Lista 3  rozwiÄ…zania
(środki ciężkości, tarcie)
Zad. 1.
Podział elementu można wykonać wg trzech wariantów. Jako jednostkę można wybrać
dowolną jednostkę długości. Przyjęto milimetr.
Wariant A
Element można podzielić na 5 prostokÄ…tów o wymiarach 10 × 15.
Elementy numerujemy od lewej. Wszystkie pola są równe i wynoszą:
A1 = A2 = A3 = A4 = A5 = 10 Å"15 = 150 mm2
x1 = 5 mm y1 = 7,5 mm
x2 = 5 mm y2 = 22,5 mm
x3 = 15 mm y3 = 22,5 mm
x4 = 25 mm y4 = 22,5 mm
x5 = 25 mm y5 = 7,5 mm
Ai Å" xi A1 Å" x1 + A2 Å" x2 + A3 Å" x3 + A4 Å" x4 + A5 Å" x5
"
xs = = = 15,0 cm
Ai A1 + A2 + A3 + A4 + A5
"
Ai Å" yi A1 Å" y1 + A2 Å" y2 + A3 Å" y3 + A4 Å" y4 + A5 Å" y5
"
ys = = = 16,5 cm
Ai A1 + A2 + A3 + A4 + A5
"
Wariant B
Element dzielimy na 2 prostokÄ…ty o wymiarach 10 × 30 i 1 prostokÄ…t o wymiarach 10 × 15.
Elementy numerujemy od lewej. Pola wynoszÄ… odpowiednio:
A1 = A3 = 10 Å" 30 = 300 mm2
A2 = 10 Å"15 = 150 mm2
x1 = 5 mm y1 = 15 mm
x2 = 15 mm y2 = 22,5 mm
x3 = 25 mm y3 = 15 mm
Ai Å" xi A1 Å" x1 + A2 Å" x2 + A3 Å" x3
"
xs = = = 15,0 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Ai Å" yi A1 Å" y1 + A2 Å" y2 + A3 Å" y3
"
ys = = = 16,5 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Wariant C
Element dzielimy na kwadrat o wymiarach 30 × 30 i prostokÄ…t o wymiarach 10 × 15.
Pola wynoszÄ… odpowiednio:
A1 = 30 Å" 30 = 900 mm2
A2 = 10 Å"15 = 150 mm2
x1 = 15 mm y1 = 15 mm
x2 = 15 mm y2 = 7,5 mm
1/6
Ai Å" xi A1 Å" x1 - A2 Å" x2
"
xs = = = 15,0 cm
Ai A1 - A2
"
Ai Å" yi A1 Å" y1 - A2 Å" y2
"
ys = = = 16,5 cm
Ai A1 - A2
"
Zad. 2.
Podział elementu można wykonać wg dwóch wariantów.
Wariant A
Element można podzielić na 3 prostokÄ…ty o wymiarach (c+a) × a.
Elementy numerujemy od lewej. Pola wynoszÄ… odpowiednio:
A1 = A3 = (c + a) Å" a
A2 = b Å" a
Początek układu współrzędnych przyjmujemy w lewy dolnym rogu (prostokąta,
obejmującego cały element). Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu przekątnych,
zatem
1 1
x1 = (c + a); y1 = a + b + a
2 2
1 1
x2 = c + a ; y2 = a + b
2 2
1 1
x3 = c + (a + c); y3 = a
2 2
Współrzędne środka ciężkości
Ai Å" xi A1 Å" x1 + A2 Å" x2 + A3 Å" x3
"
xs = = = 5 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Ai Å" yi A1 Å" y1 + A2 Å" y2 + A3 Å" y3
"
ys = = = 5 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Środek ciężkości wypada w środku symetrii tego elementu.
Wariant B
Element można podzielić na 3 prostokÄ…ty, 2 z nich o wymiarach c × a i 1 o wymiarach
a × (a+b+a).
