WSTĘP
1. Sygnały i obwody
1.1. Klasyfikacja sygnałów
1.2. Opis albo reprezentacja sygnałów.
a) reprezentacji w dziedzinie (w domenie) czasu - przebieg (wykres w funkcji czasu); mówimy
b) reprezentacji w dziedzinie (w domenie) częstotliwości - widmo amplitudy i widmo fazy; mówimy o opisie widmowym
c) reprezentacja statystyczna
ad.a). Przebieg charakteryzują : kształt (sinusoidalny, piłokształtny, prostokątny, wykładniczy itd. i opisujące go parametry), wartości chwilowe, powtarzalność czy też nie, itp.; Z kolei kształt sygnału można opisać za pomocą parametrów, np.
sinusoidalny: amplituda, częstotliwość, faza początkowa, tłumienie, przesunięcie –
offset, wartość skuteczna itd.),
ad.b)
Opis widmowy sygnału jest w ogólnym przypadku zespoloną funkcją
częstotliwości i opiera się na przekształceniu Fouriera. Widmem sygnału jest zbiór prostych drgań harmonicznych powstałych z rozkładu sygnału.
ad.c)
Opisuje się je też za pomocą właściwości statystycznych: średnia, średnia moc, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład (np. normalny Gaussa).
----------------------------------------------------------------------------------------------------
Tablica. Klasyfikacja zakresów częstotliwości podana przez Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE):
Nazwa zakresu
Częstotliwość
Długość fali
ELF (Extreme Low Frequency)
30-300 Hz
10000-1000 km
VF (Voice Frequency)
300-3000 Hz
1000-100 km
VLF (Very Low Frequency)
3-30kHz
100-10 km
LF (Low Frequency)
30-300 kHz
10-1 km
MF (Medium Frequency)
300-3000 kHz
1-0.1 km
HF (High Frequency)
3-30 MHz
100-10 m
VHF (Very High Frequency)
30-300 MHz
10-1 m
TV
UHF (Ultra High Frequency)
300-3000 MHz 100-10 cm
TV
SHF (Super High Frequency)
3-30 GHz
10-1 cm
EHF (Extreme High Frequency)
30-300 GHz
1-0.1 cm
Submilimeter wave
300-3000GHz
1-0.1 mm
W praktyce funkcjonuje uproszczony podział częstotliwości na fale radiowe (RF) do 4
GHz i mikrofale (MW) (systemy radarowe) – powyżej 4 GHz.
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
1
1.3. Generowanie, wzmacnianie, przekształcanie i transmisja sygnałów
Wzmacnianie sygnałów.
Współczynnik wzmocnienia układu (wzmacniacza) jest stosunkiem mocy sygnału wyjściowego do mocy sygnału wejściowego, przy danej częstotliwości lub w wyznaczonym zakresie częstotliwości.
P
G
o
=
(1.1)
p
P 1
Alternatywnym sposobem opisu wzmocnienia mocy jest stosunek logarytmiczny, w jednostkach zwanych bel, lub decybel . Równanie wyrażające moc w decybelach ma postać:
P
G
o
=10log
dB
(1.2)
p
P
i
Przyjęto, że, wzmocnienie napięciowe jest wyznaczane w decybelach wynosi
V
G = 20 log
o
.
dB
v
V
(1.5)
i
Przykład 1.1.
Dwa wzmacniacze o wzmocnieniach napięciowych 20 i 40 są połączone kaskadowo. Jaki jest ich wspólny współczynnik wzmocnienia wyrażony w V/V i w dB.
Obliczenie wzmocnienia wzmacniaczy
U
U
wy
wy
U
K =
=
⋅
= K ⋅ K
u
u 2
u 1
U
U
U
we
we
20
40
K
K
K
u =
u
⋅ u = 20 ⋅ 40 = 800
1
2
Wzmocnienie kaskady w decybelach
K
= 20log( K ) = 20log( K ⋅ K ) = 20log K + 20log K = K
+ K
u( dB)
u
u 1
u 2
u 1
u 2
u (
1 dB)
u 2( dB)
K
= 20lo U
g(
/ U
) dB =
(
20 log
)
20 dB ≈
dB
26
u (
1 dB)
we
K
= 20lo U
g(
/ U ) dB =
(
20 log
)
40 dB ≈ 32 dB
u 2( dB)
wy
K
= K
+ K
= 26 + 32 = dB
58
u( dB)
u (
1 dB)
u 2( dB)
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
2
C. Transmisja (przenoszenie) sygnałów
Sygnał wejściowy ulega zniekształceniu w układzie elektronicznym. Istnieją trzy podstawowe rodzaje zniekształceń: a) amplitudowe (tłumieniowe), b) fazowe i c) nieliniowe;
a) – układ wzmacnia w różnym stopniu sygnał o różnych częstotliwościach zmieniając proporcje sygnału wejściowego; zniekształcenia wprowadzone przez układ są przedstawiane za pomocą zależności amplitudy sygnałów wyjściowych w funkcji częstotliwości, przy założeniu niezmienności amplitudy sygnałów wejściowych (charakterystyka częstotliwościowa),
b) – sygnały o różnych częstotliwościach pojawiają się na wyjściu w różnym czasie,
c) – zmianie ulega kształt przebiegu sygnału; w wyniku odkształcenia przebiegu okresowego w sygnale wyjściowym są obecne się składowe, których nie było w sygnale wejściowym.
