Równanie liniowe jednorodne
x 0 = A(t)x , gdzie A : (a , b) → L(Rk) ci¡gªa.
Z tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci mamy jednoznaczne rozwi¡zanie ka»dego zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0; ozn. ϕ(t) = U(t , t0)x0 .
∞
X
U(t , t0) =
Kn(t , t0)
n=0
Równanie liniowe jednorodne
x 0 = A(t)x , gdzie A : (a , b) → L(Rk) ci¡gªa.
Z tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci mamy jednoznaczne rozwi¡zanie ka»dego zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0; ozn. ϕ(t) = U(t , t0)x0 .
∞
X
U(t , t0) =
Kn(t , t0)
n=0
Równanie liniowe jednorodne
x 0 = A(t)x , gdzie A : (a , b) → L(Rk) ci¡gªa.
Z tw. o globalnej rozwi¡zalno±ci mamy jednoznaczne rozwi¡zanie ka»dego zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0; ozn. ϕ(t) = U(t , t0)x0 .
∞
X
U(t , t0) =
Kn(t , t0)
n=0
Równanie liniowe jednorodne
K0(t , t0) = I macierz jednostkowa, Z t
Kn+1(t , t0) =
A(s)Kn(s , t0) ds
t0
Zbie»no±¢ szeregu: M := supt ∈[ α,β] || A(t) ||, daje indukcyjnie Mn | t − t
|| K
0 | n
n(t , t0) || ≤
n!
st¡d zbie»no±¢ niemal jednostajna; U jest wi¦c ci¡gªa.
∂ K
∂ t n(t , t0) = A(t)Kn − 1(t , t0)
mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem sumy.
Równanie liniowe jednorodne
K0(t , t0) = I macierz jednostkowa, Z t
Kn+1(t , t0) =
A(s)Kn(s , t0) ds
t0
Zbie»no±¢ szeregu: M := supt ∈[ α,β] || A(t) ||, daje indukcyjnie Mn | t − t
|| K
0 | n
n(t , t0) || ≤
n!
st¡d zbie»no±¢ niemal jednostajna; U jest wi¦c ci¡gªa.
∂ K
∂ t n(t , t0) = A(t)Kn − 1(t , t0)
mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem sumy.
Równanie liniowe jednorodne
K0(t , t0) = I macierz jednostkowa, Z t
Kn+1(t , t0) =
A(s)Kn(s , t0) ds
t0
Zbie»no±¢ szeregu: M := supt ∈[ α,β] || A(t) ||, daje indukcyjnie Mn | t − t
|| K
0 | n
n(t , t0) || ≤
n!
st¡d zbie»no±¢ niemal jednostajna; U jest wi¦c ci¡gªa.
∂ K
∂ t n(t , t0) = A(t)Kn − 1(t , t0)
mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem sumy.
Równanie liniowe jednorodne
K0(t , t0) = I macierz jednostkowa, Z t
Kn+1(t , t0) =
A(s)Kn(s , t0) ds
t0
Zbie»no±¢ szeregu: M := supt ∈[ α,β] || A(t) ||, daje indukcyjnie Mn | t − t
|| K
0 | n
n(t , t0) || ≤
n!
st¡d zbie»no±¢ niemal jednostajna; U jest wi¦c ci¡gªa.
∂ K
∂ t n(t , t0) = A(t)Kn − 1(t , t0)
mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem sumy.
Równanie liniowe jednorodne
K0(t , t0) = I macierz jednostkowa, Z t
Kn+1(t , t0) =
A(s)Kn(s , t0) ds
t0
Zbie»no±¢ szeregu: M := supt ∈[ α,β] || A(t) ||, daje indukcyjnie Mn | t − t
|| K
0 | n
n(t , t0) || ≤
n!
st¡d zbie»no±¢ niemal jednostajna; U jest wi¦c ci¡gªa.
∂ K
∂ t n(t , t0) = A(t)Kn − 1(t , t0)
mo»na ró»niczkowa¢ pod znakiem sumy.
Równanie liniowe jednorodne
U : (a , b)2 → L(Rk) nazywamy rezolwent¡ równania liniowego.
Ma ona wªasno±ci:
∂ U(t , t
∂ t
0) = A(t)U(t , t0) ,
U(t0 , t0) = I ;
dla dowolnych t , t0 , U(t , t0) jest izomorzmem i U(t , t0) − 1 = U(t0 , t) .
W (t) := det U( ·, t0) nazywamy wro«skianem równania.
Równanie liniowe jednorodne
U : (a , b)2 → L(Rk) nazywamy rezolwent¡ równania liniowego.
Ma ona wªasno±ci:
∂ U(t , t
∂ t
0) = A(t)U(t , t0) ,
U(t0 , t0) = I ;
dla dowolnych t , t0 , U(t , t0) jest izomorzmem i U(t , t0) − 1 = U(t0 , t) .
W (t) := det U( ·, t0) nazywamy wro«skianem równania.
