RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

DEF 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci F(x , y , y’ )=0,

gdzie y’ oznacza pochodną funkcji y zmiennej x.

dy

UWAGA 1. Zamiast y’ będziemy również pisać

.

dx

DEF 2. Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego jest każda funkcja klasy C1 postaci y=ϕ(x), która spełnia to równanie tzn.: F(x , ϕ(x) , ϕ’ (x ) )=0.

DEF 3. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego jest funkcja postaci ϕ(x , C), gdzie C∈R.

Przy ustalonym C rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym.

UWAGA 2. Dane równanie różniczkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych.

PRZYKŁAD 1.Spróbujmy rozwiązać równanie postaci y’ = y. Rozwiązaniem tego równania może być funkcja x

y = e , ponieważ tylko ta funkcja i jej pochodna są równe. Jest to rozwiązanie szczególne bowiem rozwiązanie ogólne jest postaci

x

y = Ce . Istotnie

x

Ce = (

x

Ce )' dla dowolnej liczby rzeczywistej C.

Rozwiązanie szczególne powstaje, gdy w rozwiązaniu ogólnym podstawić za C konkretną liczbę np.: C=1.

PRZYKŁAD 2. Rozwiąż równanie

y’ = 2y

y = e2x

(e2x)’ = 2e2x.

y = e2x- rozwiązanie szczególne

y = C e2x- rozwiązanie ogólne

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE O ROZDZIELONYCH ZMIENNYCH

DEF 4. Równaniem różniczkowym zwyczajnym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci dy

p( y)

= q( x) ,

dx

gdzie p i q oznaczają funkcje ciągłe jednej zmiennej.

PRZYKŁAD 3. Rozwiążemy równanie postaci

dy

y2

= x.

dx

W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania przez dx co daje nam y2dy= x dx .

Całkujemy obustronnie

∫ y2 dy= ∫ x dx .

i otrzymujemy

1

1

y3 =

x2 +C

3

2

skąd

3

y3 =

x2 +3 C -rozwiązanie ogólne.

2

dy

PRZYKŁAD 4. Rozwiążmy równanie

(1 2

+ x ) − 1

2

− y = 0 .

dx

dy

Mamy

( 2

1 + x )

2

= 1 − y .

dx

Dzielimy najpierw przez (1+x2 ) a następnie przez

2

1 − y ( 1

2

− y ≠ 0) oraz mnożymy przez dx i otrzymujemy

1

1

dy =

dx .

2

1

−

+ x 2

1

y

1

1

Całkujemy obustronnie

∫

dy = ∫

dx

1 −

2

y 2

1 + x

skąd arcsin y = arctgx + C , więc rozwiązaniem ogólnym jest y = sin( arctgx + C).

dy

PRZYKŁAD 5. Rozwiążemy równanie postaci

2x2

= y.

dx

dy

y

W tym celu rozdzielimy zmienne dzieląc obie strony równania najpierw przez 2x2, x ≠ 0 co daje nam

=

,

2

dx

2 x

1 dy

1

a następnie przez y przy założeniu, że y ≠ 0 i otrzymujemy postać

=

.

2

y dx

2 x

1

1

Teraz mnożymy obie strony przez element dx i dostajemy

dy =

dx .

y

x 2

2

1

1

Całkujemy obustronnie ∫ dy = ∫

dx

y

x 2

2

1

i otrzymujemy ln|y| = -

+C

2 x

1

1

1

−

+ C

−

−

C

sk

2 x

2 x

2

ąd

x

y = e

= e e

= C e

1

.

