Wybrane problemy

zastosowania rachunku operatorowego w analizie układów liniowych

(w przykładach obiczeniowych)

Problem 1:

Sposoby odwracania transformaty laplace'a

1. Sposoby wykorzystujące bezpośrednio wzór na przekształcenie ℒ ^-1:

,

gdzie prosta Res=c leży w obszarze zbieżności transformaty F(s)

2. Sposoby szczególne dla funkcji wymiernych
   (o współczynnikach rzeczywistych i stopniu licznika mniejszym od stopnia mianownika)

B1. Metoda rozkładu na ułamki proste

, dla t>0,

gdzie

B2. Metoda residuów

, dla t>0,

gdzie

Wzór pomocniczy:

Np.

.

Zadanie 1.1

Znaleźć odwrotne transformaty Laplace'a metodą residuów.

1. 
   ;

2. 
   ;

3. 
   ;

4. 
   ;

5. 
   .

Rozwiązanie

Prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeśli transformata Laplace'a F(s) oryginału f(t) jest funkcją holomorficzną na całej płaszczyźnie zespolonej z wyjątkiem skończonej liczby punktów osobliwych s₁, s₂, ... , s_n oraz

,

to dla t > 0

.

Na podstawie powyższego twierdzenia, przy szukaniu odwrotnej transformaty funkcji wymiernej
metodą residuów, gdzie L(s) i M(s) są wielomianami względnie pierwszymi i stopień wielomianu M(s) jest wyższy od stopnia wielomianu L(s), a pierwiastkami wielomianu M(s) są s₁, s₂, ..., s_n o krotnościach l₁, l₂, ..., l_n, posługujemy się następującym wzorem

gdzie

.

Uzbrojeni w przedstawione powyżej narzędzie znajdujemy po kolei transformaty odwrotne.

Funkcja ta posiada tylko jeden biegun s₀=0.

Zatem, dla czasów t>0, mamy

.

Funkcję możemy zapisać w następujący sposób:

.

Funkcja ta posiada 2 bieguny urojone sprzężone s₁=j oraz s₂=-j.

Wyliczamy, że dla t>0, mamy

Funkcja posiada 3 bieguny (w tym jeden podwójny): s₁=0, s₂=-1 oraz s₃=s₄=-2.

Zatem, dla czasów t>0, mamy

.

Funkcja posiada 2 bieguny (z czego jeden jest potrójny): s₁=-1 oraz s₂=s₃=s₄=-2.

Mamy zatem, dla czasów t>0,

.

Ta funkcja nie jest funkcją wymierną, ale jest iloczynem funkcji wymiernej F₁(s)=1/s i różnicy „czynników
przesunięcia w czasie” (porównaj z własnością transformaty funkcji przesuniętej w czasie). Gdybyśmy już znali f₁(t), to napisalibyśmy, właśnie na podstawie wspomnianej własności i na podstawie własności liniowości przekształcenia, że

.

Zatem do dzieła. Znajdźmy f₁(t).

Funkcja F₁(s)= 1/s posiada tylko jeden biegun s₀=0.

Dla czasów t>0 znajdujemy:

.

Bardziej formalnie, dla dowolnego t mamy:

.

Teraz musimy wziąć pod uwagę przesunięcie w czasie. Uzyskujemy

.

Przykład ostatni pokazuje, że w połączeniu z własnościami przekształcenia Laplace'a możliwe jest wykorzystanie metody residuów do odwracania nie tylko transformat będących funkcjami wymiernymi. Ważne, by w oparciu o odpowiednie własności dało się problem sprowadzić do odwracania funkcji wymiernych, a jeżeli nie, to przynajmniej do odwracania funkcji holomorficznych zerujących się w nieskończoności.

Problem 2:

Zasady komutacji

Zadanie 2.1

W układzie jak na rysunku należy wyznaczyć warunki początkowe, tzn. u_c1(0⁺) i u_c2(0⁺).

Przyjąć:

,
.

Rozwiązanie

Gdybyśmy przyjęli, że 0=u_c1(0^-)=u_c1(0⁺)=U₁⁺ i 0=u_c2(0^-)=u_c2(0⁺)=U₂⁺, czyli gdybyśmy założyli ciągłość napięcia na kondensatorach, to po zamknięciu klucza, dla chwili 0⁺, mielibyśmy następujące „równanie” NPK:

E-0-0 = 0.

