c e n t a c h z a k r e s u p o m i a r o w e g o , X n - z a k r e s p o -
m i a r o w y .
P r z y k B a d :
Z a p o m o c w o l t o m i e r z a k l a s y 0 , 5 o z a k r e s i e U = 1 5 0 V z m i e r z o n o n a p i c i e o t r z y m u j c w a r -
t o [ U = 9 8 , 2 5 V . D o p u s z c z a l n y b Bd b e z w z g l d n y w o l t o m i e r z a w y n o s i w g w z o r u ( 8 . 1 . 1
p a t r z w . 8 )
0 , 5
"U = 1 5 0 V = 0 , 7 5 V
1 0 0
z a t e m w y n i k p o m i a r u n a l e |y z a p i s a n a s t p u j c o :
U = 9 8 , 2 5 + 0 , 7 5 V ,
z a [ b Bd w z g l d n y p r o c e n t o w y p o m i a r u
0 , 7 5 V
= 1 0 0 % = 7 , 6 % .
9 8 , 2 5 V
2 ) M e t o d a r |n i c o w a
M e t o d a r |n i c o w a j e s t m e t o d p o r w n a w c z , p r z y k t r e j w u k Ba d z i e p o m i a r o w y m w y s t p u j e
w z o r z e c w i e l k o [c i o w a r t o [c i z b l i |o n e j d o w a r t o [c i m i e r z o n e j ( n p . j e d n o w a r t o [c i o w y w z o -
r z e c n i e n a s t a w i a l n y ) . W t y m p r z y p a d k u b e z p o [r e d n i o m i e r z y s i r |n i c o b u w a r t o [c i , a w y -
n i k p o m i a r u o k r e [l a s i n a s t p u j c o :
X = X W + "X ,
g d z i e : X W - w a r t o [ w z o r c o w a , "X - z m i e r z o n a b e z p o [r e d n i o r |n i c a , z u w z g l d n i e n i e m j e j
z n a k u .
P o n i e w a | w a r t o [ w z o r c o w a j e s t z w y k l e o k r e [l o n a z b Bd e m p o m i j a l n i e m a By m , b Bd p o m i a -
r u w a r t o [c i X w y n i k a z n i e d o k Ba d n o [c i b e z p o [r e d n i e g o p o m i a r u r |n i c y "X .
3 ) M e t o d a p r z e z p o d s t a w i e n i e
M e t o d a p o m i a r o w a p r z e z p o d s t a w i e n i e j e s t m e t o d p o r w n a n i a b e z p o [r e d n i e g o . W u k Ba d z i e
p o m i a r o w y m m u s i z n a j d o w a s i w z o r z e c w i e l k o [c i m i e r z o n e j o w a r t o [c i a c h n a s t a w i a n y c h
w s z e r o k i c h g r a n i c a c h . P o d c z a s p o m i a r u w a r t o [ m i e r z o n X z a s t p u j e s i w a r t o [c i w z o r -
c o w X W , d o b r a n w t a k i s p o s b , a b y s k u t k i ( n p . o d c h y l e n i a w s k a z w k i m i e r n i k a ) w y w o -
By w a n e p r z e z o b i e w a r t o [c i b y By t a k i e s a m e , z c z e g o w y n i k a z a l e |n o [:
X = X W .
M e t o d a p r z e z p o d s t a w i e n i e j e s t m e t o d b a r d z o d o k Ba d n , p o n i e w a | p r a k t y c z n i e e l i m i n u j e
b Bd y w p r o w a d z a n e p r z e z u k Ba d p o r w n a n i a . P o w i e l o k r o t n y m p o w t r z e n i u p o m i a r u i o b l i -
c z e n i u w a r t o [c i [r e d n i e j ( z m i n i m a l i z o w a n i u b Bd w p r z y p a d k o w y c h ) b Bd w y n i k u p o m i a r u
j e s t p r a k t y c z n i e r w n y b Bd o w i d o p u s z c z a l n e m u d l a w z o r c a .
4 ) M e t o d y z e r o w e
M e t o d y p o m i a r o w e z e r o w e s n a j d o k Ba d n i e j s z y m i m e t o d a m i p o r w n a n i a b e z p o [r e d n i e g o .
P o r w n a n i e w a r t o [c i m i e r z o n e j z w a r t o [c i w z o r c o w ( l u b z z e s p o Be m w a r t o [c i w z o r c o -
w y c h ) o d b y w a s i w n i c h z a p o m o c u k Ba d u p o m i a r o w e g o , w k t r y m p r z e z z m i a n p a r a m e -
t r w e l e m e n t w s k Ba d o w y c h d o p r o w a d z a s i d o z a n i k u ( d o z e r a ) n a p i c i a l u b p r d u w k o n -
t r o l o w a n e j g a Bz i u k Ba d u . C z y n n o [ d o p r o w a d z a n i a d o z a n i k u t e g o n a p i c i a l u b p r d u n a z y -
w a s i r w n o w a |e n i e m u k Ba d u , a w s k a zn i k s Bu |c y d o z a o b s e r w o w a n i a t e g o s t a n u ( n p . g a l -
w a n o m e t r ) n a z y w a s i w s k a zn i k i e m r w n o w a g i . D o k Ba d n o [ z e r o w y c h m e t o d p o m i a r u j e s t
b a r d z o d u |a , z a l e |y o d d o k Ba d n o [c i w y k o n a n i a z a s t o s o w a n y c h w u k Ba d z i e w z o r c w o r a z o d
c z u Bo [c i w s k a zn i k a r w n o w a g i . Z a s t o s o w a n i e b a r d z o d o k Ba d n y c h w z o r c w o r a z z a s t o s o w a -
n i e w s k a zn i k a r w n o w a g i o w y s o k i e j c z u Bo [c i o g r a n i c z a b Bd y s y s t e m a t y c z n e m e t o d y d o
w a r t o [c i p o m i j a l n y c h w o b e c b Bd w p r z y p a d k o w y c h . P o d c z a s p o m i a r w d o k Ba d n y c h w y k o -
n u j e s i z w y k l e s e r i p o m i a r w i s t a t y s t y c z n o b r b k w y n i k u p o m i a r u .