1.4. Elementy analizy układów liniowych
1.4.1. Transmitancja operatorowa:
Układ liniowy o elementach skupionych i stacjonarnych (współczynniki nie są funkcjami czasu) może być opisany za pomocą funkcji operatorowej o postaci ogólnej:
−
Y ( s)
m
m 1
b s + b
s
−
+ ...+ b s + b
b ( s − z )( s − z )...( s − z ) K ( s)
m
m 1
1
o
m
1
2
m
=
=
=
X ( s)
n
n 1
a s + a
s −
−
+ ...+ a s + a
a ( s − p )( s − p )...( s − p ) n
n 1
1
o
n
1
2
n
(1.6)
gdzie: Y(s) i X(s) – odpowiednio wyrażenia w liczniku i mianowniku transmitancji, m < n.
bi, aj – liczby rzeczywiste,
zi, pj – zera i bieguny funkcji (przy wartościach zmiennej zespolonej zi, pj, licznik oraz mianownik są równe zeru.
Transmitancja operatorowa układu jest jednoznacznie określona rozkładem zer i biegunów na płaszczyźnie zmiennej zespolonej S i stałym współczynnikiem bm /an.
(Zera i bieguny są albo rzeczywiste albo występują parami jako wielkości sprzężone – gdy są zespolone.
Sygnałami wejściowymi i wyjściowymi w układach elektronicznych są przebiegi prądów i napięć na wejściu i wyjściu układu. Przykładami transmitancji są: J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
3
U ( s)
K ( s)
2
=
- transmitancja lub wzmocnienie napięciowe,
u
U ( s)
1
I ( s)
K ( s)
2
=
- transmitancja lub wzmocnienie prądowe,
i
I ( s)
1
U ( s)
K ( s)
2
=
- transimpedancja wzmocnienie napięciowo-prądowe,
z
I ( s)
1
I ( s)
K ( s)
2
=
- transadmitancja lub wzmocnienie prądowo-napięciowe.
y
U ( s)
1
1.4.2. Transmitancja widmowa (częstotliwościowa):
W przypadku sygnałów sinusoidalnych, operatorową funkcję przejścia układu (dla stanu ustalonego)
Y ( s)
K ( s) =
(1.7)
X ( s)
gdzie: X ( s) = {
L x( t)} - operatorowa funkcja sygnału wejściowego,
Y ( s) = {
L y( t)} - operatorowa funkcja sygnału wyjściowego.
można
przekształcić
w
transmitancję
częstotliwościową
przez
formalne
podstawienie s = jω.
Y ( jω)
K ( jω) =
(1.8)
X ( jω)
Transmitancja częstotliwościowa opisuje właściwości układu w dziedzinie częstotliwości.
Postać ogólna, analogiczna do wyrażenia (1.8) jest następująca:
−
Y ( jω)
b ( jω) m + b
( jω) m 1
ω
−
+ ...+ b ( j ) + b
K ( jω)
m
m 1
1
o
=
=
X ( jω)
a ( jω) n + a
( jω) n 1
−
ω
−
+ ...+ a ( j ) + a
n
n 1
1
o
(1.9)
b ( jω − z )( jω − z )...( jω − z ) m
1
2
m
= a ( jω − p )( jω − p )...( jω − p ) n
1
2
n
Inne postaci transmitancji częstotliwościowej:
K ( jω) |
= K( jω) | [cos ϕ( ω) + j sin ϕ( ω)]
(1.10a)
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
4
ϕ
j
ω
( )
K ( jω) = P( ω) + jQ( ω) |
= K( jω) | e
(1.10b)
Transmitancja częstotliwościowa umożliwia wyznaczyć dwie podstawowe charakterystyki częstotliwościowe układu:
- charakterystykę amplitudową:
| K ( jω) |
2
= P ( ω)
2
+ Q ( ω) ,
(1.11)
- charakterystykę fazową:
Q( ω)
ϕ( ω) = arctg
.