Elementy numerujemy od lewej. Pola wynoszÄ… odpowiednio:
A1 = A3 = c Å" a
A2 = a Å" (2a + b)
Początek układu współrzędnych przyjmujemy w lewy dolnym rogu (prostokąta,
obejmującego cały element). Środek ciężkości prostokąta leży na przecięciu przekątnych,
zatem
1 1
x1 = a ; y1 = a + b + a
2 2
1 1
x2 = c + a ; y2 = (2a + b)
2 2
1 1
x3 = c + a + c ; y3 = a
2 2
Współrzędne środka ciężkości
Ai Å" xi A1 Å" x1 + A2 Å" x2 + A3 Å" x3
"
xs = = = 5 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Ai Å" yi A1 Å" y1 + A2 Å" y2 + A3 Å" y3
"
ys = = = 5 cm
Ai A1 + A2 + A3
"
Środek ciężkości wypada w środku symetrii tego elementu.
2/6
Zad. 3.
Osie wózka będą równomiernie obciążone, gdy siła pochodząca od masy przedmiotów będzie
działać w połowie rozstawu osi, czyli składowa x środka ciężkości będzie wypadać w połowie
1
wózka xs = c .
2
Å" xi m1 Å" x1 + m2 Å" x2
"mi
1 1
xs = = , jednocześnie x1 = a i x2 = a + x + b .
2 2
m1 + m2
"mi
Po podstawieniach
1 1
m1 Å" a + m2 Å"(a + x + b)
1 2 2
c =
2
m1 + m2
i przekształceniach
m1 + m2 1 m1 + m2 1
2
1
x = c - a - b = 120 mm
2
m2 m2 2
Zad. 4.
Teoretyczny środek ciężkości pustej palety znajduje się w punkcie:
1
xs = m = 600 mm
2
1
ys = n = 400 mm
2
Margines błędu położenia środka ciężkości wypełnionej palety wynosi zatem:
xs = 540 mm,660 mm
ys = 360 mm,440 mm
a) Przykładowe rozwiązanie to:
dla którego położenie środka ciężkości
xs = 620 mm
ys = 425 mm
b) Przykładowe rozwiązanie to:
dla którego położenie środka ciężkości
xs = 615 mm
ys = 380 mm
3/6
Zad. 5.
Początek układu współrzędnych przyjmujemy w lewy dolnym narożniku naczepy (platformy)
samochodu. Środek ciężkości każdego z pojemników leży na przecięciu przekątnych
prostokÄ…ta, zatem
x1 = 0,550 m y1 = 0,250 m
x2 = 0,700 m y2 = 0,900 m
x3 = 1,300 m y3 = 0,450 m
Współrzędne środka ciężkości
Å" xi m1 Å" x1 + m2 Å" x2 + m3 Å" x3
"mi
xs = = = 0,850 m
m1 + m2 + m3
"mi
Å" yi m1 Å" y1 + m2 Å" y2 + m3 Å" y3
"mi
ys = = = 0,635 m
m1 + m2 + m3
"mi
Zad. 6.
Początek układu współrzędnych przyjmujemy w lewy dolnym narożniku stołu, przy czym
istotna jest tylko składowa pozioma x. Środek ciężkości każdego z pojemników, jak i stołu,
leży na przecięciu przekątnych odpowiedniego prostokąta, zatem
x0 = 250 mm
x1 = 25 mm
x2 = 75 mm
x3 = 150 mm
x4 = 250 mm
a) Współrzędna pozioma środka ciężkości bez uwzględniania stołu wynosi
Å" xi m1 Å" x1 + m2 Å" x2 + m3 Å" x3
"mi
xs = = = 112,5 mm
m1 + m2 + m3
"mi
Punkt podparcia wypada w środku lewej nogi ( xp = 120 mm ), czyli środek ciężkości leży
poza obrysem podparcia, dlatego stół się przewróci.
b) Współrzędna pozioma środka ciężkości z uwzględnieniem stołu wynosi
Å" xi m0 Å" x0 + m1 Å" x1 + m2 Å" x2 + m3 Å" x3
"mi
xs = = = 122,7 mm
m0 + m1 + m2 + m3
"mi
Punkt podparcia wypada w środku lewej nogi ( xp = 120 mm ), czyli środek ciężkości leży
między podporami i stół się nie przewróci.
Zad. 7.
Siła tarcia T działa przeciwnie do ruchu, zatem
Składowe x: - T + Fx = 0
Składowe y: Fy + N - mg = 0
SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µN , skÅ‚adowe Fx = F cosÄ… i Fy = F sinÄ… .