R o z r |n i a s i z e r o w e m e t o d y m o s t k o w e o r a z z e r o w e m e t o d y k o m p e n s a c y j n e
M e t o d y m o s t k o w e s t o s u j e s i n a j c z [c i e j d o d o k Ba d n y c h p o m i a r w t a k i c h p a r a m e t r w j a k
r e z y s t a n c j a , p o j e m n o [ i i n d u k c y j n o [. W z r w n o w a |o n y m u k Ba d z i e p r z e z o b i e k t b a d a n y
p By n i e p r d s t a By l u b p r z e m i e n n y .
M e t o d y k o m p e n s a c y j n e s Bu | z w y k l e d o p o m i a r u n a p i c i a l u b d o p o [r e d n i e g o p o m i a r u i n -
n y c h w i e l k o [c i p r z e t w o r z o n y c h u p r z e d n i o n a n a p i c i e . W m e t o d z i e k o m p e n s a c y j n e j n i e z n a -
n w a r t o [ n a p i c i a m i e r z o n e g o U p o r w n u j e s i z n a s t a w i a n d o k Ba d n i e z n a n w a r t o [c i
w z o r c o w U W , w y t w o r z o n z a p o m o c k o m p e n s a t o r a . U k Ba d p o m i a r o w y d o p r o w a d z a s i d o
r w n o w a g i p r z e z z m i a n w a r t o [c i U W , a w c h w i l i r w n o w a g i z a c h o d z i r w n o [:
U = U W .
S z c z e g l n i e w a |n z a l e t m e t o d k o m p e n s a c y j n y c h j e s t t o , |e w c h w i l i z r w n o w a |e n i a u k Ba -
d u p r z e z o b i e k t b a d a n y n i e p By n i e p r d , n i e m a z a t e m b Bd u s y s t e m a t y c z n e g o m e t o d y , w y n i -
k a j c e g o z e s p a d k u n a p i c i a n a r e z y s t a n c j i w e w n t r z n e j o b i e k t u b a d a n e g o .
Z a u w a |m y , |e t r z y o s t a t n i e m e t o d y s m e t o d a m i p o r w n a w c z y m i , k t r e s a m e r e p r e z e n t u j
g r u p m e t o d s t o j c w o p o z y c j i d o m e t o d b e z p o [r e d n i c h . W y k o n u j c z a d a n e w i c z e n i e l a b o -
r a t o r y j n e p r o s z z a s t a n o w i s i d o k t r e j z o m w i o n y c h k a t e g o r i i n a l e |y z a s t o s o w a n a t a m
m e t o d a p o m i a r o w a .
2 . E l e m e n t y t e o r i i b Bd w p o m i a r w
2 . 1 . R o d z a j e b Bd w
K a |d e d o [w i a d c z e n i e f i z y c z n e w y m a g a p r z e p r o w a d z e n i a o s z a c o w a n i a b Bd u , k t r y m j e s t
o b a r c z o n y w y n i k t z n . p o d a n i a z j a k d o k Ba d n o [c i d a n a w i e l k o [ z o s t a Ba w y z n a c z o n a . B -
d z i e t o o b o w i z y w a Bo n a s w l a b o r a t o r i u m . W p o s t p o w a n i u t y m m o |n a w y r |n i t r z y e t a p y :
1 ) w y z n a c z e n i e s z u k a n e j w i e l k o [c i f i z y c z n e j ,
2 ) o k r e [l e n i e b Bd u p o m i a r u ,
3 ) p o d a n i e p r z y p u s z c z a l n y c h p r z y c z y n b Bd w .
O g l n i e r o z r |n i a m y :
- b Bd y g r u b e w y n i k Be z n i e u w a g i i z p o m y Be k e k s p e r y m e n t a t o r a ( n p . p r z y o d c z y c i e l u b w
z a p i s i e w y n i k u ) . C z s t o s j e d n o r a z o w e i b a r d z o d u |e .
- b Bd y s y s t e m a t y c z n e w y n i k Be z e z Be g o ( m a Bo d o k Ba d n e g o ) u s t a w i e n i a s a m e g o e k s p e r y -
m e n t u ( n i e u w z g l d n i e n i e p e w n y c h p o p r a w e k n p . s i By w y p o r u p o w i e t r z a p r z y d o k Ba d -
n y m w a |e n i u ) , w a d u r z d z e D p o m i a r o w y c h ( p r z y k Ba d e m m o |e b y w a g a d zw i g n i o w a z
p r z e s u n i t y m p u n k t e m z a w i e s z e n i a , c z a s o m i e r z w s k a z w k o w y z e [r o d k i e m s k a l i n i e
p o k r y w a j c y m s i z o s i w s k a z w e k c z y zl e w y s k a l o w a n e p r z y r z d y ) , z e s t a n u z e -
w n t r z n y c h w a r u n k w p o m i a r u ( n p . z b y t w y s o k a t e m p e r a t u r a w p o m i e s z c z e n i u ) j a k i z
b Bd u e k s p e r y m e n t a t o r a ( n p . z n a n y b Bd p a r a l a k s y ) .
B Bd s y s t e m a t y c z n y c h a r a k t e r y z u j e s i s t a B l u b z m i e n i a j c s i w e d Bu g o k r e [l o n e g o
p r a w a o d c h y Bk w a r t o [c i w y z n a c z a n e j w d o [w i a d c z e n i u w p o r w n a n i u z w i e l k o [c i
r z e c z y w i s t . P r z y c z y n y b Bd w s y s t e m a t y c z n y c h m o g b y p o z n a n e i u s u n i t e .
- b Bd y p r z y p a d k o w e w y n i k Be z n i e d o k Ba d n o [c i o d c z y t u , f l u k t u a c j i w a r u n k w p o m i a r u , z
n i e o k r e [l e n i a s a m e j m i e r z o n e j w i e l k o [c i f i z y c z n e j i t p . B Bd y t e o d z n a c z a j s i t y m , |e
w s e r i i p o m i a r w j e d n e g o i t e g o s a m e g o s t a n u d a n e j w i e l k o [c i f i z y c z n e j w y k o n y w a n e j
w o k r e [l o n y c h w a r u n k a c h , w y n i k i z m i e n i a j s i w s p o s b l o s o w y ( p r z y p a d k o w y ) . N i e
m o |n a i c h u n i k n ( u s u n ) , g d y | n i e z n a m y i c h p r z y c z y n .