Równanie liniowe jednorodne
U : (a , b)2 → L(Rk) nazywamy rezolwent¡ równania liniowego.
Ma ona wªasno±ci:
∂ U(t , t
∂ t
0) = A(t)U(t , t0) ,
U(t0 , t0) = I ;
dla dowolnych t , t0 , U(t , t0) jest izomorzmem i U(t , t0) − 1 = U(t0 , t) .
W (t) := det U( ·, t0) nazywamy wro«skianem równania.
Równanie liniowe jednorodne
U : (a , b)2 → L(Rk) nazywamy rezolwent¡ równania liniowego.
Ma ona wªasno±ci:
∂ U(t , t
∂ t
0) = A(t)U(t , t0) ,
U(t0 , t0) = I ;
dla dowolnych t , t0 , U(t , t0) jest izomorzmem i U(t , t0) − 1 = U(t0 , t) .
W (t) := det U( ·, t0) nazywamy wro«skianem równania.
Równanie liniowe jednorodne
ladem operatora liniowego (macierzy) A nazywamy liczb¦
P
tr(A) =
ki=1 aii .
Tw. Liouville'a o wro«skianie
W speªnia równanie
W 0 = tr(A(t))W
czyli
Z t
W (t) = W (t0) exp
tr(A(s)) ds .
t0
Tu W (t0) = 1 .
Równanie liniowe jednorodne
ladem operatora liniowego (macierzy) A nazywamy liczb¦
P
tr(A) =
ki=1 aii .
Tw. Liouville'a o wro«skianie
W speªnia równanie
W 0 = tr(A(t))W
czyli
Z t
W (t) = W (t0) exp
tr(A(s)) ds .
t0
Tu W (t0) = 1 .
Równanie liniowe jednorodne
ladem operatora liniowego (macierzy) A nazywamy liczb¦
P
tr(A) =
ki=1 aii .
Tw. Liouville'a o wro«skianie
W speªnia równanie
W 0 = tr(A(t))W
czyli
Z t
W (t) = W (t0) exp
tr(A(s)) ds .
t0
Tu W (t0) = 1 .
Równanie liniowe niejednorodne
x 0 = A(t)x + r(t) , A jak poprzednio, r : (a , b) → Rk ci¡gªa.
Wzór na uzmiennianie staªych
Niech U b¦dzie rezolwent¡ równania. Wtedy rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0 dla r. niejednorodnego jest
Z t
ϕ(t) = U(t , t0)x0 +
U(t , s)r(s) ds
t0
Równanie liniowe niejednorodne
x 0 = A(t)x + r(t) , A jak poprzednio, r : (a , b) → Rk ci¡gªa.
Wzór na uzmiennianie staªych
Niech U b¦dzie rezolwent¡ równania. Wtedy rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0 dla r. niejednorodnego jest
Z t
ϕ(t) = U(t , t0)x0 +
U(t , s)r(s) ds
t0
Równanie liniowe niejednorodne
x 0 = A(t)x + r(t) , A jak poprzednio, r : (a , b) → Rk ci¡gªa.
Wzór na uzmiennianie staªych
Niech U b¦dzie rezolwent¡ równania. Wtedy rozwi¡zaniem zagadnienia pocz¡tkowego x(t0) = x0 dla r. niejednorodnego jest
Z t
ϕ(t) = U(t , t0)x0 +
U(t , s)r(s) ds
t0
Równanie liniowe o staªych wspóªczynnikach A(t) ≡ A dla ka»dego t . Wtedy U(t , t0) = exp((t − t0)A) P
gdzie exp B =
∞
Bn
n
.
=0 n!
Wªasno±ci eksponenty: exp(tI ) = etI , exp(B + C) = exp B exp C
ale tylko dla operatorów przemiennych BC = CB .
Równanie liniowe o staªych wspóªczynnikach A(t) ≡ A dla ka»dego t . Wtedy U(t , t0) = exp((t − t0)A) P
gdzie exp B =
∞
Bn
n
.
=0 n!
Wªasno±ci eksponenty: exp(tI ) = etI , exp(B + C) = exp B exp C
ale tylko dla operatorów przemiennych BC = CB .
Równanie liniowe o staªych wspóªczynnikach A(t) ≡ A dla ka»dego t . Wtedy U(t , t0) = exp((t − t0)A) P
gdzie exp B =
∞
Bn
n
.
=0 n!
Wªasno±ci eksponenty: exp(tI ) = etI , exp(B + C) = exp B exp C
ale tylko dla operatorów przemiennych BC = CB .
Równanie liniowe o staªych wspóªczynnikach A(t) ≡ A dla ka»dego t . Wtedy U(t , t0) = exp((t − t0)A) P
gdzie exp B =
∞
Bn
n
.
=0 n!
Wªasno±ci eksponenty: exp(tI ) = etI , exp(B + C) = exp B exp C
ale tylko dla operatorów przemiennych BC = CB .