Ponieważ, z założenia, E≠0, więc otrzymaliśmy sprzeczność.

Zaniechajmy wymagania ciągłości napięcia na kondensatorach.

Wymagajmy, by była jednak przynajmniej spełniona zasada zachowania ładunku.

Z zasady tej wnosimy, ze powinno zachodzić:

q₁-q₂=0.

Stąd wynika, że

(*)

Uwzględniając NPK:

uzyskujemy z zależności (*), że:

,
.

Analizowany tu przypadek należy uznać za zdegenerowany.

W zdegenerowanych przypadkach stosować:

zasadę ciągłości strumienia dla induktora,

prawo zachowania ładunku dla kondensatora.

Przy podejściu operatorowym wystarczy stosować regułę ciągłości prądu induktora i napięcia kondensatora (gdyby nie była spełniona, metoda operatorowa to „naprawi”).

Problem 3:

Odpowiedzi: aperiodyczna krytyczna, aperiodyczna, oscylacyjna

Zadanie 3.1

W układzie przedstawionym na rysunku do chwi­li włączenia klucza K (w chwi­­li t=0) pano­wał stan ustalo­ny.

Wyznaczyć i wykreślić prze­bieg u_C(t) napię­cia na pojemno­ści C przy róż­nych wartościach elementów w u­kła­dzie.

Rozwiązanie

Dla t<0 w układzie panował stan ustalony związany z pobu­dze­niem sinusoidalnym. Do jego rozwiązania zastosować możemy analizę wskazową. Obok przed­­sta­wiono zastę­p­czy schemat dla amplitud zespo­lonych.

Zapisujemy równanie równo­wagi napięć w oczku prawym (jest oczywiste, że Î=J):

.

Ponieważ

,

więc

.

Z zapisanego wcześniej równania, po uwzględnieniu ostatniej równości, obliczamy

_,

_.

Daje to następujące przebiegi czasowe (dla t<0):

,
,

i warunki początkowe

,
,
.

Dla t≥ 0 właściwym podejściem może być analiza operatorowa. Schemat operato­ro­wy przedstawia się nastę­pująco.

Na podstawie NPK zastoso­wanych do lewego i pra­wego oczka piszemy na­stę­­pujące równania równowagi napięć:

,
.

Rozwiązanie względem I₂ jest następujące:

.

Stąd już łatwo wyznaczamy

.

W szczególności dla

L_u=0

mamy

I₂(s)=0 i
i₂(t)=0 i u_C(t)=0,

,

gdzie

.

Załóżmy dalej, że

L_u>0

i przyjrzyjmy się zależności na U_C(s).

W mianowniku wyrażenia na U_C(s) występuje trójmian, którego rozkład na czynniki zależy od wartości jego wyróżnika

.

Możliwe są następujące sytuacje.

1°
	gdy
		.
	Wtedy
		,
		,
		.

2°
	gdy
		.
	Wtedy
		,
		,
		.

3°
	gdy
		.
	Wtedy
		,
		,

Na poniższym rysunku przedstawiono szkice przebiegu u_C(t) w poszczególnych przypadkach.

Z przypadkiem 1^o zwanym oscylacyjnym jest związany przebieg czerwony, z przypadkiem 2^o zwanym aperiodycznym krytycznym jest związany przebieg narysowany czarną linią przerywaną, zaś z przypadkiem 3^o zwanym aperiodycznym jest związany przebieg narysowany czarną linią ciągłą.

Problem 4:

Transmitancje, charakterystyki czasowe, splot, odpowiedź ustalona na pobudzenie sumą sinusoid

Zadanie 4.1

W pewnym obwodzie odpowiedź wymuszona na pobudzenie x(t) wynosi y(t). Oblicz odpowiedź impulsową h(t) tego obwodu, gdy x(t)=1(t) sin(2πt) i y(t)=1(t) cos(2πt).

Rozwiązanie

Wiadomo, iż

.

Obliczmy transformaty:

,
.

Już łatwo znajdujemy, że

.