W n i o s e k : N i e m o |n a w y k o n a b e z b Bd n e g o w y z n a c z e n i a w i e l k o [c i f i z y c z n e j t z w . p o m i a r u
a b s o l u t n i e d o k Ba d n e g o .
R o z r |n i a m y n a s t p u j c e r o d z a j e b Bd w p o m i a r o w y c h z e w z g l d u n a zr d Ba i c h p o w s t a n i a :
a ) b Bd y p o w o d o w a n e p r z e z p r z y r z d y p o m i a r o w e , n p . s k o Dc z o n a r e z y s t a n c j a w e -
w n t r z n a w o l t o m i e r z y , n i e l i n i o w o [ w s k a z a D p r z y r z d w p o m i a r o w y c h l u b n i e d o -
s k o n a Bo [ i c h w z o r c o w a n i a ,
b ) b Bd y p o w o d o w a n e p r z e z m e t o d y p o m i a r o w e ,
c ) b Bd y p o w o d o w a n e p r z e z m i e r z c e g o , n p . b r a k d o [w i a d c z e n i a , z m c z e n i e , s k Bo n n o -
[c i , n a w y k i ,
d ) b Bd y p o w o d o w a n e p r z e z o b l i c z e n i a t o b Bd y p r z y n i e w Ba [c i w y m z a o k r g l e n i u , n i e -
w Ba [c i w e m e t o d y w y r w n y w a n i a b Bd w ,
e ) b Bd y p o w o d o w a n e p r z e z w p By w o t o c z e n i a n a m i e r z c e g o , n a p r z y r z d y i n a m i e -
r z o n w i e l k o [. C z y n n i k a m i w y w o Bu j c y m i t e b Bd y t o t e m p e r a t u r a c i [n i e n i e , w i l -
g o t n o [ p o w i e t r z a , z a k B c e n i a e l e k t r o m a g n e t y c z n e .
W l a b o r a t o r i u m z a k Ba d a m y , |e n i e w y s t p u j b Bd y s y s t e m a t y c z n e . R a c h u n e k b Bd w b -
d z i e s i s p r o w a d z a B d o o k r e [l e n i a b Bd w p r z y p a d k o w y c h .
Z n a n e s p o j c i a :
a ) b Bd u b e z w z g l d n e g o d e f i n i o w a n e g o j a k o r |n i c a w y n i k u X i w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j X R
.
"X = X - X R
b ) b Bd u w z g l d n e g o d e f i n i o w a n e g o j a k o s t o s u n k u b Bd u b e z w z g l d n e g o d o w a r t o [c i r z e -
c z y w i s t e j .
"X X
X = = - 1 . ( W - 2 . 1 )
X R X R
N i e m n i e j p o j c i e w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j j e s t t u c z y s t o t e o r e t y c z n e , g d y | p r a k t y c z n i e n i e z n a -
m y j e j . P o w y |s z e p o j c i a s w i c d l a n a s b e z u |y t e c z n e .
W o p a r c i u o s t a t y s t y c z n t e o r i b Bd w p r z y p a d k o w y c h m o |n a j e d n a k o s z a c o w a p r z y b l i |o -
n e w a r t o [c i t y c h b Bd w , a t y m s a m y m d o k Ba d n o [ o t r z y m a n y c h w y n i k w p o m i a r o w y c h . T e
p r z y b l i |o n e w a r t o [c i b Bd w n o s z n a z w w s k a zn i k w d o k Ba d n o [c i p o m i a r w .
2 . 2 . B Bd y p r z y p a d k o w e w p o m i a r a c h b e z p o [r e d n i c h
2 . 2 . 1 P r o b a b i l i s t y c z n a t e o r i a b Bd w G a u s s a
Z j e d n e g o p o m i a r u n i e m o |e m y w n i o s k o w a o j e g o d o k Ba d n o [c i . D o t e g o k o n i e c z n a j e s t i c h
s e r i a . O t r z y m u j e m y j p r z e z k i l k u k r o t n e , n i e z a l e |n e p o w t r z e n i e r o z p a t r y w a n e g o p o m i a r u .
W y n i k i w s e r i i b d r |n i s i l o s o w o . O z n a c z m y j e X 1 , X 2 , X 3 , . . . . . . . X N g d z i e N j e s t i l o [c i
p o w t r z e D p o m i a r u w s e r i i i p o w i n n a w y n o s i p r z y n a j m n i e j 1 0 . W a r t o [c i r z e c z y w i s t e j n i e
z n a m y . A l e z s e r i i p o m i a r w w a r t o [c i n a j b a r d z i e j z b l i |o n d o w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j j e s t
[r e d n i a a r y t m e t y c z n a :
N
1
X = ( W - 2 . 2 )
"X i
N
i = 1
J e s t t o p o d s t a w o w e t w i e r d z e n i e t e o r i i b Bd w t z w . p i e r w s z y p o s t u l a t G a u s s a . W y n i k a o n o z
f a k t u r w n o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w t a k z a w y |e n i a w i e l k o [c i m i e r z o n e j j a k i j e j z a n i |e n i a .
T y m s a m y m b Bd y p o w i n n y k o m p e n s o w a s i . J e d n a k p r z y s k o Dc z o n e j i l o [c i p o m i a r w , m o -
|e s i z d a r z y , |e w y n i k i n i e r o z Bo | s i r w n o m i e r n i e w o k B w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j . T y m
s a m y m w a r t o [ [r e d n i a X j e s t j e d y n i e b l i s k o p o Bo |o n a w i e l k o [c i r z e c z y w i s t e j X R , a l e n i e
r w n a j e j . Z b l i |e n i e t o j e s t t y m l e p s z e i m d Bu |s z a j e s t s e r i a p o m i a r o w a . R w n o [ X = X R
m o g l i b y [m y n a p i s a t y l k o d l a s e r i i n i e s k o Dc z e n i e d Bu g i e j p o m i a r w , a l e p r z e c i e | w y k o n a n i e
t a k i e j s e r i i j e s t p r a k t y c z n i e n i e m o |l i w e .