Funkcja stała y = 0 jest także rozwiązaniem tego równania , bo 2 2

x (0)' = 0.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y’ = f(ax + by +c)

Rozpatrzymy teraz równanie postaci

y’ = f(ax + by +c),

w którym wykonujemy podstawienie

u =ax +by +c

, skąd

du

dy

= a + b

dx

dx

i

dy

du

a

= 1

− , dla b ≠ 0.

dx

b dx

b

dy

1

PRZYKLAD 6. Rozwiążmy równanie

=(x-y)2 + 1 przy warunku początkowym y =

dla x=0.

dx

2

Podstawmy

u = x - y,

du

dy

skąd

= 1 −

,

dx

dx

dy

du

więc

=1 −

.

dx

dx

du

Wstawmy to do równania i dostajemy

1

2

−

= u + 1.

dx

du

Dalej mamy

2

= − u

dx

1

i

∫ −

du = ∫ dx ,

u 2

1

skąd

= x + C ,

u

czyli

u =

1

.

x + C

Wracając do naszego podstawienia otrzymujemy x −

1

y =

, ostatecznie więc rozwiązaniem ogólnym jest

x + C

y =

1

x −

.

x + C

1

1

Uwzględniając warunek początkowy mamy

= 0 −

, czyli C=-2, więc jednym z rozwiązań szczególnych jest

2

0 + C

1

1

funkcja y = x −

, która dla x=0 przyjmuje wartość y =

.

x − 2

2

PRZYKLAD 7. Rozwiąż równanie y’ = 2x + 3y +1.

Podstawmy

u =2x + 3y +1

oraz

u’ = 2 +3 y’

u'−2

stąd

y’ =

3

u'−2

Mamy

= u

3

czyli

u’ – 2 =3 u

du = 3u + 2

dx

du

= dx

3 u + 2

1 ln|3u + 2| = x + C

3

ln|2x + 3y +1 |= 3x + 3C – rozwiązanie ogólne

y

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE POSTACI y’ = f(

)

x

Rozpatrzymy teraz równanie postaci

dy

 y 

= f   ,

dx

 x 

gdzie f jest ciągła i x ≠ 0.

W tym przypadku wykonujemy podstawienie

y = u ,

x

skąd

dy

du

y= x u i

= u + x

.

dx

dx

dy

PRZYKLAD 8. Rozwiążmy równanie 2

2

xy

− x − 2 2

y = 0 .

dx

Zanim wykonamy podstawienie podzielimy obie strony równania przez 2

x . Wówczas otrzymujemy równanie

2

y dy

 y 

2

−1 − 2  = 0 .

x dx

 x 

y

dy

du

Wykonujemy podstawienie

= u skąd

= u + x

.

x

dx

dx



du 

Dostajemy

u 2 u + 2 x

 −1− 2 2

u = 0



dx 

du

stąd

2 ux

= 1

dx

1

Po przekształceniach otrzymujemy

∫ u

2 du = ∫ dx ,

x

więc

u 2 = ln x + C .



2

y 

Po uwzględnieniu wcześniejszego podstawienia otrzymujemy 

 = ln | x | + C ,

 x 

skąd y 2 = x 2 ln | x | + C .

dy

1

y

PRZYKLAD 9. Rozwiąż równanie

=

+ .

dx

y

x

3 + x

y

dy

du

Najpierw dokonujemy podstawienia

= u skąd

= u + x

.

x

dx

dx

du

1

Mamy

u + x

=

+u

dx

3 + u

du

1

x

=

dx

3 + u

dx

(3+u) du =

x

dx

∫ (3+u) du =∫

x

1

3u +

u2 = ln|x| + C

2

2

y

1  y 

3

+

  =ln |x| + C – rozwiązanie ogólne

x

2  x 

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE RZĘDU PIERWSZEGO

DEF 5. Równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równanie różniczkowe postaci dy + p( x) y = q( x) ,

dx

gdzie funkcje p i q są ciągłe zadane zaś y funkcją niewiadomą zmiennej x.

UWAGA 3. Jeżeli q(x) = 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym .

UWAGA 4. Jeżeli q(x) ≠ 0 to równaniem różniczkowym liniowym I- rzędu nazywamy równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym.

DEF 6. Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego niejednorodnym jest suma rozwiązań: rozwiązania ogólnego równania różniczkowego jednorodnego i rozwiązania szczególnego równania różniczkowego niejednorodnego.