Obliczmy ponownie:

Odpowiedź y(t) można też obliczyć, korzystając z operacji splatania. Uzyskujemy:

Zadanie 4.2

Układ liniowy stacjonarny, znajdujący się od bardzo długiego czasu w stanie swobodnym (czyli od długiego czasu nie pobudzony ), jest scharakteryzowany odpowiedzią impulsową
. Obliczyć odpowiedz y(t) tego układu na pobudze­nie
.

Rozwiązanie

1. 
   Rozwiązanie splotem

Wiadomo, iż - gdy warunki początkowe są zerowe - prawdziwa jest zależność:

.

Ponieważ zarówno sygnał x(t) jak i h(t) jest przyczynowy, więc y(t) też będzie przyczynowy.

Formalnie jednak:
. Poniżej przedstawiono sygnały x(t), h(t).

Na kolejnych rysunkach przedstawiamy sygnały x(τ), h(t- τ) oraz x(τ)h(t- τ) dla różnych wartości czasu t.

..
	..
..

...
....	.
	....

..	.. Przedstawione rysunki sugerują że: dla t≤1 Całka z funkcji równej zero wynosi zero. dla t-2≤0 i t-1>0, czyli dla 1<t≤2 iloczyn podcałkowy x(τ)h(t- τ) jest przedstawiony w prawej kolumnie w trzecim wierszu. Całka z tego iloczynu jest polem trójkącika narysowanego linia ciągłą, wynosi ono: . dla 2<t≤3 (rysunek w 3. wierszu 1. kolumny na tej stronie) całka splo­towa ma interpretację pola trapezu:
..

4. dla t-2≤2 i t-1>2 czyli dla 3<t≤4 iloczyn podcałkowy x(τ)y(t- τ) wygląda jak na rysun­ku w 3. wierszu lewej kolumny na poprzedniej stronie, a całka z tego iloczynu to nic innego, jak pole trapezu z tego rysunku, czyli:

5. dla t-2>2 czyli dla t>4 mamy z tych samych samych powodów, co w przypadku 1.:

.

Ostatecznie poprzez składanie wyników cząstkowych, uzyskujemy:

2. Rozwiązanie operatorowe

Idee pomysłu przedstawia powyższy rysunek.

Mamy:

Pamiętając, że

oraz

znajdujemy:

.

Mimo innej postaci zapisu, jest to oczywiście wynik identyczny jak w I. sposobie rozwiązania. II. sposób rozwiązania można też traktować jako obliczanie splotu przy użyciu rachunku operatorowego i twierdzenia o transformacji splotu.

3. Rozwiązanie „konstrukcyjne”

Narysujmy, na podstawie znajomości odpowiedzi impulsowej h(t) schemat blokowy rozważanego układu. Oto dwa przykładowe schematy blokowe realizujące odpowiedź impulsową
.

Na podstawie drugiego schematu blokowego wyznaczamy:

Obliczamy:

Wynik, co bardzo łatwo sprawdzić, jest identyczny z otrzymanym sposobem I i II.

Na koniec wykreślimy rezultat splatania.

Zadanie 4.3

Dla układu o odpowiedzi impulsowej h(t)=1(t)-1(t-10) wyznaczyć i naszkicować:

1. odpowiedź na pobudzenie x_a(t)= 1(t),

2. odpowiedź na pobudzenie x_b(t)= 1(t)^.cos(2t),

3. odpowiedź na pobudzenie x_c(t)= cos(2t).

Rozwiązanie

Sygnały wymuszające x(t) są w przypadkach a) i b) przyczynowe, to znaczy dla t<0 mamy x(t)=0. Również układ jest układem przyczynowym, bo dla t<0 zachodzi h(t)=0. Dlatego przypadki a) i b) możemy rozwiązać, stosując przekształcenie Laplace'a i przeprowadzając obliczenia w dziedzinie pulsacji zespolonej s.

Mamy kolejno:

,

,

.

Oznaczmy odpowiedzi na pobudzenia x_indeks(t) przez y_indeks(t), a transformaty Laplace'a tych odpowiedzi przez Y_indeks(s).

Możemy zapisać:

,

.

Z twierdzenia o transformacie L sygnału opóźnionego natychmiast wnosimy, że:

,

.

W przypadku c) mamy do czynienia z pobudzeniem nieprzyczynowym. Zatem bezpośrednie zastosowanie przekształcenia Laplace'a nie wchodzi w grę. Wybierzmy naturalne n i zapytajmy, co by się stało, gdyby układ pobudzono sygnałem

.