(1.12)
P( ω)
Charakterystyka amplitudowa określa zmienność wzmocnienia (tłumienia) amplitudy sygnałów sinusoidalnych o różnych częstotliwościach. Charakterystykę amplitudową przedstawia się zazwyczaj w skali decybelowej tj. logarytmicznej przy podstawie 10.
Charakterystyka fazowa określa przesuniecie fazy sygnału wyjściowego względem fazy sygnału wejściowego przy różnych częstotliwościach.
Właściwości fazowe układu określa się za pomocą opóźnienia
ϕ
d
ω
τ ω
( )
( ) = −
ω
(1.13)
d
1.4.3. Rozkład Fouriera
Fourier wykazał, że dowolny, powtarzalny przebieg f(t) można zastąpić przez sumę (nieskończonej ilości) przebiegów sinusoidalnych o częstotliwościach będących wielokrotnością częstotliwości przebiegu podstawowego, tj. jego harmonicznymi.
f ( t) = A + A cos( ω t + ϕ ) + A cos(2 ω t + ϕ ) + A co 3
s( ω t + ϕ ) +
o
1
1
1
2
1
2
3
1
3
(1.14)
... + A cos( nω t + ϕ )
n
1
n
1
π
gdzie f =
. A ω
2
= 2 f =
1
π
1
T
1
T
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
5
Fourier pokazał też sposób obliczenia amplitud, częstotliwości oraz faz poszczególnych składowych, (Analiza Fouriera), których sumowanie daje wyjściowy przebieg okresowy (Synteza Fouriera).
1.4.4. Synteza Fouriera – odwrotny proces polegający na znalezieniu przebiegu z sumowania poszczególnych przebiegów sinusoidalnych.
A cos( nω t + ϕ ) = x sin nω + y cos nω t (1.15)
n
1
n
n
1
n
1
gdzie:
2
2
x
A =
x
+ y ,
n
ϕ
tg 1
−
=
n
n
n
n
n
y
Amplitudy xn, yn, a zatem i amplitudy i fazy wszystkich składowych harmonicznych, występujących w równaniu (1.15) wyznacza się z następujących zależności:
T
2
T
2
T
1
x
f t
( )sin( nω t) dt , y
f t
( ) cos( nω t) dt , A
f ( t) dt (1.16)
o =
∫
n =
∫
n =
∫
T
1
T
1
T
0
0
0
1.5. Analiza obwodów RC, RL i RLC przy wymuszeniu sygnałem sinusoidalnym 1.5.1. Szeregowy obwód RC zasilany z źródła napięcia przemiennego
I
UR
0
U
f =
R
U
UL
R
U
UC
U
C
U
U
R
C
f
f = 0
f
Rys. a) Schemat obwodu, b) wykres wskazowy, c) odpowiedź częstotliwościowa Wykres wskazowy:
Wektor prądu przyjęto jako odniesienie gdyż jest wspólny dla obu elementów R i C; w fazie z prądem jest napięcie na oporniku a napięcie na kondensatorze jest opóźnione w fazie o 90oel względem prądu.
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
6
| u | |
= U | cos
R
we
ϕ
| u | |
= U | sin
C
we
ϕ
X
ϕ =
1
1
ar
C
ctg
, X
=
=
R
C
C
ω
2 f
π ⋅ C
Jeśli przyjąć, że napięcie źródła ma stałą amplitudę w całym pasmie częstotliwości, to miejscem geometrycznym wierzchołka trójkąta napięć jest okrąg o promieniu |Uwe|.
Uproszczona interpretacja właściwości obwodu jest następująca:
A: Przy f = ∞ , jest: X
, u
, ϕ = 0 , u = i ⋅ R = u , kondensator C = 0
C = 0
R
we
może być uważany za zwarty a cały sygnał wejściowy odkłada się na rezystorze.
Obwód ma charakter filtru górnoprzepustowego albo charakter filtru w.cz.
Na podstawie odpowiedzi częstotliwościowej z rys. c) widać, że ze wzrostem częstotliwości napięcie na rezystancji staje się bliskie napięciu wejściowemu.
B: Przy f = 0 (zasilanie d.c.), jest: X
, u
= u
o
ϕ = 90 , i = 0 , u
,
R = 0
C = ∞
C
we
kondensator może być uważany za rozwarty a cały sygnał wejściowy odkłada się na kondensatorze. Obwód ma charakter filtru dolnoprzepustowego albo filtru m.
częstotliwości. Na podstawie odpowiedzi częstotliwościowej z rys.c) widać, że ze zmniejszaniem się częstotliwości wzrasta napięcie na kondensatorze aż staje się równe sygnałowi wejściowemu.
