A. Zaborski, Zginanie ze ciskaniem Zginanie ze ciskaniem Zaprojektowa przekrój prostok tny belki b× h = d× 2d, obci onej w rodku prz sła l = 4 m sił P = 20 kN i ciskanej sił N = 100 kN. Dane: R = 160 MPa, E = 200 GPa.
Rozwi zanie 1:
Napr enia normalne (wzory z wykładu lub podr cznika): M
tg
6
max
N
Pl
u
N
maxσ =
+
=
+
≤ ,
x
R
W
F
4 u 4 d 3 2 d 2
y
gdzie
π
l
3 N
0 0
. 0173
u
N
=
=
=
=
.
E
P
4
2
2
2 2 Ed
d
Rozwi zuj c numerycznie nierówno , otrzymujemy: d = 6.05 cm.
Sprawdzamy obliczenia: pole przekroju: F = 73.27 cm2, momenty bezwładno ci: Jy = 894.8 cm4, Jz = 223.7 cm4, wska nik wytrzymało ci Wy = 147.8 cm3, siła eulerowska (wzgl dem osi y i z): Pey = 1.1 MN, Pez = 276 kN (obie siły> N), maksymalne napr enia normalne: maxσ x = 160 MPa, strzałka ugi cia:
tgu −
f =
u
fo
= .
1 64 cm
3
u
maksymalny moment zginaj cy: M max = 21.64 kNm.
Rozwi zanie 2:
Inny sposób rozwi zania, metod kollokacji, polega na przyj ciu funkcji ugi cia w postaci: x
π
w( x) = a sin
,
l
spełniaj cej kinematyczne warunki brzegowe oraz za daniu zgodno ci rozwi zania aproksymowanego z rozwi zaniem cisłym w kilku dodatkowych punktach. Za damy zgodno ci w jednym dodatkowym przekroju: w rodku rozpi to ci belki. Jest wi c: π 2
x
π
π 2
π x
x
π
w''( x) = −
a sin
EJ
sin
=
+
,
2
2
0 ( )
sin
y
a
M x
Na
l
l
l
l
l
a po przekształceniach, dla x = l/ 2: Pl
12 Pl 3
1
12
1
a =
4
=
=
a
,
2
2
2
spr
π EJ
π 48 EJ
N
π
N
y
y
− N
1 −
1 −
2
P
P
l
E
E
oraz:
w l
( / 2) = f = a sinπ / 2 = a .
Podstawiaj c otrzymane wyra enia ponownie do wzoru na napr enia, otrzymujemy z rozwi zania numerycznego: d = 6.08 cm. Pozostałe wielko ci podobnie nieznacznie si ró ni od warto ci uzyskanych w poprzednim obliczeniu: pole przekroju: F = 73.94 cm2, momenty bezwładno ci: Jy = 911.3 cm4, Jz = 227.8 cm4, wska nik wytrzymało ci Wy = 149.9 cm3, siła eulerowska (wzgl dem osi y i z): Pey = 1.12 MN, Pez = 281 kN (obie siły> N), maksymalne napr enia normalne: maxσ x = 160 MPa, strzałka ugi cia: f = 1.95 cm maksymalny moment zginaj cy: M max = 21.95 kNm.