Po podstawieniu i przekształceniach
µ
F = mg = 214 N
cosÄ… + µ sinÄ…
4/6
Zad. 8.
Na ciało działa skierowana pionowo w dół siła grawitacji G, którą można rozłożyć na
składową styczną Gt i normalną Gn. Siła tarcia T działa w dół równi, ponieważ przeciwstawia
się ruchowi ciała.
Składowe x (t  styczne, wzdłuż równi): - T - Gt + F = 0
Składowe y (n  normalne, prostopadle do równi): - Gn + N = 0
SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µN , skÅ‚adowe Gn = mg cosÄ… i Gt = mg sinÄ… .
Po podstawieniu i przekształceniach
F = mg(µ cosÄ… + sinÄ…) = 660 N
Zad. 9.
Na ciało działają siły czynne: pozioma Fw oraz F. Siła tarcia T działa przeciwnie do zwrotu
prędkości, ponieważ przeciwstawia się ruchowi ciała. Warunki równowagi utworzą układ
równań
Å„Å‚ X =Fw - T - Fx = 0
ôÅ‚
"
òÅ‚
ôÅ‚
"Y = N - Fy - mg = 0
ół
SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µN , skÅ‚adowe Fx = F cosÄ… i Fy = F sinÄ… .
Po podstawieniu i przekształceniach
Fw F
m = - (µ sinÄ… + cosÄ…) = 297 kg
µg µg
Zad. 10.
Na ciało działa skierowana pionowo w dół siła grawitacji G, którą można rozłożyć na
składową styczną Gt i normalną Gn. Dodatkowo na ciało działa pozioma siła F, którą można
rozłożyć na składową normalną Fn = m2 g siną i styczną Ft = m2 g cosą . Siła tarcia T działa
w dół równi, ponieważ przeciwstawia się ruchowi ciała.
Składowe x (t  styczne, wzdłuż równi): - T - Gt + Ft = 0
Składowe y (n  normalne, prostopadle do równi): - Gn - Fn + N = 0
SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µN , skÅ‚adowe Gn = m1g cosÄ… i Gt = m1g sinÄ… .
Po podstawieniu i przekształceniach
µ cosÄ… + sinÄ…
m2 = m1 = 398 kg
cosÄ… - µ sinÄ…
Zad. 11.
Siła tarcia T działa stycznie do tarczy hamulca, wywołując moment przeciwny do ruchu
wskazówek zegara.
1 1 1
Równowaga momentów: T Å" dH + T Å" dH - mg Å" dB = 0
2 2 2
SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µF .
Po podstawieniu i przekształceniach
1 dB
1
F = mg Å" = 2040 N
2
µ dH
5/6
Zad. 12.
Na transportowane przedmiot działa skierowana pionowo w dół siła grawitacji G, którą
można rozłożyć na składową styczną Gt i normalną Gn. Siła tarcia T będzie zapobiegać
zsuwaniu się przedmiotu w dół taśmy, zatem T - Gt = 0 i N - Gn = 0
uwzglÄ™dniajÄ…c, że T = µN , Gn = mg cosÄ… i Gt = mg sinÄ… , otrzymuje siÄ™
sinÄ…
µ = = tanÄ… = 0,268
cosÄ…
Zad. 13.
Wartość siły Fd dociskającej klocki hamulca do koła można wyznaczyć z sumy momentów
dla dz
wigni: F Å"(ld - lk )- Fd Å" lk = 0 . SiÅ‚a tarcia wynosi: T = µFd , a odpowiadajÄ…cy jej
1
moment tarcia: M = 2 Å"T Å" dh .
h 2
Po podstawieniu:
ld - lk
M = µF dh = 156 Nm
h
lk
Zad. 14.
Przy zaciągniętych hamulcach koła ślizgają się po podłożu, dlatego występuje tarcie ślizgowe.
Siła Fs potrzebna do pokonania siły tarcia wynosi
Fs = µmg = 2940 N .
W przypadku zwolnionego hamulca, koła samochodu toczą się po podłożu, dlatego
Ft = ftmg = 98,1 N .
Siła tarcia ślizgowego jest większa
Fs
È = = 30
Ft
Data: 23.04.2010
6/6