W y n i k i p o m i a r w w s e r i i r o z k Ba d a j s i w o k B w a r t o [c i [r e d n i e j w t z w . k r z y w G a u s s a -
m w i s i o r o z k Ba d z i e G a u s s a ( p a t r z w i c z e n i e n r 1 ) . A b y s i o t y m p r z e k o n a n a l e |y z a k r e s
p o m i a r o w y p o d z i e l i n a p r z e d z i a By o r w n e j s z e r o k o [c i "X i o b l i c z y i l e p o m i a r w z s e r i i
z m i e [c i Bo s i w k a |d y m z n i c h ( r y s . 1 ) . O c z y w i [c i e z w i k s z a j c N m o |e m y p o z w o l i s o b i e
n a z m n i e j s z e n i e s z e r o k o [c i p o s z c z e g l n y c h s c h o d k w r o z k Ba d u , a l e n a d a l z a c h o w a o n c h a -
r a k t e r d y s k r e t n y . O b w i e d n i a d z w o n o w a p o p r o w a d z o n a p o [r o d k a c h s c h o d k w j a k n a r y s . 1
j e s t p e w n y m w y i d e a l i z o w a n i e m - p o k a z u j e j a k r o z k Ba d n o r m a l n y w y g l d a Bb y g d y b y b y B
f u n k c j c i g B ( d l a N = " ) . T a k a p o s t a Ba t w i e j p o d d a j e s i a n a l i z i e m a t e m a t y c z n e j i d l a t e g o
c z s t o j e s t s t o s o w a n a , a l e n i g d y n i e n a l e |y z a p o m i n a , |e r e a l n y r o z k Ba d n o r m a l n y m a s t r u k -
t u r z i a r n i s t .
C i g By r o z k Ba d G a u s s a j e s t n a s t p u j c f u n k c j m a t e m a t y c z n :
( X - X ) 2
-
1
2 2
P ( X ) = e ( W - 2 . 3 )
2
p r z y c z y m p a r a m e t r z w a n y o d c h y l e n i e m s t a n d a r d o w y m o k r e [l a r o z m y c i e r o z k Ba d u w o k B
w a r t o [c i [r e d n i e j .
K s z t a Bt k r z y w e j G a u s s a , z w a n e j r w n i e | k r z y w d z w o n o w , b a r d z o s i l n i e z a l e |y o d
o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o . N a r y s . 2 p o k a z a n o p r z e b i e g i k r z y w e j G a u s s a d l a k i l k u r |-
n y c h w a r t o [c i o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o . I m w i k s z e j e s t o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e , t y m b a r -
d z i e j p Ba s k a j e s t k r z y w a ; d l a b a r d z o m a By c h o d c h y l e D s t a n d a r d o w y c h k r z y w a j e s t b a r d z o
s t r o m a i o d c h y l e n i a o d w a r t o [c i o c z e k i w a n e j s b a r d z o m a Be . Z a u w a |m y , |e n a k r z y w e j
G a u s s a m o |n a w y r |n i o b s z a r y o p r z e c i w n i e s k i e r o w a n e j k r z y w i zn i e . W o k o l i c y m a k s i -
m u m k r z y w a j e s t w y p u k Ba , a d a l e k o p o z a m a k s i m u m s t a j e s i k r z y w w k l s B. O c z y w i [c i e
o b s z a r y t a k i e s o d d z i e l o n e p u n k t a m i p r z e g i c i a . O d p o w i a d a j o n e p u n k t o m X - i X +
n a o s i o d c i t y c h .
n
i
1 2 3 5 6 7 8 9 1 1 1 2 1 3 X
"X
X - X X +
R y s . 1 . R o z k Ba d p o m i a r w w s e r i i w o k B w a r t o [c i [r e d n i e j X j e s t r o z k Ba d e m G a u s s a .
f ( X )
= 0 , 3
= 0 , 6
= 1 , 4
- 2 - 1 0 1 2 X
R y s . 2 . P r z e b i e g k r z y w e j c i g Be g o r o z k Ba d u n o r m a l n e g o w z a l e |n o [c i o d o d c h y l e n i a
s t a n d a r d o w e g o . I m w i k s z e j e s t o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e , t y m s z e r s z a j e s t k r z y w a i
b a r d z i e j s p Ba s z c z o n a .
P o n i e w a | r o z k Ba d G a u s s a o p i s u j e z j a w i s k o p r o b a b i l i s t y c z n e , a w i c m o |n a o k r e [l i j e d y n i e
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e d o w o l n y w y n i k p o m i a r u X i ( i = 1 , 2 , 3 . . . . N ) z n a j d z i e s i w a k t u a l n i e
i n t e r e s u j c y m n a s p r z e d z i a l e w a r t o [c i < X a , X b > . I t a k n p . :
W p r z e d z i a l e X - , X + m i e [c i s i 6 8 , 2 6 % w y n i k w z s e r i i .
W p r z e d z i a l e X - 2 , X + 2 m i e [c i s i 9 5 , 4 5 % w y n i k w z s e r i i .
W p r z e d z i a l e X - 3 , X + 3 m i e [c i s i 9 9 , 7 3 % w y n i k w z s e r i i .
C z s t o o p e r u j e s i p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m , z j a k i m w z a d a n y m p r z e d z i a l e z n a j d z i e s i d o -
w o l n y p o m i a r z s e r i i . P r a w d o p o d o b i e Ds t w o t o n a z y w a s i p o z i o m e m u f n o [c i , a p r z e d z i a B
p r z e d z i a Be m u f n o [c i .
O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e w t e o r i i b Bd w n a z y w a s i [r e d n i m b Bd e m k w a d r a t o w y m i o b l i c z a
s i g o z w y r a |e n i a :
N
- X ) 2
"( X i
i = 1
= . ( W - 2 . 4 )
( N - 1 )
W y s t p u j c y w t y m w y r a |e n i u c z y n n i k N 1 m o |n a u z a s a d n i w t e n s p o s b , |e p o n i e w a |
c z [ i n f o r m a c j i z a w a r t e j w s e r i i j e X 1 , X 2 , X 3 , . . . . . . . X N z o s t a Ba w y k o r z y s t a n a d o o k r e [l e n i a
w a r t o [c i [r e d n i e j X , u [r e d n i a n i e z w i z a n e z o d c h y l e n i e m s t a n d a r d o w y m n a s t p u j e z
m n i e j s z l i c z b p u n k t w s w o b o d y i s t d p o d z i e l e n i e p r z e z N 1 z a m i a s t p r z e z N .