Na podstawie wyniku punktu b) wnosimy, że wtedy

,

gdyż

i układ badany jest stacjonarny (niewrażliwy na przesunięcie osi czasu; charakterystyka impulsowa układów niestacjonarnych jest funkcją dwóch zmiennych!!!).

Zauważmy, że dla

t>-n+10

mamy

x_d(t)=0.

Pobudzenie

x_c(t)= cos(2t)

możemy traktować jako

,

zaś odpowiedź na nie jako

,

bo

.

Mimo, że znamy już odpowiedź dla pobudzenia x_c(t), nie zakończymy na tym rozwiązania.

Zapytajmy, czy można inaczej wyznaczyć y_c(t). Zauważmy, że pobudzenie x_c(t)= cos(2t) „rozpoczyna się” dla t=-∞. Zatem dla skończonego czasu t możemy obserwować tylko ustaloną składową odpowiedzi, bo składowa przejściowa już zanikła. Oznacza to, że obliczane y_c(t) jest odpowiedzią ustaloną na zadane pobudzenie.

Tekst od miejsca >>>>>>>>> do miejsca <<<<<<<< łatwiej zrozumieć, gdy znana jest analiza wskazowa i przechodzenie sygnału sinusoidalnego przez układ liniowy.

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Ponieważ x_c(t)= cos(2t) jest sygnałem sinusoidalnym (i przykładem przebiegu złożonego z sumy sygnałow sinusoidalnych), a do wyznaczenia odpowiedzi na pobudzenie okresowe i prawie okresowe możemy wykorzystać zasadę superpozycji i wiedzę o przechodzeniu sygnałów sinusoidalnych przez układ liniowy, więc tak postąpimy.

Jak wiemy:

Wymuszony składnik ustalony odpowiedzi obwodu liniowego na pobudzenie sinusoidalne jest sinusoidalny. Aby obliczyć amplitudę tego składnika należy amplitudę pobudzenia przemnożyć przez wzmocnienie A(_) obwodu, zaś fazę zwiększyć o przesunięcie fazy obwodu (_).

Ilustruje to poniższy rysunek.

Przejdźmy zatem do konkretów. Obliczamy:

,

,

.

Wykresy funkcji A() i () zamieszczono poniżej. Odczytujemy z nich, że można przyjąć, iż

A(_)=0 i (_)=0,

gdzie

.

Wartość A(_) sprawdzimy jeszcze bezpośrednio rachunkiem.

.

Teraz już szybko zapisujemy:

.

Potwierdziły się nasze wcześniejsze obliczenia.

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Operacją matematyczną, która pozwoliłaby jednolicie potraktować przypadki a), b) i c) jest operacja splotu sygnałów. Odpowiedź y(t) na pobudzenie x(t) jest wtedy obliczana następująco:

.

Dla przypadku c) obliczenie wyglądałoby następująco:

.

Czytelnikowi proponuje się, by samodzielnie obliczył tym sposobem odpowiedzi w przypadkach a) i b).

Teraz przedstawiamy szkice odpowiedzi y_a, y_b i y_c.

DYGRESJA. W ogólnym przypadku (np. wtedy, gdy pobudzenie nie byłoby dy­skret­ną sumą sinusoid) właściwym apara­tem mate­ma­tycznym dla wyznaczania odpo­wiedzi ustalonej pozostaje przekształcenie Fouriera F. Dla przypadku c) obli­cza­li­byś­my następująco:

,

,

Zatem

.

I tym razem wypadło zero!

Koniec dygresji.

Problem 5:

Odpowiedź czasowa, transmitancje, charakterystyki częstotliwościowe w  programach analizy symulacyjnej i symbolicznej

Zadanie 5.1

Wyznaczyć, stosując programy komputerowe odpowiedzi czasowe i częstotliwościowe, zrealizowanego na wzmacniaczu operacyjnym układu całkującego.