SPOSOBY ROZWIĄZYWANIA R.R.L. I RZĘDU

I. Metoda uzmienniania stałej.

1. Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego

dy

+ p( x) y = q( x)

dx

dy + p( x) y = 0

dx

dy = − p( x) dx

y

dy

∫ = ∫(− p( x)) dx

y

ln | y =

| −∫ p( x d

) x

y = C e-∫p(x)dx ,C –dowolna stała

2. Uzmiennianie stałej C

C= C(x)

y = C(x) e-∫p(x)dx ,

3.Różniczkujem y względem x

y’ = C’ (x) e-∫p(x)dx + C(x) e-∫p(x)dx ⋅ (-p(x)),

4.Podstawiamy y i y’ do równania y’ + p(x) y = q(x)

C’ (x) e-∫p(x)dx – C(x) ⋅ p(x) ⋅ e-∫p(x)dx + p(x) ⋅ C(x) ⋅ e-∫p(x)dx = q(x) C’ (x) e-∫p(x)dx = q(x)

C’ (x) e-∫p(x)dx = q(x)

∫

C’ (x) = q(x)e p(x)dx

dC ' ( x)

∫

= q(x)e p(x)dx

dx

∫

C(x) = ∫q(x)e p(x)dxdx

5.Uzyskane C(x) wstawiamy do 2

∫

y

p(x)dx

1= e-∫p(x)dx ⋅ ∫q(x)e

dx –całka szczególna r. r. l. niejednorodnego

6.Rozwiązanie końcowe

yk= y +y1

∫p(x)dx

yk= C(x) e-∫p(x)dx + e-∫p(x)dx ⋅ ∫q(x)e

dx (***)

∫

UWAGA 5.Rozwiązanie równania y’ + p(x) y = q(x) jest y= C(x) e-∫p(x)dx + e-∫p(x)dx ⋅ ∫q(x)e p(x)dx dx.

1

PRZYKŁAD 10. Rozwiążmy równanie y’ +

y = x .

x

1

Zauważmy, że p(x) =

oraz q(x) = x.

x

1

Znajdujemy całkę ogólną r.r.l. jednorodnego: y’ +

y = 0

x

Musimy rozwiązać równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych( patrz wyżej) 1

y’ = -

y

x

dy

y

= −

dx

x

dy

dx

= −

y

x

dy

dx

∫

= ∫ −

y

x

ln |y| = -ln|x| +C

1

y = C1

x

Uzmienniamy stałą C1

C1= C1 (x)

1

y = C1(x)

(*)

x

1

1

y’= C’1(x)

- C1 (x)

x

2

x

Podstawiamy y i y’ do równania wyjściowego

1

1

1

1

C’1(x)

- C1 (x)

+

C1(x)

= x

x

2

x

x

x

1

C’1(x)

= x

x

C’1(x) = x2

dC ( x)

1

2

= x

dx

dC1 (x) = x2 dx

∫ dC ( x)

1

= ∫ x 2 dx

1 3

C ( x) =

x .

1

3

1

Wstawiamy C1 (x) do (*) i mamy y =

2

x .

3

1

1

Końcowe rozwiązanie jest sumą rozwiązań yk=

2

x + C1(x)

.

3

x

Inny sposób rozwiązania to podstawienie do wzoru (***) ten sposób będzie pokazany w poniższym przykładzie.

PRZYKŁAD 11. Rozwiążmy równanie y’ – 3y = 2.

Zauważmy p(x)= -3 oraz q(x) = 2.

∫

Rozwiązanie równania to właściwe podstawienie do wzoru y= C e-∫p(x)dx + e-∫p(x)dx ⋅ ∫q(x)e p(x)dx dx.

