ELEMENTY TEORII BA

DÓW
1
Informacje ogólne
Każdy pomiar wielkości fizycznej dokonywany jest ze
skończoną dokładnością co oznacza że wynik każdego
pomiaru dokonywany jest z niepewnością pomiarową
zwaną błędem pomiaru. Zasady obliczania jak również
ocena błędów zawarte są w teorii błędów zwanej
rachunkiem błędów.
Wykonanie bezbłędnego pomiaru jest niemożliwe dlatego
rzeczywistej wielkości pomiarowej nie poznamy nigdy.
Wartość pomierzoną możemy zapisać: X = Xnp + mx
np  najbardziej prawdopodobny
2
Rodzaje błędów
Błędy pomiarowe dzielą się na trzy zasadnicze grupy:
" błędy grube (omyłki),
" błędy systematyczne,
" błędy przypadkowe.
Rachunek wyrównawczy zajmuje się jedynie błędami
przypadkowymi.
Błędy grube i systematyczne należy wyeliminować
przed wyrównaniem wyników pomiarów.
3
Błędy grube i systematyczne
Błędy grube to poważne odchylenia wyników
pomiarów od wartości rzeczywistej mierzonej
wielkości, powstają na skutek nieuwagi, pośpiechu.
Wykrywa się je i eliminuje z pomiarów przez
kilkakrotne obserwacje tej samej wielkości.
Błędy systematyczne mają te same znaki, a
czasami nawet te same wartości. Zdarza się, że
wzrastajÄ… one proporcjonalnie do mierzonej
wielkości. y
ródłem tych błędów jest najczęściej
niedoskonałość narzędzi pomiarowych.
4
Błędy przypadkowe
Błędy przypadkowe obarczają wszystkie pomiary.
Najczęściej spowodowane są one niedoskonałością
wzroku obserwatora. Mają one niewielkie wartości,
są nieuchwytne i mają różne znaki. Przyczyny ich
powstania sÄ… przypadkowe i zmienne, zatem ich
wartości i znaków nie można przewidzieć. Nie da
się ich wyeliminować zupełnie, można jednak
osłabić ich wpływ przez wykonanie pomiarów
nadliczbowych i wyrównanie wyników pomiarów.
5
Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo
dokładne
Wartość najbardziej prawdopodobna  średnia
arytmetyczna
l1 +ð l2 +ð ... +ð ln
[l]
x =ð =ð
n n
l1, l2, ...  spostrzeżenia
n  ilość spostrzeżeń
Błąd prawdziwy  różnica między wartością
prawdziwą X a i-tą wartością obserwowaną li
eði =ð X -ð li
6
Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo
dokładne
Błąd pozorny  różnica między średnią
arytmetyczną x a i-tą wartością obserwowaną li.
vi =ð x -ð li
Własność pierwsza:
[v] =ð n x -ð[l] =ð [l]  [l] =ð 0
Własność druga:
[vv] =ð min.
Na drugiej własności opiera się stosowana w
rachunku wyrównawczym  metoda najmniejszych
kwadratów opracowana przez Gaussa.
7
Spostrzeżenia bezpośrednie jednakowo
dokładne
Błąd średni pojedynczego spostrzeżenia:
" wyrażony przez błędy prawdziwe
[eðeð ]
m =ð
n
" wyrażony przez błędy pozorne
[vv]
m =ð
n -1
Błąd średni średniej arytmetycznej (wartości
wyrównanej):
m [vv]
M =ð =ð
n(ðn -1)ð
n
8
Krzywa błędów Gaussa
y
50 %
punkt przegięcia
krzywej
68,3 %
99,7 %
- g - m - r r m g
eð
Prawdopodobieństwa popełnienia błędu prawdziwego
pomiaru w granicach błędów:
" granicznego (g=3m) P(ð- g <ð eð <ð g)ð =ð 0,997
P(ð- m <ð eð <ð m)ð =ð 0,683
" średniego
P(ð- r <ð eð <ð r)ð =ð 0,5
" prawdopodobnego
9
Błąd względny
Definicja podaje, że jest to ułamek wyrażający
stosunek absolutnej wartości błędu popełnionego
przy pomiarze danej wielkości do wartości tej
wielkości.
Dla ułatwienia użycia błędu względnego, do licznika
wprowadza się jedność:
Dðd 1
=ð
d C
10
Błąd średni pomiaru
Z doświadczenia wiadomo, że wynik pomiaru pewnej wielkości,
np. odległości x za pomocą dalmierza DISTO, przyjmuje wartość z przedziału
a < x < b,
którego wielkość zależy od dokładności użytego przyrządu pomiarowego m
Ex - wartość oczekiwana wyniku pomiaru
v = x  Ex - błąd pomiaru
a
DISTO b
x x - wynik pomiaru
x x x 3
2 4 1
m =ð Ev2 - bÅ‚Ä…d Å›redni pomiaru
Odchylenie wyniku pomiaru x od wartości oczekiwanej v = x - Ex
nazywane błędem pomiaru, ma charakter przypadkowy, zmienia się
w czasie wykonywania pomiarów zarówno co do wielkości jak i znaku.
11
Błąd średni pomiaru
Przy założeniu średniej arytmetycznej jako wartości oczekiwanej wyniku pomiaru:
n
Liczba pomiarów n = 4
x1 = 4,006m
xi
åð
x2 = 4,002m
x3 = 4,008m
i =ð 1
xsr :ð=ð
x4 = 4,004m
n
xsr = 4,005m
Błędy poszczególnych pomiarów wynoszą:
v1 = 0,001
v2 = -0,003
v :ð=ð x -ð xsr
v3 = 0,003
v4 = -0,001
Odchylenie standardowe, nazywane błędem średnim pomiaru
n
2
(ðv )ð
åð
i
m0 = 0,0026
i =ð 1
m0 :ð=ð
n -ð 1
12
Błąd średni pomiaru
m0 =ð 0.0026
Jeżeli to wartość średnia i jej błąd: mśr2 = m02/n
m0
msr :ð=ð
mśr = 0,0013
n
Pomiary, których odchyłki v przekraczają co do bezwzględnej wartości
2- lub 3-krotnie ich błąd średni:
2 2
mv :ð=ð m0 -ð msr
mv = 0,0023
sÄ… uznawane za odstajÄ…ce.
W podanym przykładzie brak pomiarów odstających, wszystkie pomiary
2mv = 0,0046
spełniają kryterium |v| d"
W przypadku wystąpienia pomiarów odstających parametry rozrzutu xsr, m0 są obliczane
iteracyjnie, odrzucając na każdym kroku pomiary odstające. W każdym kroku iteracji może się
zmieniać zestaw usuwanych pomiarów odstających, pomiar raz usunięty może wrócić do zbioru, na
podstawie którego oblicza się parametry rozrzutu. Postępowanie iteracyjne kontynuuje się do momentu,
gdy parametry rozrzutu otrzymywane w kolejnych iteracjach przestaną się różnić znacząco, co oznacza,
że zbiory w kolejnych iteracjach zawierają te same, lub prawie te same pomiary
13