Równanie liniowe o staªych wspóªczynnikach A(t) ≡ A dla ka»dego t . Wtedy U(t , t0) = exp((t − t0)A) P
gdzie exp B =
∞
Bn
n
.
=0 n!
Wªasno±ci eksponenty: exp(tI ) = etI , exp(B + C) = exp B exp C
ale tylko dla operatorów przemiennych BC = CB .
Tw. o postaci endomorzmu
Je»eli A ∈ L(Ck) , to Ck jest sum¡ prost¡ podprzestrzeni liniowych Xi , i = 1 , . . . , p , niezmienniczych dla A tzn.
A(Xi) ⊂ Xi , Xi = ker(A − λ iI )ni dla ka»dego i , gdzie λ i jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A , ni jest jej krotno±ci¡.
Je±li rozªo»ymy wektor pocz¡tkowy x0 na skªadowe x0 = x1 + x2 + . . . + xp , xi ∈ Xi , to dowolne rozwi¡zanie ma posta¢
Ã
!
p
X
n1 − 1
X tn
exp(tA)x0 =
e λ it
(A − λ
n!
i I )nxi
i=1
n=0
Tw. o postaci endomorzmu
Je»eli A ∈ L(Ck) , to Ck jest sum¡ prost¡ podprzestrzeni liniowych Xi , i = 1 , . . . , p , niezmienniczych dla A tzn.
A(Xi) ⊂ Xi , Xi = ker(A − λ iI )ni dla ka»dego i , gdzie λ i jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A , ni jest jej krotno±ci¡.
Je±li rozªo»ymy wektor pocz¡tkowy x0 na skªadowe x0 = x1 + x2 + . . . + xp , xi ∈ Xi , to dowolne rozwi¡zanie ma posta¢
Ã
!
p
X
n1 − 1
X tn
exp(tA)x0 =
e λ it
(A − λ
n!
i I )nxi
i=1
n=0
Tw. o postaci endomorzmu
Je»eli A ∈ L(Ck) , to Ck jest sum¡ prost¡ podprzestrzeni liniowych Xi , i = 1 , . . . , p , niezmienniczych dla A tzn.
A(Xi) ⊂ Xi , Xi = ker(A − λ iI )ni dla ka»dego i , gdzie λ i jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A , ni jest jej krotno±ci¡.
Je±li rozªo»ymy wektor pocz¡tkowy x0 na skªadowe x0 = x1 + x2 + . . . + xp , xi ∈ Xi , to dowolne rozwi¡zanie ma posta¢
Ã
!
p
X
n1 − 1
X tn
exp(tA)x0 =
e λ it
(A − λ
n!
i I )nxi
i=1
n=0
Tw. o postaci endomorzmu
Je»eli A ∈ L(Ck) , to Ck jest sum¡ prost¡ podprzestrzeni liniowych Xi , i = 1 , . . . , p , niezmienniczych dla A tzn.
A(Xi) ⊂ Xi , Xi = ker(A − λ iI )ni dla ka»dego i , gdzie λ i jest warto±ci¡ wªasn¡ operatora A , ni jest jej krotno±ci¡.
Je±li rozªo»ymy wektor pocz¡tkowy x0 na skªadowe x0 = x1 + x2 + . . . + xp , xi ∈ Xi , to dowolne rozwi¡zanie ma posta¢
Ã
!
p
X
n1 − 1
X tn
exp(tA)x0 =
e λ it
(A − λ
n!
i I )nxi
i=1
n=0
Dowolne rozwi¡zanie zespolone ma wi¦c posta¢
p
X
ϕ(t) =
Pni − 1(t)e λ it
i=1
gdzie Pj oznacza wielomian stopnia conajwy»ej j .
Je±li ϕ jest rozwi¡zaniem zespolonym równania x 0 = Ax , A rzeczywista, to jego cz¦±ci rzeczywista i urojona Re ϕ, Im ϕ s¡
rozwi¡zaniami rzeczywistymi.
Dowolne rozwi¡zanie zespolone ma wi¦c posta¢
p
X
ϕ(t) =
Pni − 1(t)e λ it
i=1
gdzie Pj oznacza wielomian stopnia conajwy»ej j .
Je±li ϕ jest rozwi¡zaniem zespolonym równania x 0 = Ax , A rzeczywista, to jego cz¦±ci rzeczywista i urojona Re ϕ, Im ϕ s¡
rozwi¡zaniami rzeczywistymi.
Dowolne rozwi¡zanie zespolone ma wi¦c posta¢
p
X
ϕ(t) =
Pni − 1(t)e λ it
i=1
gdzie Pj oznacza wielomian stopnia conajwy»ej j .
Je±li ϕ jest rozwi¡zaniem zespolonym równania x 0 = Ax , A rzeczywista, to jego cz¦±ci rzeczywista i urojona Re ϕ, Im ϕ s¡
rozwi¡zaniami rzeczywistymi.