Matematyka (15 godz. wykładu + 15 godz. ćwiczeń) Zestaw 3.
Zad. 1
W ciągu arytmetycznym:
1. a2 = 5 oraz a6 = 17. Obliczyć r .
2. r = 3 oraz S7 = 21. Obliczyć a1.
3. a5 = 7 oraz a7 = 5. Obliczyć a1.
4. a1 = 2, a6 = 17. Obliczyć a7.
5. a5 = 3 oraz a
a
5 − a2 = 6. Obliczyć S10.
2
6. a2 = 6 oraz a6 = 2. Obliczyć r .
7. a1 = 2 oraz S7 = 77. Obliczyć a7 .
8. a3 = 5 oraz a7 = 13. Obliczyć S6 .
9. a10 − a6 = 8 oraz S8 = 80. Obliczyć a1.
10. a1 = 1 oraz S10 = 145. Obliczyć r.
11. a21 = 1, S21 = 0 Obliczyć a1 i r.
12. S10 − S6 = 72 oraz a10 − a6 = 8. Obliczyć a1.
13. a8 = 63 i a3 = 3. Obliczyć r.
14. a9 = 90 i a6 = 30. Obliczyć r
15. a7 − a5 = 20 oraz a7 + a5 = 30. Obliczyć a6.
16. a10 = 100 i a6 = 80. Obliczyć S100.
Zad. 2.
W ciągu geometrycznym:
1. a3 = 12, q = 2. Obliczyć n jeśli Sn = 93.
2. a2 = 8 oraz a4 = 2. Obliczyć a1.
3. q = 1 oraz S
. Obliczyć a
3
3 = 26
9
1 .
4. q = 1 oraz S
. Obliczyć a
2
5 = 31
4
1.
5. a5 = 27 oraz a
a
5 − a2 = 26. Obliczyć a1.
2
6. a3 = 135 oraz a6 = 5. Obliczyć S4.
7. a6 − a4 = 72 oraz a6 = 4. Obliczyć a
a
1.
4
8. a3 = 5 oraz a5 = 1 . Obliczyć S
5
4 .
9. a1 = 8, a4 = 1 . Obliczyć a
8
2.
10. a4 = 2, a7 = −2. Obliczyć S20.
11. a2 = 4, q = 1 . Obliczyć n, jeśli S
.
3
n = 160
9
12. a3 = 4 , a
5
5 = 20. Obliczyć a7.
Przykładowe rozwiązania z komentarzem Zad.1.1
Sposób I: Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego an = a1 + (n − 1)r, gdzie r jest różnicą ciągu. Otrzymujemy układ równań
5 = a1 + r
17 = a1 + 5r.
Odejmując od drugiego równania pierwsze, otrzymujemy 12 = 4r, co daje r = 3.
Sposób II: Z definicji ciągu arytmetycznego wiemy, że a6 = a2 + 4r, więc podstawiając dane otrzymujemy 17 = 5 + 4r, skąd obliczamy r = 3.
Zad. 1.5 Z definicji ciągu arytmetycznego wiemy, że (1)
a5 = a2 + 3r,
czyli a5 − a2 = 3r. Z treści zadania wynika więc, że 3r = 6, co daje r = 2. Ponadto równość a5 = 3
a2
można zapisać jako a5 = 3a2. Ta równość wraz z (1) dają 3a2 = a5 = a2 + 3r = a2 + 6. Rozwiązując to równanie otrzymujemy a2 = 3. Stąd a1 = a2 − r = 3 − 2 = 1 oraz a10 = a1 + 9r = 1 + 18 = 19.
Stosujemy wzór na sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego S10 = 10 (a 2
1 +
a10) = 5(1 + 19) = 100.
Zad. 1.9 Wiemy, że 8 = a10 − a6 = 4r, a stąd r = 2. Ze wzoru S8 = 8 (2a 2
1 + (10 − 1)r) dostajemy
80 = 4(2a1 + 18), a stąd a1 = 1.
Zad. 2.1 Ze wzoru na ogólny wyraz ciągu an = a1qn−1 otrzymujemy 12 = a3 = a1q2 = 4a1, a stąd a1 = 3. Korzystamy teraz ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego S
1−qn
n = a1
i danych zadania otrzymując 93 = S
= 3(2n−1). Przekształcając to równanie,
1−q
93 = 3 1−2n
1−2
dostajemy 2n = 32, co daje n = 5.
Zad.
2.2 Można skorzystać ze wzoru na wyraz ogólny ciągu i stosując go do wyrazów a2 i a4
otrzymać układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi a1 i q.
Można jednak bezpośrednio zauważyć, że a4 = a2q2. Wstawiając dane z zadania, dostajemy 2 = 8q2, a stąd q2 = 1 . Równanie to ma dwa rozwiązania q = 1 oraz q = − 1 . Zatem 4
2
2
a1 = a2 = 16 lub a
q
1 = −16.
Pozostałe rozwiązania
Zad. 1.2 -6
Zad. 2.3 2
Zad. 1.3 11
Zad. 2.4 4
Zad. 1.4 20
Zad. 2.5 13
Zad. 1.6 -1
Zad. 2.6 600
Zad. 1.7 20
Zad. 2.7 a1 = 3 lub a1 = −3
Zad. 1.8 36
Zad. 2.8 S4 = 156 lub S4 = 104
Zad. 1.10 3
Zad. 2.9 2
Zad. 1.11 a1 = −1, r = 0, 1.
Zad. 2.10 0
Zad. 1.12 3
Zad. 2.11 4
Zad. 1.13 12
Zad. 2.12 500
Zad. 1.14 20
Zad. 1.15 15
Zad. 1.16 7750