Stąd rozwiązanie równania jest postaci

∫

 1 

2

y= C e-∫ (-3)dx + e-∫(-3)dx ⋅ ∫2e (-3)dx dx= C e3x + e3x ⋅2  −  e-3x = C e3x -

 3 

3

II. Metoda przewidywań.

y’ + p(x) y = q(x)

Metodę przewidywań stosujemy jeśli p(x)= C = Const (czyli jest funkcją stałą) i jeśli potrafimy przewidzieć postać całki szczególnej

q(x) –prawa strona równania

Przewidywana postać rozwiązania szczególnego

Pn(x) –wielomian P stopnia n

Qn(x) –wielomian Q stopnia n

α

α

P

x

x

n(x)⋅e

Qn(x)⋅e ,gdy p ≠ -α

α

x⋅Q

x

n(x)⋅e

,gdy p= -α

α

α

k⋅e x

m⋅e x ,gdy p ≠ -α

α

x⋅m⋅e x ,gdy p= -α

k⋅ cos(bx) + l⋅ sin(bx)

m⋅ cos(bx) + n⋅ sin(bx)

α

α

e x⋅ (k⋅ cos(bx) + l⋅ sin(bx))

e x⋅ (m⋅ cos(bx) + n⋅ sin(bx))

Pn(x) ⋅ (cos(bx) +sin(bx))

Qn(x)⋅ (cos(bx) + sin(bx))

PRZYKŁAD 12. Rozwiąż równanie y’ +3y = 4x +1

Najpierw znajdujemy całkę ogólną równania jednorodnego y’ +3y = 0. Zauważmy, że to równanie możemy rozwiązać za pomocą rozdzielenia zmiennych. Rozwiązanie ogólne jest postaci y = C e -3x( C –dowolna stała rzeczywista).

Zauważmy, że funkcja p(x)= 3 jest stała więc możemy zastosować metodę przewidywań. Prawa strona równania wyjściowego czyli funkcja q(x) jest wielomianem stopnia pierwszego dlatego możemy przewidzieć, że poszukiwane rozwiązanie szczególne y1 jest też wielomianem pierwszego stopnia .Stąd y1 = ax +b oraz y’1 = a. Podstawiamy do równania wyjściowego i mamy:

a +3(ax +b)= 4x +1

2ax+a+b=4x+1

Dwa wielomiany są równe jeśli są tego samego stopnia i współczynniki przy odpowiednich potęgach x są równe dlatego musi być spełniony układ równań

 3 a = 4



3 b + a = 1

4

1

4

1

Tak więc a =

oraz b = -

. Tak więc y1 =

x -

.

3

9

3

9

4

1

Stąd rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e -3x +

x -

.

3

9

PRZYKŁAD 13. Rozwiąż równanie y’ +4y = e 4x(2x2 +1).

W tym rozwiązaniu komentarz oraz poszczególne kroki zostanie ograniczony do minimum.

Rozwiązanie równania jednorodnego y’ +2y = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania y = C e -4x( C –stała rzeczywista).

p(x) = 4

q(x)= e 4x(2x2 +1) α=4 stąd p ≠ -α i przewidywane rozwiązanie szczególne jest postaci y1 = e 4x (ax2 +bx + c) oraz y’1 = e 4x (4ax2 +(4b+2a)x + 4c+b). Porównując odpowiednie współczynniki otrzymujemy układ

 8 a = 2

2 a + 8 b = 0

 b + 8 c =1

1

1

15

stąd a=

, b=

i c=

.

4

16

128

1

1

15

Rozwiązanie szczególne y1 = e 4x (

x2 +

x +

).

4

16

128

1

1

15

Rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e -4x+ e 4x (

x2 +

x +

).

4

16

128

PRZYKŁAD 14. Rozwiąż równanie y’ +y = 5 sin 3x.

Rozwiązanie równania jednorodnego y’ +y = 0. Rozwiązanie ogólne tego równania y = C e -x( C –stała rzeczywista).

Ponieważ p(x) = 1 możemy stosować metodę przewidywania rozwiązanie szczególne, które będzie jest postaci y1 = m sin3x + n cos3x oraz y’1 = 3m cos3x - 3n sin3x . Postępujemy jak we wcześniejszych przykładach i otrzymujemy y1 = 0.5 sin3x – 1.5 cos3x.

