Zadania na ¢wiczenia, zestaw nr 1.

1. Ile jest liczb trzycyfrowych w systemie dziesi¦tnym?

2. Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych, w których zapisie nie wyst¦puje cyfra

zero? Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych? Ile istnieje liczb naturalnych

pi¦ciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest pi¦¢?

3. Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach?

Ile jest liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach takich,

w których zapisie nie wyst¦puje cyfra zero? Ile istnieje liczb naturalnych pi¦cio-

cyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach takich, w których cyfra setek jest 5?

4. Rodzina sze±cioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia si¦ w szeregu do zdj¦cia.

Ile ró»nych fotograi mo»na otrzyma¢, je±li: a) ka»dy mo»e sta¢ obok ka»dego b)

rodzice stoj¡ na dwóch ko«cach szeregu.

5. W grupie licz¡cej 6 chªopców i 4 dziewcz¦ta rozlosowano 5 biletów do teatru. Na ile

sposobów mo»na rozlosowa¢ bilety? Na ile sposobów mo»na je rozlosowa¢ tak, aby

co najmniej dwa przypadªy dziewcz¦tom?

6. Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rz¦dzie dziesi¦ciu zdaj¡cych, w

tym dwóch z jednej szkoªy. Na ile sposobów mo»na rozsadzi¢ zdaj¡cych tak, aby: a)

znajomi z jednej szkoªy nie siedzieli obok siebie, b) siedzieli na przeciwnych ko«cach

rz¦du, c) mi¦dzy nimi siedziaªy dokªadnie trzy inne osoby?

7. Pi¦ciu studentów zdaje egzamin. Wiadomo, »e »aden student nie otrzyma oceny

ndst. Iloma sposobami mo»na wystawi¢ im oceny (dst, db, bdb)?

8. Ile liczb trzycyfrowych zawiera 2 lub 3?

9. Ile liczb caªkowitych ze zbioru {1, 2, 3, ..., 1000} dzieli si¦ przez siedem lub przez

trzyna±cie?

10. Ile liczb caªkowitych ze zbioru {1, 2, 3, ..., 2000} jest podzielnych przez 9, 11, 13 lub 15?

11. Wypisz wszystkie funkcje f : X → Y, gdzie:

(a) X = {1, 2, 3}, Y = {a, b};

(b) X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}.

Czy mo»na policzy¢ ile jest tych funkcji bez wypisywania ich? Zrobi¢ to samo z

dodatkowym warunkiem, »e funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe.

12. Niech S = {a, b, c, d} i T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ile jest funkcji z S w T ? Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z S w T ? Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z T w S? Wypisz

niektóre funkcje.

13. Ile jest funkcji f ze zbioru {1, . . . , n} w zbiór {a, b, c}? Ile spo±ród nich speªnia warunek f(1) = a? Ile speªnia warunek f(1) 6= f(2)?

14. Oblicz π1 ◦ π2, π2 ◦ π1, π−1, π−1, je»eli π

1

2

1 = (25431), π2 = (15432).

15. Wypisz wszystkie czteroelementowe permutacje speªniaj¡ce warunek π(2) = 3.

16. Ile jest sze±cioelementowych permutacji speªniaj¡cych warunek: a) π(2) = 3; b)

π(2) = 3 i π(3) = 2.

17. W poczekalni do lekarza w rz¦dzie zªo»onym z n krzeseª siedzi k pacjentów (od lewej

do prawej) w ten sposób, »e »adni z nich nie znajduj¡ si¦ na s¡siednich krzesªach.

Na ile ró»nych sposobów mo»na wybra¢ odpowiednich k krzeseª?

18. W kolejce do kina stoi n osób (kolejno±¢ si¦ nie zmienia). Osoby te wpuszczane s¡

do kina w k grupach, z których ka»da skªada si¦ z jednej lub wi¦cej osób. Na ile

sposobów mo»na utworzy¢ tych k grup?

19. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie xi jest nieujemn¡

liczb¡ caªkowit¡?

20. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie xi jest dodatni¡

liczb¡ caªkowit¡?

21. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie x1 ≥ 1, x2 ≥

2, x3 ≥ 4, x4 ≥ −5, x5 ≥ −1, x6 ≥ 0?

22. Pokaza¢, »e:

(a)

n

=

n

;

k

n − k

(b)

n + 1

= n

n

+

;

k

k

k − 1

(c)

n

(1 + t)n = Pn

tk;

k=0

k

(d)

n

(a + b)n = Pn

an−kbk;

k=0

k

(e)

n

n − 1

k

=n

.

k

k − 1

2

2

2

23. Pokaza¢ ró»nymi sposobami, »e n

n

n

2n

+

+ . . . +

=

.

0

1

n

n

2