Analiza wzmocnienia napięciowego układu RC
I. Wzmocnienie napięciowe układu przyjmując za sygnał wyjściowy napięcie na kondensatorze.
UR
I
R
U
=U
C
U =U
we
C
wy
Równania obwodu w postaci czasowej (różniczkowe)
u
= u + u , u = u
we
R
C
wy
C
1
1
u
u
wy =
∫ idt
we = iR +
∫ idt
C
C
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
7
A. Zapis operatorowy (Laplace’a)
1
1
U ( s) = RI ( s) +
I ( s)
U
( s) =
I ( s)
we
Cs
wy
Cs
1 I( s
U
( s
)
)
wy
Cs
1
1
K ( s) =
=
=
=
u
U ( s)
1
1+ sRC
1+
we
τ
s
RI ( s) +
I ( s)
Cs
B. Zapis symboliczny
1
1
u
= iR + i(− jX ) = i( R − j
)
u
= u = i(− jX ) = − i( j
)
we
C
C
ω
wy
C
C
C
ω
1
− i j
u
−
wy
ωC
j
1
1
K ( j
=
=
=
=
=
, (1.16)
u
ω) u
1
− j +
+
we
ωRC 1 jωRC
ω
i R − j
1 + j
ωC
ω 0
1
1
gdzie: ω = π
2 f
.
o =
=
0
RC
τ
Aby zilustrować właściwości układu przy zmianach częstotliwości można wyznaczyć a następnie wykreślić: albo charakterystykę amplitudowo-fazową albo amplitudową oraz fazową rozdzielnie.
W tym celu, w drugim przypadku, można zastosowano uproszczoną metodę graficzną wyznaczając asymptoty przebiegów (dobierając odpowiednie wartości częstotliwości f względem częstotliwości charakterystycznej fo).
1 − jωRC
K ( j
=
u
ω)
1
( − jωRC 1
)( + jωRC)
(1.17)
1
ωRC
=
− j ⋅
= P( ω) + jQ( ω)
1 + ( ωRC)2
1 + ( ωRC)2
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
8
2
2
1
RC
ω
K ( jω)
u
=
+
2
2
1 + ( ωRC)
1
+ ( RC
ω
)
1
1
1
=
=
=
(1.18)
2
2
2
1 + ( RC
ω
)
ω
f
1 +
1 +
ω
f
0
0
(− ωRC 1
)( + ( ωRC))2
f
ϕ( ω) = a [
rc tg
] = a [
rc tg(− RC
ω
)] = − a [
rc tg
]
1 + ( RC
ω
)
f 0
(1.19)
Charakterystyka częstotliwościowa – amplitudowa, logarytmiczna (decybelowa) 2
1
f
K
(1.20)
u
= 20log
= 20log1− 20log 1+
dB
2
f
f 0
1 +
f 0
2
f ≈ 0
f = 0
20log1 − 20log 1 +
=
0
f
0
2
f
f = f
20log1 − 20log 1 +
0
≈ −
dB
3
0
f 0
K
dla :
u
=
dB
2
10 f
20log1− 20log 1+
0
≈ − dB
20
f = 10 f
f
0
0
2
100 f
20log1− 20log 1+
0
≈ − dB
40
f
f =
0
100 f 0
przy częstotliwości granicznej f
, rzeczywista wartość wzmocnienia jest
0 = f g
mniejsza o -3dB od wartości wynikającej z przebiegu asymptot podczas, gdy pozostałe obliczone wartości są dobrze aproksymowane przez asymptoty.
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
9
Charakterystyka fazowa zwykle jest przedstawiana we współrzędnych liniowych.
f = 0
f ≈ 0
− arc tg
=
0
f
0
f
ϕ =
−
0
arc tg
= −
0
45
dla : f = f
f
0
0
∞
− arc tg
= − 0
90
f
0
f = ∞
Charakterystyka rzeczywista jest aprosymowana odcinkami (tzw. aproksymacja odcinkowo liniowa): poziomą półprostą, odcinkiem prostej przechodzącym przez punkt
0
ϕ = 45
−
, f = f i nachylonym
450
−
/ dek oraz przy wysokich
0
częstotliwościach poziomą półprostą.
a) b)
|K |dB |K |
u
u
0,01 0,1 1 10 100
o
0 1
0
-3 ~ 0,707
f/fo
o
-20 0,1
-45
f/f
o
o
-40 0,01
-90 0,01 0,1 1 10 100
Rys.