Rozwiązanie końcowe jest sumą rozwiązań yk = y+ y1 = C e –x + 0.5 sin3x – 1.5 cos3x .

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE II RZĘDU

DEF. 7 Równaniem różniczkowym zwyczajnym II rzędu nazywamy równanie postaci F ( x, y, y' , y' ' ) = 0 ,

gdzie y', y' ' oznaczają kolejno pierwszą i drugą pochodną.

2

dy d y

UWAGA 6 Zamiast y’,y’’ będziemy również pisać

,

.

2

dx dx

DEF. 8 Rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu jest każda funkcja klasy 2

C y = ϕ( x) , która

spełnia to równanie tzn. F ( x,ϕ( x),ϕ' ( x),ϕ' ' ( x)) = 0 .

DEF 9. Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu jest funkcja postaci ϕ(x , C1 , C2), gdzie C

∈

1 ,C2

R. Przy ustalonych C1 iC2 rozwiązanie ogólne staje się rozwiązaniem szczególnym.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE II RZĘDU O STAŁYCH

WSPÓŁCZYNNIKACH

DEF. 10 Równaniem różniczkowym linowe jednorodne II rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci

ay' '+ by'+ cy = 0 ,

gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

DEF. 11 Równaniem charakterystycznym równania różniczkowego o stałych współczynnikach będziemy nazywać następujący trójmian kwadratowy

2

ar + br + c = 0 .

UWAGA 7. Jeżeli delta równania charakterystycznego

2

ar + br + c = 0 jest większa od zera, to rozwiązaniem r x

r x

1

2

równania postaci ay' '+ by'+ cy = 0 jest funkcja y = C e

+ C e

1

2

, gdzie r , r są pierwiastkami

1

2

równania

2

ar + br + c = 0 .

UWAGA 8.. Jeżeli delta równania charakterystycznego

2

ar + br + c = 0 jest równa zero, to rozwiązaniem równania r x

1

postaci ay' '+ by'+ cy = 0 jest funkcja y = C

(

x + C ) e

1

2

, gdzie r jest pierwiastkiem podwójnym

1

równania

2

ar + br + c = 0 .

UWAGA 9. Jeżeli delta równania charakterystycznego

2

ar + br + c = 0 jest mniejsza od zera, to rozwiązaniem α x

równania postaci ay' '+ by'+ cy = 0 jest funkcja y = e ( C cos β x + C sin β x )

1

2

, gdzie

b

− ∆

α = −

, β =

.

2 a

2 a

PRZYKŁAD 15. Rozwiążmy równanie y' '− y'−2 y = 0 .

Równanie charakterystyczne jest następujące 2

r − r − 2 = 0 . Delta tego równania jest większa od zera, pierwiastkami s

2

−

ą liczby r = ,

2 r = −1, więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

x

x

y = C e

.

1

+ C e

1

2

2

PRZYKŁAD 16. Rozwiążmy równanie y' '+6 y'+9 y = 0 .

Równanie charakterystyczne jest następujące 2

r + 6 r + 9 = 0 . Delta tego równania jest równa zero, pierwiastkiem

−

podwójnym jest liczba r = 3

− , więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

3 x

y = ( C x + C ) e

.

1

1

2

PRZYKŁAD 17 Rozwiążmy równanie y' '−4 y'+5 y = 0

Równanie charakterystyczne jest postaci 2

r − 4 r + 5 = 0 . Delta równania charakterystycznego jest ujemna i α = ,

2 β = 1, więc rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja

2

y = e x ( C cos x + C sin x) .

1

2

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE II RZĘDU O STAŁYCH

WSPÓŁCZYNNIKACH

DEF. 12 Równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym II rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci ay' '+ by'+ cy = f ( x) , gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, natomiast funkcja y = f ( x) jest funkcją ciągłą.

UWAGA 10 Aby rozwiązać równanie postaci ay' '+ by'+ cy = f ( x) należy najpierw rozwiązać równanie jednorodne postaci ay' '+ by'+ cy = 0 , następnie tzw. metodą przewidywań wyznaczyć rozwiązanie y . Rozwiązanie ogólne 2

równania ma postać y = y + y , gdzie y jest rozwiązaniem równania jednorodnego ay' '+ by'+ cy = 0 .