N a j c z [c i e j w y z n a c z a n y j e s t j e d n a k j a k o o p t y m a l n y [r e d n i b Bd k w a d r a t o w y ( w z r W - 2 . 4 ) ,
a z n i e g o [r e d n i b Bd k w a d r a t o w y w a r t o [c i [r e d n i e j :
= ( W - 2 . 5 )
X
N
Ac z c w z o r y ( W . 2 . 4 ) i ( W . 2 . 5 ) o t r z y m u j e m y u |y t e c z n e w y r a |e n i e :
N
( X i - X ) 2
"
i = 1
= ( W - 2 . 6 )
X
N ( N - 1 )
B Bd [r e d n i k w a d r a t o w y j e s t n a j w a |n i e j s z y m i n a j c z [c i e j s t o s o w a n y m w s k a zn i k i e m
d o k Ba d n o [c i p o m i a r u . D z i e j e s i t a k d l a t e g o , |e j e s t t o b Bd p o l i c z o n y o p t y m a l n i e - n a j l e p i e j z
d a n e j s e r i i p o m i a r o w e j .
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o , |e d a n y p o m i a r z s e r i i p o m i a r o w e j z n a j d z i e s i w p r z e d z i a l e
X - , X + w y n o s i 0 , 6 8 3 . W i n t e r p r e t a c j i g r a f i c z n e j p r a w d o p o d o b i e Ds t w u t e m u
o d p o w i a d a p o l e p o d k r z y w G a u s s a o d c i t e t y m p r z e d z i a Be m p r z y z a Bo |e n i u , |e p o l e p o d
c a B k r z y w r w n a s i j e d e n ( r y s . 3 a b ) . W e k s p e r y m e n c i e o c z y w i [c i e c h c i e l i b y [m y , |e b y
b Bd w y n i k u ( p r z e d z i a B u f n o [c i ) b y B j a k n a j m n i e j s z y p r z y m o |l i w i e d u |y m w y |e j o p i s a n y m
p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e ( p o z i o m i e u f n o [c i ) .
A n a l i z u j c k s z t a Bt k r z y w e j d z w o n o w e j d o c h o d z i m y d o w n i o s k u , |e o p t y m a l n o [ p r z e d z i a Bu
X - , X + w y n i k a z f a k t u , |e j e s t o n w y z n a c z o n y p r z e z p u n k t y p r z e g i c i a k r z y w e j .
G d y b y [m y c h c i e l i s z t u c z n i e z m n i e j s z y t e n p r z e d z i a B u f n o [c i d o X - d , X + d ( r y s . 3 c ) ,
t o z n a c z n i e s t r a c i m y n a p o z i o m i e u f n o [c i ( o p o l e p o d k r z y w G a u s s a o d c i t e p r z e d z i a Ba m i
X - , X - d , X + d , X + , k t r e j e s t d u |e , b o n a t y c h o d c i n k a c h k r z y w a d z w o n o w a j e s t
w y p u k Ba ) . G d y b y [m y z k o l e i c h c i e l i s z t u c z n i e p o d n i e [ p o z i o m u f n o [c i ( r y s . 3 d ) , t o j e s t t o
m o |l i w e t y l k o p r z e z z n a c z n e p o s z e r z e n i e t e g o p r z e d z i a Bu u f n o [c i d o X - c , X + c , g d y |
p o l a p o d k r z y w w p r z e d z i a Ba c h o d d a l o n y c h o d [r e d n i e j X d a l e j n i | o w n o s z j u | m a By
w k Ba d d o p o z i o m u u f n o [c i ( k r z y w a j e s t t u w k l s Ba ) .
c a By z a k r e s X
a )
p = 1
X
b )
( X - , X + )
p = 0 , 6 8 3
X - X X +
c )
( X - 0 , 6 7 4 , X + 0 , 6 7 4 )
p = 0 , 5
X - d X X + d
d )
( X - 1 , 6 5 , X + 1 , 6 5 )
p = 0 , 9
X - c X X + c
R y s . 3 . I n t e r p r e t a c j a g r a f i c z n a p r z e d z i a B w u f n o [c i i p o z i o m w u f n o [c i p . o r a z
w s p Bz a l e |n o [ m i d z y n i m i .
2 . 2 . 2 . B Bd y p r z y p a d k o w e w p o m i a r a c h p o [r e d n i c h
Z a B |m y , |e c h c e m y w y z n a c z y p e w n w i e l k o [ f i z y c z n A , a l e n i e m o |e m y j e j z m i e r z y
b e z p o [r e d n i o . W i e m y n a t o m i a s t , |e j e s t o n a z w i z a n a z K i n n y m i w i e l k o [c i a m i f i z y c z n y m i
X 1 , X 2 , . . . X K , k t r e m o |n a j u | z m i e r z y b e z p o [r e d n i o , n a s t p u j c z a l e |n o [c i :
A = f ( X 1 , X 2 , . . . . , X K ) ( W - 2 . 7 )
P o w y k o n a n i u p o m i a r w w y n i k i i b Bd y p o m i a r o w e w i e l k o [c i X 1 , X 2 , . . . X K s z n a n e i
w y n o s z o d p o w i e d n i o :
X 1 "X 1
X 2 "X 2
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . ( W - 2 . 8 )
X K "X K
W y n i k o w w a r t o [ w i e l k o [c i A Ba t w o j e s t z n a l e z z z a l e |n o [c i ( W - 2 . 7 ) :
A = f ( X 1 , X 2 , . . . . , X K ) . ( W - 2 . 9 )
P o d s t a w o w e p y t a n i e b r z m i j a k i m b Bd e m "A o b a r c z o n y j e s t w t e n s p o s b o t r z y m a n y
w y n i k .
M o |n a z a p r o p o n o w a n a s t p u j c e m e t o d y p o s t p o w a n i a :
1 . J e |e l i "X i ( i = 1 , 2 , . . . , K ) s [r e d n i m i b Bd a m i k w a d r a t o w y m i w a r t o [c i
X i
[r e d n i c h X i , t o o t r z y m u j e m y o p t y m a l n i e z n a l e z i o n y [r e d n i b Bd k w a d r a t o w y z w y r a |e n i a :
2 2 2
"A "A "A
= ( W - 2 . 1 0 )
X 1
A i
+ "X + . . . . + "X .