II. Wzmocnienie napięciowe układu przyjmując za sygnał wyjściowy napięcie na oporniku.
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
10
UC
I
C
U
=U
R
U =U
we
R
wy
Równania obwodu w postaci czasowej (różniczkowe)
u
= u + u , u = u
we
R
C
wy
R
1
u
u
= i ⋅ R
we = iR +
∫ idt
C
wy
A. Zapis operatorowy (Laplace’a)
1
U ( s) = RI ( s) +
I ( s)
U
( s) = R ⋅ I ( s)
we
Cs
wy
U
( s)
wy
RI ( s)
1
1
K ( s) =
=
=
=
u
U ( s)
1
1
1
we
RI ( s) +
I ( s)
1+
1+
Cs
sRC
τ
s
B. Zapis symboliczny
1
u
= iR + i(− jX ) = i( R − j
)
u
= u = i ⋅ R
we
C
C
ω
wy
R
uwy
iR
K ( j
=
=
=
=
=
,
u
ω
1
1
1
)
u
1
1
τ
ω 0
we
i R − j
1− j
1− j
1− j
ωC
ωRC
ω
ω
1
gdzie ω
1
=
=
0
RC
τ
Wzmocnienie obwodu można wyznaczyć za pomocą rachunku zespolonego (jw.), po czym wykreślić charakterystykę częstotliwościową modułu oraz fazy ilustrujące właściwości wzmacniacza w funkcji częstotliwości. W tym celu można zastosowano uproszczoną metodę graficzną wyznaczając asymptoty przebiegów (po dobraniu odpowiednich wartości ω).
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
11
2
2
1
RC
ω
1
1
K ( jω)
u
=
+
=
=
2
2
2
2
1 + ( RC
ω
)
1
+ ( RC
ω
)
1 + ( RC
ω
)
f
1 +
f 0
(− ωRC 1
)( + ( ωRC))2
ω
ϕ( ω) + a [
rc tg
] = a [
rc tg(− ωRC)] = − a [
rc tg
]
1 + ( ωRC)
ω 0
Charakterystyka częstotliwościowa - amplitudowa
2
1
f
K
u
= 20log
= 20log1− 20log 1+
dB
2
f
f 0
1 +
f 0
2
f ≈ 0
f = 0
20 log1 − 20 log 1 +
=
0
f
0
2
f
f = f
20 log1 − 20 log 1 +
0
≈ −
dB
3
0
f 0
K
dla :
u
=
dB
2
10 f
20log1− 20log 1+
0
≈ −20 dB
f = 10 f
f
0
0
2
100 f
20log1− 20log 1+
0
≈ −40 dB
f
f =
0
100 f 0
przy częstotliwości granicznej f , rzeczywista wartość wzmocnienia jest mniejsza 0
o -3dB od wartości wynikającej z przebiegu asymptot podczas, gdy pozostałe obliczone wartości są dobrze aproksymowane przez asymptoty.
Charakterystyka częstotliwościowa – fazowa zazwyczaj jest przedstawiana we współrzędnych liniowych.
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
12
f = 0
f ≈ 0
− arc tg
=
0
f
0
f
ϕ =
−
0
arc tg
= −
0
45
dla : f = f
f
0
0
∞
− arc tg
= − 0
90
f
0
f = ∞
Charakterystyka rzeczywista jest aprosymowana odcinkami (tzw. aproksymacja odcinkowo liniowa): poziomą półprostą, odcinkiem prostej przechodzącym przez punkt
0
ϕ = 45
−
, f = f i nachylonym
450
−
/ dek oraz przy wysokich
0
częstotliwościach poziomą półprostą.
a) b)
|K |dB |K |
u
u
0,01 0,1 1 10 100
o
0 1
90
-3 ~ 0,707
f/fo
o
-20 0,1
45
f/f
o
o
-40 0,01
0 0,01 0,1 1 10 100
Rys.
................................................................................................................................
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
13
a) b)
R
IR
U
C
U
I
C
R
C
c) L
d)
IL
U
R
U
I
R
L
R
1
1
K ( s) =
;
K ( s) =
u
1 + sRC
u
L
1 + s R
Rys. Obwody RC i RL realizujące jednobiegunową funkcję dolnoprzepustową
a) C
b)
U
R
U
I
R
C
R
c) R
d)
IR
U
L
U
I
L
R
L
s
s
K ( s) =
;
K ( s) =
u
1
u
R
s +
s +
RC
L
Rys. Obwody RC i RL realizujące jednobiegunową funkcję górnoprzepustową
J.Piłaciński: Materiały pomocnicze do wykładu
14