POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW I MECHANIKI BUDOWLI ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. PRZYKŁADY OBLICZEŃ NIEPEWNOŚCI POMIARÓW POŚREDNICH
W skrypcie Z.Kowalewskiego "Ćwiczenia laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów"
f
∂ ( x, y)
f
∂ ( x, y
różniczkę funkcji f(x,y) oznacza się jako f
∆
)
( x, y) =
x
∆ +
y
∆ .
x
∂
y
∂
Ze względu na fakt, że zwykle przyrosty wielkości oznaczamy jako ∆, w niniejszym opracowaniu przyjęto oznaczenie różniczki symbolem δ. Niepewnością pomiaru bezpośredniego jest dokładność urządzenia pomiarowego. Poniżej podano przykłady obliczeń różniczek będących niepewnościami pomiarów pośrednich.
2
π d
1. S
o
=
o - pole powierzchni koła o średnicy do : So 4
S
∂ o
1
S
δ =
δ = π 3 δ
o
do
do do ,
gdzie: do - pomiar bezpośredni średnicy.
d
∂ o
2
P
2. R
e
e - granica plastyczności : e
R =
So
R
∂
R
∂
1
P
e
e
e
δ =
δ +
δ =
δ + −
e
R
δ
e
P
So
e
P
So ,
gdzie: P
2
∂
∂
e - pomiar bezpośredni siły.
e
P
So
So
So
L
∆
3 . A
=
p - wydłużenie względne : Ap o
L
L
∆ = L − o
L ,
gdzie: L, Lo - pomiary bezpośrednie długości, L
∆
∂
L
δ
∆
∂
L
∆ =
L
δ +
δ = +1δ + −1δ = δ + δ
o
L
L
o
L
L
o
L ,
L
∂
∂ o
L
A
∂
∂
p
Ap
1
L
∆
A
δ
=
δ∆ +
δ =
δ∆ + −
δ
p
L
o
L
L
o
L .
L
2
∆
∂
∂ o
L
o
L
o
L
2
2
d − d
4 . A
o
r
=
r - wydłużenie równomierne : r
A
2
d r
2
A
∂
∂
p
Ap
2 do
2 do dr
A
δ =
d
δ +
d
δ =
d
δ + −
d
δ
, gdzie:
r
o
r
o
r
dr , do - pomiary bezpośrednie d
2
4
∂
∂
o
dr
dr
do
średnic.
S − S
5 . Z - przewężenie :
o
u
Z =
So
Z
∂
Z
∂
S
u
Z
δ
1
=
S
δ +
δ =
δ + −
δ
o
Su
So
Su , gdzie: δS o , δS u - wg wzorów p.1.
S
2
∂
∂
o
Su
So
So
opracowanie: Sz.I.
POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA LABORATORIUM Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW I MECHANIKI BUDOWLI ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Fl 3
6 . E - moduł Younga wyznaczony w statycznej próbie zginania: E =
48 fJ
3
bh
l, f, F - pomiary bezpośrednie długości, strzałki ugięcia i siły, J =
- moment bezwł. przekroju,
12
J
∂
J
∂
h 3
b
3 h 2
J
δ =
b
δ +
h
δ =
b
δ + −
h
δ ,
gdzie: b,h - pomiary bezpośrednie przekroju, b
∂
h
∂
12
12
E
∂
E
∂
E
∂
E
∂
l 3
2 Fl 2
− Fl 3
− Fl 3
E
δ =
F
δ +
l
δ +
f
δ +
J
δ =
F
δ +
l
δ +
f
δ +
J
δ .
F
∂
l
∂
f
∂
J
∂
48 fJ
48 fJ
48 f 2 J
48 fJ 2
σ
∆
7 . E - moduł Younga wyznaczony w statycznej próbie rozciągania: E =
ε
∆
P
∆
∆σ =
,
P
∆ =
−
1
P
2
P , gdzie: P1, P2 - pomiary bezpośrednie siły oraz So - wg wzoru p.1, So
P
∆
∂
P
∆
∂
δ P
∆ =
δ +
δ = + δ + − δ = δ + δ
1
P
2
P
1
1
P
1
2
P
1
P
2
P ,
∂
∂
1
P
2
P
σ
∆
∂
σ
∆
∂
1
− P
δ σ
∆ =
δ
∆
P
∆ +
S
δ =
δ∆ +
δ
o
P
So .
P
∆
∂
S
2
∂ o
So
So
l
∆
H
∆
2 L
∆ε =
,
l
∆ =
, i =
,
H
∆ = H −
1
H 2 , gdzie: i - przełożenie ekstensometru oraz l
i
h
L, h, l, H1, H2 - pomiary bezpośrednie i odczyty ekstensometru, H
∆
∂
H
∆
∂
δ H
∆ =
H
δ
+
δ
= + δ
+ − δ
= δ
+ δ
1
H 2
1 H 1
1 H 2
H 1
H 2 ,
H
∂
∂
1
H 2
i
∂
i
∂
2
2 L
i
δ =
L
δ +
h
δ =
L
δ + −
h
δ ,,
L
∂
h
∂
h
h 2
l
∆
∂
l
∆
∂
1
− H
∆
δ l
∆ =
δ H
∆ +
i
δ = δ H
∆ +
i
δ ,
H
∆
∂
i
∂
i
i 2
ε
∆
∂
ε
∆
∂
1
− l
δ ε
∆ =
δ
∆
l
∆ +
l
δ = δ l
∆ +
l
δ .
l
∆
∂
l
∂
l
l 2
Ostatecznie:
δ
∂
= E
E
δ σ
∂
∆ + E δ ε
∆ = 1
ε
−
∆ +
1 δ σ
∆
σ
.
∆
∂
ε
∆
∂
ε
∆
σ
∆ 2
opracowanie: Sz.I.