Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Z1

1. A, B, C są zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej. Wyrazić poniższe zdarzenia za pomocą A, B i C:

(a) Zajdzie tylko zdarzenie A;

(b) Zajdą zdarzenia A i C, ale nie zajdzie B;

(c) Zajdzie co najwyżej jedno ze zdarzeń A, B, C;

(d) Zajdzie co najmniej jedno ze zdarzeń A, B, C;

2. A i B są zdarzeniami z tej samej przestrzeni probabilistycznej takimi, że 1

1

2

P (A0) =

, P (A ∩ B) =

, P (A ∪ B) =

.

3

4

3

Obliczyć P (B0) oraz P (A ∩ B0).

3. Urna zawiera 3 kule czerwone i 4 białe. Losujemy 3 kule (bez zwracania). Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

(a) Wszystkie wylosowane kule będą czerwone;

(b) Wylosowane zostaną 2 kule czerwone i 1 biała;

(c) Wszystkie wylosowane kule będą w tym samym kolorze.

4. Rzucamy monetą symetryczną dopóki po raz pierwszy nie wypadnie reszka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucimy parzystą liczbę razy?

5. Rzucamy pięć razy symetryczną kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach największa zaobserwowana liczba oczek będzie:

(a) równa 4;

(b) nie większa niż 4.

6. Ustawiamy w pewnej kolejności n różnych przedmiotów, gdzie n ≥ 2. Następnie mieszamy je ze sobą i ustawiamy ponownie w przypadkowy sposób. Zakładając, że wszystkie ustawienia są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z tych przedmiotów stoi na poprzednio zajmowanym miejscu.

7. Olgierd i Paris przyjdą, niezależnie od siebie, do czytelni czasopism w ciągu najbliższej godziny. Olgierd spędzi tam 12 minut, a Paris – 24 minuty.

(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że Olgierd i Paris spotkają się?

(b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że Paris przyjdzie po 10 minutach od chwili przyjścia Olgierda.

8. Wybieramy losowo punkt A kwadratu [−1; 1] × [−1; 1]. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że:

(a) Suma odległości punktu A od osi układu współrzędnych jest większa od 0.5 ; 1

(b) Mniejsza ze współrzędnych nie przekracza

.

3