1. Korzystaj c z definicji całki oraz faktu, e funkcje ci głe s całkowalne obliczy : π
2
5 dx
2
1
1
a) xdx ,
b)
,
c) sin xdx ,
d) 2 x dx ,
e)
3
x dx .
x
1
3
0
0
0
Wskazówka: b) przedział całkowania podzieli tak, aby punkty podziału tworzyły ci g geometryczny; c) Wyprowadzi (przy pomocy wzoru Moivre’a), a nast pnie zastosowa nα
( n + )
1 α
sin
⋅sin
wzór
2
2
sinα + sin 2α +...+ sin nα =
α
.
sin 2
2. Korzystaj c z funkcji pierwotnej, obliczy podane całki: π
1
1
4
2 3 x −1
a) ( 3
x − x + )
1 dx ,
b) ( x + 3 2
x ) dx ,
c)
2
sin xdx , d)
dx .
3 x +1
−1
0
0
0
3. Korzystaj c z definicji całki oznaczonej uzasadni podane równo ci: 12 + 22 +...
2
+ n
1
n
n
n
π
a) lim
= ,
b) lim
+
+...+
= ,
3
n→∞
n
3
2
n→∞ n +12
2
n + 22
2
2
n + n
4
1
1
1
c) lim
+
+...+
= ln 2 ;
2
n→∞ n + 1
2
n + 2
2
n + n
Wskazówka: Wykorzysta sumy całkowe dobieraj c odpowiedni funkcj podcałkow .
4. Obliczy podane całki oznaczone dokonuj c wskazanych podstawie : 4
dx
ln 2
1 ln x
a)
x = 2
,
t ,
b)
x
x
2
e −1 dx, e −1 = x , c)
, ln x = u ,
1
x
x
0
+
0
0
π
2
1
dx
0 x +1
x +1
d)
5
sin x ⋅
3
cos xdx, sin x = v , e)
, ex = t , f)
dx,
= t .
x
x
π
e + −
e
x −1
x −1
−
0
−1
2
5. Metod całkowania przez cz ci obliczy podane całki oznaczone: 1
π
0
3
2
e
a) x ⋅ arctgxdx , b) 2
x ⋅cos xdx , c)
−
x ⋅ e xdx , d) arcctgxdx , e) ln(4 x) dx
−1
0
−1
−1
e
6. Obliczy podane całki oznaczone: 3
2
a) sgn( x − 3
x ) dx , b) E( ex ) dx , gdzie E(z ) oznacza cz całkowit liczby z,
0
0
2
4
2
1
c) x ⋅ x dx , d) 2
x − 2 x +1 , e) max( x,2 − 2
x ) dx , f)
2
x − 2 x +1 dx .
−1
0
0
−1
7. Oszacowa warto podanej całki: 100
−
e x
1
9
x
2π
dx
1 cos x
1
a)
dx , b)
, c)
, d)
dx , (1
2
− x ≤ cos x ≤1).
x +100
1 x
10 + 3cos x
+ 2
1 x
2
0
+
0
0
0
8. Obliczy warto ci rednie podanych funkcji na wskazanych przedziałach: x
2
a) f ( x) = sin3 x, [ , 0 π ] , b) g( x) = x e , [− ,
2 2],
c) h( x) =
,
,
0
.
1− 2
x
2
9. Samochód od chwili startu poruszał si ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy pieszeniem a1=2 m/s2. Po czasie t1=10 s zacz ł porusza si ze stał pr dko ci .
Po dalszych 60 s zacz ł hamowa z opó nieniem a2= 1 m/s2, a do momentu zatrzymania. Obliczy redni szybko tego samochodu.
10. Obliczy redni długo ci ciwy koła o promieniu R, która jest równoległa do ustalonej rednicy tego koła.
11. Poci g jad c ze zmienn pr dko ci przejechał 400 km w czasie 4 godz. Uzasadni , e w pewnej chwili jego szybko wynosiła 100 km/godz.
12. Wykorzystuj c własno ci całek z funkcji parzystych, nieparzystych lub okresowych uzasadni , e:
3π
π
3 ex −1
2
2
1
2
arccos x
π
a)
dx = 0 ,
b)
4
sin xdx =
4
6 sin xdx ,
c)
dx =
;
ex +1
1+ 2
x
4
−3
π
−3
0
−1
2
π
Wskazówka: Wykaza , e ∀ x ≤1 arcsin x + arccos x = i skorzysta z tej zale no ci.
2
x
13. Dla podanych funkcji f znale funkcje górnej granicy całkowania F( x) = f ( x) dx : 0
1− x
dla x ≤1
x +1 dla x < 0
a) f ( x) =
,
b) f ( x) =
0
dla 1< x ≤ 2 , c) f ( x) = sgn(
2
x − x ) .
x −1 dla x ≥ 0
(2 − x)2 dla x > 2
14. Wykaza , e:
1
π
π
π
a)
4
x ⋅ arcctgx dx = ,
b) x 2008 ⋅
2009
sin
xdx = x 2009 ⋅
2008
sin
xdx .
5
1
−
−π
−π