Rozwiązanie

(Wykonać dwie demonstracje)

C:\Documents and Settings\Czes\Moje dokumenty\Zloza&Zasoby\MojePoty\CwiczTechnAnalog04\Zadania&SkanyNaCwiczenia\StanyNieustaloneNowy\Calkujacy.cir

(uruchomić MicroCAP, uruchomić plik ” Calkujacy.cir”)

C:\Documents and Settings\Czes\Moje dokumenty\Zloza&Zasoby\MojePoty\CwiczTechnAnalog04\Zadania&SkanyNaCwiczenia\StanyNieustaloneNowy\SNAP_zadwykla.cir

(uruchomić Editor, uruchomić plik ”SNAP_zadwykla.cir”)

Oryginałem jest funkcja przyczynowa, spełniająca warunki Dirichleta i wykładniczo ograniczona.

Funkcję f(z) nazywamy holomorficzną w punkcie z₀, jeżeli ma ona pochodną w pewnym otoczeniu tego punktu, tj. istnieje otoczenie punktu z₀, w którym istnieje pochodna funkcji f(z). Jeżeli funkcja jest holomorficzna w każdym punkcie pewnego zbioru, to mówimy, ze jest ona holomorficzna w tym zbiorze.

Czytelnik powinien dogłębnie zastanowić się nad sytuacją opisaną w tej ramce

tu suma jest jednoskładnikowa; gdyby była wieloskładnikowa, dla każdego sinusoidalnego składnika postępowalibyśmy analogicznie. Na koniec dodalibyśmy obliczone odpowiedzi na poszczególne składniki sinusoidalne

© Czesław Stefański		Dodatek z OiS dla EiT i AiR	KSEM WETI PG, Gdańsk 2011
	4_KilkaProblOpAnObw_2011.doc		Strona 74

C₁

C₂

e(t)

q₁

q₂

t=0

i₁

i₂

t=0

j(t)

K

M

u_C(t)

L

L

R

C

j_oMÎ₂

j_oMÎ₁

R

j_oL

j_oL

Î₁

Î₂

Û_C

J

i₂₀M

sMI₂(s)

sMI₁(s)

i₂₀L

R

sL

sL

I₁(s)

I₂(s)

U_C(s)

t

1°

2°

3°

u_C(t)

h(t)

x(t)

y(t)

2

t

x(t)

)

2

2

1

1

h(t)

t

2



x()

)

2

2



x()

)

2

t-2

t-1

1

h(t-)



t-1≤0 => t≤1

t-2

t-1

h(t-)



t-1>0,

t-2≤0

=>1< t≤2

1

τ

x(τ )h(t- τ) dla t≤1

τ

x(τ )h(t- τ) dla 1<t≤2

t-1

t-1

2



x()

)

2

2



x()

)

2

t-2

t-1

h(t-)



t-1≤2,

t-2>0

=>2< t≤3

1

t-2

t-1

h(t-)



t-1>2,

t-2≤2

=>3< t≤4

1

τ

x(τ )h(t- τ) dla 2<t≤3

t-1

t-2

t-2

t-1

τ

x(τ )h(t- τ) dla 3<t≤4

2

t-2

t-2

2

2



x()

)

2

t-2

t-1

1

h(t-)



t-1>2,

t-2>2

=> t>4

τ

x(τ )h(t- τ) dla t>4

h(t)

L

Y(s)=X(s)H(s)

Dziedzina czasu

L

L

y(t)

L ^-1

Y(s)

x(t)

y(t)=x(t)*h(t)

Dziedzina

pulsacji zespolonej s

Dziedzina czasu

H(s)

Opóźnienie o 1

Opóźnienie o 1

∫

+

-

1(t-2)

y(t)

y(t)=

δ(t)

1(t-1)

1(t)

x(t)

1(t-1)-1(t-2)

Opóźnienie o 1

Opóźnienie o 1

∫

+

-

x(t-1)

δ (t-2)

x(t-2)

1(t-1)-1(t-2)

δ(t-1)

δ(t)

x(t)

y(t)

y(t)=

t

1

2

3

4

z(t)

z₂(t)

z₁(t)

z(t)

1

-1

y(t)

t

δ(t)

δ'(t)

x(t)

x'(t)

h(t)

H(s)|_s=jH(j)=A()∙exp(j∙())

X_m∙cos(₀∙t+)

X_m∙A(_)∙cos(₀∙t+(_))

A()

(

/

/

y_a(t)

t

y_b(t)

y_c(t)

---