2 K
"X 1 2 X K X
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o z n a l e z i e n i a s i r z e c z y w i s t e j w a r t o [c i w i e l k o [c i f i z y c z n e j A R w
p r z e d z i a l e A - , A + w y n o s i 0 , 6 8 3 .
A A
2 . J e |e l i b Bd y "X i s b Bd a m i g r a n i c z n y m i ( m a k s y m a l n y m i ) "X , t o w n a j m n i e j
i m a x
k o r z y s t n y m p r z y p a d k u o t r z y m u j e m y b Bd m a k s y m a l n y p o m i a r u :
"A "A "A
"A = "X 1 m a x + "X 2 m a x + . . . + "X K m a x . ( W - 2 . 1 1 )
g r
"X 1 "X 2 "X K
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o z n a l e z i e n i a w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j A R w p r z e d z i a l e
A - "A g r , A + "A w y n o s i 0 , 9 9 9 .
g r
3 . J e |e l i b Bd y "X i s b Bd a m i g r a n i c z n y m i ( m a k s y m a l n y m i ) "X t o w
i m a x
n a j b a r d z i e j p r a w d o p o d o b n y m p r z y p a d k u ( o p t y m i s t y c z n i e j s z y m w p o r w n a n i u z
p r z y p a d k i e m p o p r z e d n i m ) o t r z y m a m y n i e c o m n i e j s z e p r a w d o p o d o b i e Ds t w o ( w p r z y b l i |e n i u
0 , 9 5 ) z n a l e z i e n i a w a r t o [c i r z e c z y w i s t e j A R , a l e i w m n i e j s z y m p r z e d z i a l e u f n o [c i :
2 2 2
"A "A "A
S A = "X 1 m a x + "X 2 m a x + . . . . + "X K m a x ( W - 2 . 1 2 )
"X 1 "X 2 "X K
J e s t t o t z w . m e t o d a r |n i c z k i z u p e Bn e j s t o s o w a n a c z s t o , g d y b Bd y "X s b Bd a m i
i m a x
s z a c o w a n y m i p r z y p o m i a r a c h j e d n o r a z o w y c h , n p . n a p o d s t a w i e d o k Ba d n o [c i s k a l i p r z y r z d u
p o m i a r o w e g o , a z a l e |y n a m n a z m i n i m a l i z o w a n i u b Bd u n a w y n i k u k o Dc o w y m .
P r a w i d Bo w o p r z e p r o w a d z o n y r a c h u n e k b Bd w , a u t o m a t y c z n i e o d p o w i a d a n a p y t a n i a :
- k t r e w i e l k o [c i f i z y c z n e ( p o [r d X i ) n a l e |y z m i e r z y z w i k s z d o k Ba d n o [c i ,
j e [l i c h c e s i u z y s k a m n i e j s z y b Bd n a w i e l k o [c i w y n i k o w e j A ;
- k t r y z b Bd w "X i w n o s i n a j w i k s z y w k Ba d d o b Bd u "A .
O t r z y m a n e w n i o s k i s w i c w a |n e i p o u c z a j c e , p o z w a l a j c e n a e f e k t y w n i e j s z e e w e n t u a l n e
p o w t r z e n i e d o [w i a d c z e n i a .
P r z y k B a d :
W a h a d Bo m a t e m a t y c z n e o d Bu g o [c i l = 1 0 0 1 c m p o s i a d a o k r e s w a h a D T = 2 , 0 0 0 , 0 2 s .
W y z n a c z o n e b Bd y s [r e d n i m i b Bd a m i k w a d r a t o w y m i . N a l e |y o b l i c z y p r z y s p i e s z e n i e
z i e m s k i e . P o n i e w a |
l
T = 2
g
t o
2 2
4 l 4 1 m
g = = = 9 8 7 m / s 2 .
,
T 2 ( 2 s ) 2
Z g o d n i e z w z o r e m ( W - 2 . 1 0 ) [r e d n i b Bd k w a d r a t o w y p r z y s p i e s z e n i a z i e m s k i e g o w y n o s i :
2 2
2 2
4 4 l
= +
- ,
g l T
T 2 T 3
2 2
2 2
4 4 1 m
= 0 0 1 m + 0 0 2 s ,
, ,
-
g
2
( 2 s ) 3
( 2 s )
2 2
= 0 , 1 m / s 2 + 0 2 m / s 2 = 0 0 1 + 0 0 4 m / s 2 ,
, , ,
g [ ] [ ]
= 0 , 2 2 4 m / s 2 .
g
W i d z i m y , |e b Bd w y n i k a j c y z d o k Ba d n o [c i p o m i a r u c z a s u j e s t d e c y d u j c y o d o k Ba d n o [c i
w y z n a c z e n i a p r z y s p i e s z e n i a . P o z a o k r g l e n i u b Bd u d o d w c h c y f r z n a c z c y c h k o Dc o w y
w y n i k m a p o s t a
g = 9 , 8 7 0 , 2 3 m / s 2
l u b p o z a o k r g l e n i u d o j e d n e g o m i e j s c a z n a c z c e g o
g = 9 , 9 0 , 3 m / s 2 .
U w a g a : w a r t o [ b Bd u z a o k r g l a m y z a w s z e w g r .
W w i e l u w y p a d k a c h m a m y d o c z y n i e n i a z z a l e |n o [c i t y p u
a b
X 1 X 2
A = . ( W - 2 . 1 3 )
X c X d
3 4
J e [l i c h c e m y t e r a z p o l i c z y b Bd g r a n i c z n y "A g r , w w c z a s z a m i a s t k o r z y s t a z p r o c e d u r y
( W - 2 . 1 1 ) Ba t w i e j j e s t n a j p i e r w o b l i c z y b Bd g r a n i c z n y w z g l d n y w z o r e m :
"X 1 "X 2 "X 3 "X 4
"A
= a + b + c + d ( W - 2 . 1 4 )
A
g r X 1 X 2 X 3 X 4
a p o t e m d o p i e r o b Bd g r a n i c z n y b e z w z g l d n y :
"A
"A g r = A .