1

2

1

PRZYKŁAD 17 Rozwiążmy równanie y' +

' 6 y +

' 5 y = 1 − x .

Najpierw rozwiążemy równanie jednorodne postaci y' '+6 y'+5 y = 0 , jego rozwiązaniem jest funkcja postaci

−5 x

− x

y

.

1 = C e

1

+ C e

2

W związku z tym, że po prawej stronie równania jest funkcja f ( x) = 1 − x , to rozwiązanie y przewidujemy jako 2

wielomian pierwszego stopnia postaci y

.Obliczamy pierwszą i drugą pochodną y ' = a, y ' ' = 0 .

2 = ax + b

2

2

Wstawiamy to do równania

y' +

' 6 y +

' 5 y = 1 − x

i dostajemy

6 a + (

5 ax + b) = 1 − x

, skąd

5 ax + 6 a + 5 b = − x + 1,

1

11

więc 5 a = − ,

1 6

a + 5 b = 1 i a = − , b =

.

5

25

1

11

Rozwiązanie y jest postaci y = − x +

. Ostateczne rozwiązanie ogólne jest następujące

2

2

5

25

−5 x

− x

1

11

y = y + y = C e

+ C e − x +

.

1

2

1

2

5

25

PRZYKŁAD 18 Rozwiążmy równanie y' '+9 y = x cos x .

Rozwiązaniem równania y' '+9 y = 0 jest funkcja postaci y C

= cos3 x + C sin 3 x .

1

1

2

Jako rozwiązanie y przewidujemy funkcję postaci y = ( ax + b) cos x + ( cx + d ) sin x .

2

2

Obliczamy pochodne y ' = ( a + cx + d ) cos x + ( c − ax − b) sin x , 2

y ' ' = ( c

2 − ax − b) cos x + (−2 a − cx − d ) sin x 2

i wstawiamy do równania otrzymując

(2 c − ax − b) cos x + (−2 a − cx − d ) sin x + 9( ax + b) cos x + 9( cx + d ) sin x = x cos x .

Po przekształceniach dostajemy 8

( ax + b

8 + 2 c) cos x +

c

8

( x + 8 d − 2 a) sin x = x cos x .

1

1

Porównując obie strony mamy 8 a = 8

,

1 b + 2 c =

8

,

0 c =

8

,

0 d − 2 a = 0 skąd a = , b = ,

0 c = ,

0 d =

i

8

32

1

1

y =

x cos x +

sin x . Ostatecznie, więc mamy następujące rozwiązanie ogólne

2

8

32

1

1

y = y + y = C cos 3 x + C sin 3 x +

x cos x +

sin x .

1

2

1

2

8

32

PRZYKŁAD 19 Rozwiążmy równanie

2 x

y' '−4 y'+4 y = e .

Rozwiązaniem równania y' '−4 y' 4

+ y = 0 jest funkcja y =

+

=

+

.

1

( C x C

1

2 ) 2 x

2 x

2 x

e

C xe

C e

1

2

Rozwiązanie y przewidujemy w postaci

2

2 x

y = ( ax + bx + c) e , ponieważ elementy 2 x

2 x

ae , ( ax + b) e występują już

2

2

w rozwiązaniu y (dla a = C , następnie dla a = C

i b = 0 ).

1

2

1

Obliczamy pochodne y ' = 2

+ (2 + 2 ) + + 2

,

2

( ax 2 a b x b c) 2 x

e

y ' ' = 4

+ 8

(

+ 4 ) + 2 + 4 + 4

.

2

( ax 2 a b x a b c) 2 x

e

Wstawiamy to do równania

2 x

y' '−4 y'+4 y = e i uzyskujemy

(4 ax 2 + 8( a + b 4) x + 2 a + b 4 + 4 c) 2 x e

− 4(2 ax 2 + (2 a + b

2 ) x + b + 2 c) 2 x

2

2 x

2 x

e

+ 4( ax + bx + c) e = e Po

2 x

2 x

1

przekształceniach dostajemy 2 ae

= e skąd a = oraz b i c są dowolne.

