Mechanika

Mechanika

Mechanika

kwantowa

klasyczna

relatywistyczna

Mechanika kwantowa

Mechanika klasyczna lub

Mechanika

nie opisuje trajektorii

newtonowska –

relatywistyczna lub

mikrocząsteczek, a

mechanika wyprowadzona

einsteinowska –

jedynie

z zasad dynamiki

mechanika oparta

prawdopodobieństwo

Newtona; poprawnie

na szczególnej teorii

znalezienia się

opisuje zjawiska, jeżeli

względności;

cząstki w różnych

prędkości ciał są bardzo

prędkości ciał są

punktach przestrzeni

małe w porównaniu

porównywalne z c ≈

z c ≈ 300 000 km/s

300 000 km/s

R–nie Schrödingera

R–nie Newtona

Funkcja falowa ψ

Trajektoria r=r(t)

Mechanika klasyczna:

Kinematyka – opisuje ruch ciał bez analizowania jego przyczyn Dynamika – zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał

dy def

y

∆

Ruch prostoliniowy wzdłuż osi X

f '(x) ≡

= lim

dx

x

∆ →0 ∆x

t

∆ = t − t

2

1

Ruch punktu materialnego

poruszającego

się w prawo wzdłuż osi X

∆x – droga przebyta w czasie ∆t Prędkość średnia:

Prędkość chwilowa:

∆x

∆

∆

∆

x

dx

v = lim =

v

=

x=x(t)

śr

t 0 ∆t

dt

t

∆

∆t 0

Przyspieszenie średnie:

Przyspieszenie chwilowe:

v

∆

∆v

dv

d2x

a

=

śr

a = lim = =

∆

v=v(t)

t

t 0 ∆t

dt

∆t 0

dt2

Druga pochodna to pochodna pierwszej pochodnej danej funkcji różniczkowanie

różniczkowanie

f(x) f’(x) f”(x)

2

dv

d  dx 

d x

a =

=



 =

2

dt

dt  dt 

dt

Ruch prostoliniowy jednostajny: v=const Z definicji prędkości chwilowej:

dx

dx

v =

⇒ dx = vdt

∑ → ∫

{

dt

∆x

dx – nieskończenie mała droga

t

t

∆x – skończony kawałek drogi przebyty w czasie od

∆x = ∫ dx =∫ vdt

chwili początkowej 0 sek. do chwili t sek.

0

0

t

t

v= const

x

∆ = ∫ vdt = v∫ dt = vt t = vt − v⋅0 ⇒ x − x = vt 0

0

0

0

droga x:

x = x + vt

0

b

prędkość v:

v = const

∫f(x d

) x = F(b) − F(a)

dv

a

a =

= 0 bo v = const

W

n +

dt

x 1

zo

przyspieszenie a:

a = 0

∫ xndx =

ry

n + 1

x0+1

Z definicji prędkości chwilowej otrzymujemy, poprzez

∫dx =∫ x0dx =

= x

0 + 1

całkowanie, wzór na drogę x w ruchu jednostajnym

Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny: a=const b

∫f(x d

) x = F(b) − F(a)

t

t

a

Z definicji mamy:

= dv

a

⇒ dv = adt ⇒ ∆v = ∫ dv = ∫ adt W

n +

x 1

zo

dt

∫ xndx =

ry

0

0

n + 1

przyspieszenie a:

a = const

x0+1

∫dx =∫ x0dx =

= x

0 + 1

t

t

x1+1

x2

t

1

∫

=∫

=

=

a= const

∆v = ∫ adt = a∫ dt = at = at − a⋅0 = at xdx

x dx

0

1 + 1

2

0

0

∆v = v − v ⇒ v − v = at prędkość v:

=

+

0

0

v

v

at

0

t

t

dx

{

= dx

v

⇒ dx = vdt ⇒ ∆x = ∫ dx = ∫ vdt dt

0

0

∆x

t

t

t

t

t

t

t

t

1

2

∆x = ∫ vdt = ∫ (v + at d

) t = ∫ v dt + ∫ (at d

) t = v ∫ dt + a∫ tdt = v t + at

=

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

1

2

1

2

= (v t − v ⋅ 0) + ( at − a ⋅0 ) = v t + at 0

0

2

2

0

2

1

2

1

2

∆x = v t + at → x − x = v t + at 0

2

0

0

2

t2

=

+

+

droga x:

x

x

v t

a

0

0

2

def

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

d

Przyspieszenie w ruchu po okręgu

ϕ

ω = dt

Równanie

x = r cos (

ϕ t)

{

parametryczne

=

ϕ

def dω

okręgu:

y

r sin (t)

α = dt

dx

dϕ

v =

= −r sin (

ϕ t)⋅

= −rωsin (

ϕ t)

x

dt

dt

dy

dϕ

v =

= r cos (

ϕ t)

= rωcos (

ϕ t)

y

r

dt

dt

ϕ

y

x

dv

dω

dϕ

a

x

=

= −r

⋅sin (

ϕ t) − rω⋅cos (

ϕ t)⋅

x

dt

dt

dt

Przyspieszenie normalne

r

r

α

a

2

= −ω r

n

= −rα ⋅sin ϕ − r 2

ω cos ϕ = v

2

− ω x

x

ω

skierowane do środka koła

dv

ω

ϕ

y

d

d

a =

= +r

⋅cos (

ϕ t) − rω⋅sin (

ϕ t)⋅

Przyspieszenie styczne

y

styczne

dt

dt

dt

r

α r

a =

v

t

α

ω

= rα ⋅cos ϕ − r 2

ω sin ϕ = v

2

− ω y

y

ω

równoległe lub antyrównoległe

do wektora prędkości v,

r

α r

r

2

zatem styczne do toru

a =

v − ω r

ω

W

Pochodna iloczynu dwóch lub kilku funkcji jest równa: ZO

(uv)’=u’v+uv’ gdzie u i v są dowolnymi funkcjami x RY

Stały czynnik można wynosić przed znak pochodnej: (cu)’ = cu’

dy

Pochodna funkcji złożonej: jeżeli y=f(u) i u=ϕ(x), to:

= f'(u) '

ϕ (x)

dx

x = r cos (

ϕ t)

x = r cos w i w = (

ϕ t)

x i y są złożonymi

def dϕ

ω =

y = r sin (

ϕ t)

funkcjami t

y = r sin z i z = (

ϕ t)

dt

dx

dϕ

dϕ

dϕ

v =

= (r cos w)' ⋅w' = r(cosw)' ⋅

= −r sin w ⋅

= −r

sin (

ϕ t) = −rωsin(ϕ) =

x

dt

dt

dt

dt

= −r ⋅ u

[ (t) ⋅ v(t)]

gdzie: u(t) =

(

ω t) oraz v(t) = sin (

ϕ t)

dv

 du

dv 

 d

x

ω

d



dω

ax =

= −r 

⋅ v + u ⋅

 = −r 

⋅sin ϕ + ω⋅

sin ϕ(t) = −r

⋅sin ϕ −

dt

 dt

dt 

 dt

dt



dt

dϕ

dω

− rω⋅cosϕ⋅

= −r

⋅sin ϕ − rω2 cosϕ

dt

dt

dy

dϕ

dϕ

dϕ

v =

= (r sin z)' ⋅z' = r(sin z)' ⋅

= r cos z ⋅

= r

cos (

ϕ t) = rωcos (

ϕ t) =

y

dt

dt

dt

dt

= r ⋅ u

[ (t) ⋅ s(t)]

gdzie: u(t) = (

ω t) oraz (

s t) = cos (

ϕ t)

Podobnie obliczamy ay