A
g r
3 . M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w
S z e r o k o s t o s o w a n w f i z y c e m e t o d a n a l i z y w y n i k w p o m i a r w j e s t m e t o d a n a j m n i e j s z y c h
k w a d r a t w . O m w i m y t u t a j t z w . r e g r e s j l i n i o w , t z n . m e t o d r o z w i z a n i a p r o b l e m u , k t r y
j e s t p o s t a w i o n y n a s t p u j c o .
Z a B |m y , |e z d o [w i a d c z e n i a u z y s k a l i [m y n p a r w y n i k w x i , y i . Z t e o r i i w i e m y |e w i e l k o [c i
x i y s l i n i o w o z e s o b z w i z a n e . D |y m y d o t e g o , a b y w y k o r z y s t u j c t e p u n k t y p o m i a r o w e
p o p r o w a d z i p r o s t n a j l e p i e j o d d a j c c h a r a k t e r z a l e |n o [c i . G d y d w i e w i e l k o [c i x i y s
z a l e |n e o d s i e b i e l i n i o w o , w w c z a s s p e Bn i a j z a l e |n o [:
y = a x + b .
J e |e l i t z a l e |n o [ p r z e d s t a w i m y g r a f i c z n i e , t o o t r z y m a m y l i n i p r o s t o n a c h y l e n i u a ,
p r z e c i n a j c o [ r z d n y c h y w p u n k c i e b . Z a B |m y , |e n a s k u t e k j a k i e g o [ p r o c e s u u l e g a
z m i a n i e x o r a z y . W y k o n u j e m y n p o m i a r w u z y s k u j c n p a r w y n i k w ( x i , y i ) . J e |e l i m i d z y
p u n k t a m i p o m i a r o w y m i p o p r o w a d z i m y l i n i p r o s t o p i s a n z a l e |n o [c i :
y i / = a x i + b
( W - 3 . 1 )
g d z i e a o r a z b t o p a r a m e t r y u z y s k a n e j p r o s t e j .
O b l i c z o n a w t e n s p o s b w a r t o [ y i / n i e j e s t r w n a w a r t o [c i y i . T a r o z b i e |n o [ w y n i k a z
b Bd w p o m i a r o w y c h i m o |n a o k r e [l i z a l e |n o [c i :
y i / - y i = a x i + b - y i
. ( W - 3 . 2 )
M e t o d a n a j m n i e j s z y c h k w a d r a t w p o l e g a n a d o b r a n i u t a k i c h w a r t o [c i a i b , |e b y s u m a
k w a d r a t w o d c h y l e D : y i / - y i p o w s z y s t k i c h p o m i a r a c h p o s i a d a Ba w a r t o [ m i n i m a l n . S t d
n a z w a m e t o d y . Z a t e m :
n
/
. ( W - 3 . 3 )
"( y - y i ) 2 = m i n i m u m
i
i = 1
P o d s t a w i e n i e ( W - 3 . 2 ) d o ( W - 3 . 3 ) d a j e :
n
.
"( a x i + b - y i ) 2 = m i n i m u m
i = 1
P o s z u k u j e m y t a k i c h w a r t o [c i a , b , k t r e s p e Bn i By b y p o w y |s z y w a r u n e k . , a b d z i e s p e Bn i o n y
w t e d y , g d y p o c h o d n e c z s t k o w e r w n a n i a :
n
f =
"( a x i + b - y i ) 2
i = 1
w z g l d e m a i b i b d r w n o c z e [n i e r w n e z e r u . Z a t e m u z y s k u j e s i u k Ba d r w n a D:
n
,
"2 x i ( a x i + b - y i ) = 0
i = 1
n
,
"2 ( a x i + b - y i ) = 0
i = 1
c z y l i
n n n
2
2 a + 2 b - 2 y i = 0
,
"x i "x i "x i
i = 1 i = 1 i = 1
n n
2 a + 2 n b - 2 = 0
"x "y .
i i
i = 1 i = 1
Z p o m i a r w z n a m y w a r t o [c i x i , y i , z a t e m i c h s u m y s Ba t w e d o o b l i c z e n i a . J e s t t o u k Ba d
d w c h r w n a D z k t r y c h w y z n a c z a m y a o r a z b :
n n n
y i - n y i )
"x i " "( x i
i = 1 i = 1 i = 1
a =
2
n n , ( W - 3 . 4 )
2
- n
"x "x
i i
i = 1 i = 1
n n n n
y i i 2
"x "x y i - " "x
i i
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
b =
2 . ( W - 3 . 5 )
n n
2
- n
"x "x
i i
i = 1 i = 1
M o |n a w y k a z a , |e o d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e w a r t o [c i [r e d n i c h a o r a z b w y r a |a j s i
w z o r a m i :
n
1 n
2
a =
"
i
2
, ( W - 3 . 6 )
n n
n - 2
i = 1
2
n -
"x i "x i
i = 1 i = 1
n
2
"x
i
n
1
2
i = 1
b =
"i
2
, ( W - 3 . 7 )
n n
n - 2
i = 1
2
n -
"x "x
i i
i = 1 i = 1
g d z i e :
n n n n
2
y i 2 - a y i .
" = " "x y i - b "
i i ( W - 3 . 8 )
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
O p i s a n t u m e t o d o b l i c z a n i a n a c h y l e n i a a i r z d n e j b p r z e c i c i a p r o s t e j z o s i y o r a z
b
a
o d c h y l e D s t a n d a r d o w y c h o r a z n a z y w a m y m e t o d r e g r e s j i l i n i o w e j .
P r o s t o n a c h y l e n i u a p r z e c i n a j c o [ y w p u n k c i e b o p i s a n a j e s t r w n a n i e m :
y = a x + b
( W - 3 . 9 )
i n a z y w a b d z i e m y j l i n i t e o r e t y c z n , k t r a j e s t r e z u l t a t e m n a j l e p s z e g o u [r e d n i e n i a
w y n i k w . J e s t w i c n a j l e p i e j p o p r o w a d z o n p r o s t p o p u n k t a c h e k s p e r y m e n t a l n y c h t z n . j e s t
n a j b a r d z i e j p r a w d o p o d o b n p r o s t w [r d m o |l i w y c h d o w y z n a c z e n i a z d a n y c h
d o [w i a d c z a l n y c h . I s t o t n e j e s t , |e p a r a m e t r w a i b n i e m u s i m y w y z n a c z a z w y k r e s u z
c z y m z w y k l e s z w i z a n e d u |e b Bd y , l e c z o b l i c z a m y j e w p r o s t z r e z u l t a t w p o m i a r w .