2

 1



2

2 x

Mamy y = 

x + bx + c  e

2

, wi



ęc rozwiązaniem ogólnym jest

2



 1



2 x

2 x

2

2 x

y = y + y = C xe

+ C e +  x + bx + c e

1

2

1

2

.

 2



Proszę zwrócić uwagę, że możemy je jeszcze przekształcić do prostszej postaci.

1

1

2 x

2 x

2

2 x

2 x

2 x

2 x

2 x

2

2 x

y = C xe

+ C e + x e + bxe + ce = C

(

+ b) xe + C

(

+ c) e + x e

1

2

1

2

.

2

2

W związku z tym, że C

i C

są stałymi, to bez zmniejszenia ogólności rozważań możemy napisać ostateczne 2 + c

1 + b

2 x

2 x

1 2 2 x

1 2

2 x

rozwiązanie w postaci y = C xe

+ C e + x e = ( x + C x + C ) e .

1

2

2

2

1

2

Jeżeli teraz założymy pewne warunki początkowe y(0) = , 1 y' (0) = 0 , to 1 = C i ponieważ

2

2 x

2 x

2 x

2

2 x

y' = C e

+ 2 C

(

x + C ) e

+ xe + x e to 0 = C + 2 C , czyli C = −2 .

1

1

2

1

2

1

Przy tych warunkach początkowych rozwiązaniem szczególnym równania jest funkcja





2 x

2 x

1 2 2 x

1

y = −2

2

xe

+ e + x e =  x − 2 x +1 2 x

 e .

2

 2



ZADANIA

Zad. 1 Rozwiąż równanie różniczkowe

2 x

dy

2 dx

(1) 2 x 2 dy = 3 y 3 dx

(2) x

= y

(3) '

y =

(4) dx =

dx

2

3 y

y

dy

1

2

dx

(5) 3 3 2

x y = y'

(6) xy = 2

(7)

+ y = 0

(8) xy − y' = 0

dy

dx

x

(9) ( x 2 + )

1 y' = 2 xy

(10) e− x 1

( + y') = y'

(11) y' = x + y + 1

(12) y' = 4 x + y + 2

2

y dy

 y 

1

y

(13) y' = −2 x + 4 y + 5

(14) −

− 5 +   = 0 (15)

2

2

3 xyy' = 2 x + 3 y

(16) y' =

+

x dx

 x 

y

x

3 + x

y

y

y

2

dy

(17) y'

2

− = x , x > 0

(18) y'−

= x, x > 0

(19) y'+

= 2 3

x , x > 0

(20)

+ 2

− x

xy = xe

x

x

x

dx

(21) y'+2 y = 3

(22) y'+2 y = 3 x + 2

(23) y'+2

−2

y = e x ( 2

x + )

3

(24)

5 x

y'+5 y = e

3

(25) y'+ y = 3cos 3 x + sin 3 x (26) y'+3 y = 4 x + 1

(27) y'+4

4

y = e x (2 2

x + )

1

(28) y'+ y = 5sin 3 x

(29) y'' 3

+ y'+ y = 0

(30) y'' 1

+ 2 y' 3

+ 6 y = 0

(31) y'' 2

+ y' 3

− y = 0

(32) y'' 8

− y'+16 y = 0

(33) y'' 5

− y'+6 y = 2 x +1

(34) y''− y = sin x

(35) y'' 6

− y'= cos 2 x

Zad. 2 Rozwiąż równanie różniczkowe spełniające warunki początkowe dy

1

2

2

dy

(1) x

= 2

, x=e i y=3

(2) x y =

, x=2 i y=-1

2

dx

y

dx

y

(3) y' = ( 2

− x + y)2 + 2 ,x = 0 i y = 1

(4) y'

2

− = x , x > 0 x=2,y=0

x