Zadania na ¢wiczenia, zestaw nr 1.
1. Ile jest liczb trzycyfrowych w systemie dziesi¦tnym?
2. Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych, w których zapisie nie wyst¦puje cyfra
zero? Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych? Ile istnieje liczb naturalnych
pi¦ciocyfrowych takich, w których cyfra setek jest pi¦¢?
3. Ile istnieje liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach?
Ile jest liczb naturalnych pi¦ciocyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach takich,
w których zapisie nie wyst¦puje cyfra zero? Ile istnieje liczb naturalnych pi¦cio-
cyfrowych o nie powtarzaj¡cych si¦ cyfrach takich, w których cyfra setek jest 5?
4. Rodzina sze±cioosobowa (rodzice i czworo dzieci) ustawia si¦ w szeregu do zdj¦cia.
Ile ró»nych fotograi mo»na otrzyma¢, je±li: a) ka»dy mo»e sta¢ obok ka»dego b)
rodzice stoj¡ na dwóch ko«cach szeregu.
5. W grupie licz¡cej 6 chªopców i 4 dziewcz¦ta rozlosowano 5 biletów do teatru. Na ile
sposobów mo»na rozlosowa¢ bilety? Na ile sposobów mo»na je rozlosowa¢ tak, aby
co najmniej dwa przypadªy dziewcz¦tom?
6. Na egzaminie posadzono w sposób losowy w jednym rz¦dzie dziesi¦ciu zdaj¡cych, w
tym dwóch z jednej szkoªy. Na ile sposobów mo»na rozsadzi¢ zdaj¡cych tak, aby: a)
znajomi z jednej szkoªy nie siedzieli obok siebie, b) siedzieli na przeciwnych ko«cach
rz¦du, c) mi¦dzy nimi siedziaªy dokªadnie trzy inne osoby?
7. Pi¦ciu studentów zdaje egzamin. Wiadomo, »e »aden student nie otrzyma oceny
ndst. Iloma sposobami mo»na wystawi¢ im oceny (dst, db, bdb)?
8. Ile liczb trzycyfrowych zawiera 2 lub 3?
9. Ile liczb caªkowitych ze zbioru {1, 2, 3, ..., 1000} dzieli si¦ przez siedem lub przez
trzyna±cie?
10. Ile liczb caªkowitych ze zbioru {1, 2, 3, ..., 2000} jest podzielnych przez 9, 11, 13 lub 15?
11. Wypisz wszystkie funkcje f : X → Y, gdzie:
(a) X = {1, 2, 3}, Y = {a, b};
(b) X = {a, b}, Y = {1, 2, 3}.
Czy mo»na policzy¢ ile jest tych funkcji bez wypisywania ich? Zrobi¢ to samo z
dodatkowym warunkiem, »e funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe.
12. Niech S = {a, b, c, d} i T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ile jest funkcji z S w T ? Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z S w T ? Ile jest funkcji ró»nowarto±ciowych z T w S? Wypisz
niektóre funkcje.
13. Ile jest funkcji f ze zbioru {1, . . . , n} w zbiór {a, b, c}? Ile spo±ród nich speªnia warunek f(1) = a? Ile speªnia warunek f(1) 6= f(2)?
14. Oblicz π1 ◦ π2, π2 ◦ π1, π−1, π−1, je»eli π
1
2
1 = (25431), π2 = (15432).
15. Wypisz wszystkie czteroelementowe permutacje speªniaj¡ce warunek π(2) = 3.
16. Ile jest sze±cioelementowych permutacji speªniaj¡cych warunek: a) π(2) = 3; b)
π(2) = 3 i π(3) = 2.
17. W poczekalni do lekarza w rz¦dzie zªo»onym z n krzeseª siedzi k pacjentów (od lewej
do prawej) w ten sposób, »e »adni z nich nie znajduj¡ si¦ na s¡siednich krzesªach.
Na ile ró»nych sposobów mo»na wybra¢ odpowiednich k krzeseª?
18. W kolejce do kina stoi n osób (kolejno±¢ si¦ nie zmienia). Osoby te wpuszczane s¡
do kina w k grupach, z których ka»da skªada si¦ z jednej lub wi¦cej osób. Na ile
sposobów mo»na utworzy¢ tych k grup?
19. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie xi jest nieujemn¡
liczb¡ caªkowit¡?
20. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie xi jest dodatni¡
liczb¡ caªkowit¡?
21. Ile jest rozwi¡za« równania x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9, gdzie x1 ≥ 1, x2 ≥
2, x3 ≥ 4, x4 ≥ −5, x5 ≥ −1, x6 ≥ 0?
22. Pokaza¢, »e:
(a)
n
=
n
;
k
n − k
(b)
n + 1
= n
n
+
;
k
k
k − 1
(c)
n
(1 + t)n = Pn
tk;
k=0
k
(d)
n
(a + b)n = Pn
an−kbk;
k=0
k
(e)
n
n − 1
k
=n
.
k
k − 1
2
2
2
23. Pokaza¢ ró»nymi sposobami, »e n
n
n
2n
+
+ . . . +
=
.
0
1
n
n
2