W y k o n u j c w y k r e s m o |e m y n a j p i e r w n a n i e [ l i n i t e o r e t y c z n , a d o p i e r o p zn i e j s a m e
p u n k t y p o m i a r o w e ( r y s . 4 ) . Aa t w o z a u w a |y , |e o t r z y m a n y w y n i k m a t w Ba [c i w o [, |e
s u m a o d c h y Be k "y i = y i / - y i p u n k t w e k s p e r y m e n t a l n y c h o d p r o s t e j j e s t r w n a z e r u t z n .
n
( y i / - y i ) = 0
.
"
i = 1
M o |n a p o w i e d z i e , |e p r o s t a p r z e c h o d z i d o k Ba d n i e p o m i d z y p u n k t a m i e k s p e r y m e n t a l n y m i .
P r z y s t o s o w a n i u t e j m e t o d y n a l e |y u p e w n i s i ( n p . n a p o d s t a w i e t e o r i i b a d a n e g o z j a w i s k a ) ,
c z y w a r t o [c i x , y s z a l e |n e l i n i o w o . J e |e l i t a k n i e j e s t , t o o p i s a n a m e t o d a n i e m o |e b y
s t o s o w a n a .
M e t o d r e g r e s j i l i n i o w e j m o |e m y s t o s o w a t a k |e d o z a l e |n o [c i d a j c y c h s i s p r o w a d z i z a
p o m o c o d p o w i e d n i c h p r z e k s z t a Bc e D m a t e m a t y c z n y c h d o z a l e |n o [c i l i n i o w y c h . N a p r z y k Ba d
w r u c h u j e d n o s t a j n i e p r z y s p i e s z o n y m d r o g a i c z a s s p e Bn i a j z w i z e k : s = 0 . 5 a t 2 , w k t r y m
l i n i o w o s z a l e |n e w i e l k o [c i : s o r a z t 2 . Z a t e m m o |n a z a s t o s o w a p r z e d s t a w i o n m e t o d
p r z e z p o d s t a w i e n i e : y = s z a [ x = t 2 .
R y s . 4 . W y n i k r e g r e s j i l i n i o w e j p r z e p r o w a d z o n e j n a w y n i k a c h p o d a n y c h w p r z y k Ba d z i e
P r z y k B a d :
D o k o n a n o p o m i a r u z a l e |n o [c i w y d Bu |e n i a x s p r |y n y o d o b c i |a j c e j j m a s y m . T e d w i e
w i e l k o [c i w i |e z a l e |n o [:
m g = k x ,
z a k Ba d a j c y = m o t r z y m u j e m y :
k
y = x .
g
k
J e s t t o r w n a n i e p r o s t e j o n a c h y l e n i u a = , d l a k t r e j b = 0 .
g
( x i , y i )
O t r z y m a n e p u n k t y e k s p e r y m e n t a l n e b a d a n e j z a l e |n o [c i o r a z o b l i c z e n i a
p o m o c n i c z e s z e s t a w i o n e w T a b e l i W 3 . 1
T a b e l a W 3 . 1
N r p u n k t u
x i y i x i y i
x i 2 y i 2
1 0 0 0 0 0
2 2 , 9 0 , 2 0 , 5 8 8 , 4 1 0 , 0 4
3 6 , 0 0 , 4 2 , 4 0 3 6 , 0 0 0 , 1 6
4 9 , 0 0 , 6 5 , 4 0 8 1 , 0 0 0 , 3 6
5 1 1 , 8 0 0 , 8 9 , 4 4 1 3 9 , 2 4 0 , 6 4
6 1 4 , 8 0 1 , 0 1 4 , 8 0 2 1 9 , 0 4 0 1 , 0 0
7 1 7 , 8 0 1 , 2 2 1 , 3 6 3 1 6 , 8 4 0 1 , 4 4
8 2 0 , 7 0 1 , 4 2 8 , 9 8 4 2 8 , 5 0 1 , 9 6
9 2 4 , 0 0 1 , 6 3 8 , 4 0 5 7 6 , 0 0 2 , 5 6
1 0 2 6 , 0 0 1 , 8 4 6 , 8 0 6 7 6 3 , 2 4
1 0
"=
1 3 3 9 , 0 1 6 8 , 1 6 2 4 8 1 1 1 , 4 0
i = 1
Z a s t o s o w a n i e t a b e l k i u Ba t w i a p r z e p r o w a d z e n i e o b l i c z e D. W y k o n a n o 1 0 p o m i a r w ( n = 1 0 ) .
W o s t a t n i m w i e r s z u w y p i s a n e s o b l i c z o n e p o t r z e b n e s u m y t z n . :
n
n n
n n
2
y i 2 = 1 1 , 4
x i = 1 3 3 y i = 9 = 2 4 8 1
x i y i = 1 6 8 , 1 6
"
" " " "x i
i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = 1
W s t a w i a j c j e d o w z o r w ( W - 3 . 4 ) i ( W - 3 . 5 ) o t r z y m u j e m y :
a = 0 , 0 6 8 0 k g / c m b = - 0 , 0 0 5 k g
N a s t p n i e z e w z o r u ( W - 3 . 8 ) :
1 0
2 2
= 0 , 0 1 1 k g
"i
i = 1
a b y m c z a s t o s o w a w z o r y ( W - 3 . 6 ) , ( W - 3 . 7 ) :
C o d a j e w k o n k l u z j i :
= 0 , 0 0 1 4 k g / c m = 0 , 0 2 2 k g
a
b
K o Dc o w y e f e k t o b l i c z e D m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i w y k r e s u z a z n a c z a j c n a n i m p u n k t y
e k s p e r y m e n t a l n e o r a z p r o s t ( W - 3 . 9 ) ( p a t r z r y s . 4 ) .
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