Modele liniowe: podsumowanie

Model jest liniowy względem parametrów, jeśli każda z pochodnych cząstkowych zmiennej objaśnianej względem parametrów jest niezależna od wszystkich parametrów modelu.

Zalety modelu liniowego:

„ prosta interpretacja

„ łatwość estymacji i weryfikacji

„ często dobre przybliżenie nieliniowych zależności zachodzących w gospodarce Ekonometria 110010-0609

1

Modele nieliniowe: klasyfikacja

† modele nieliniowe względem

zmiennych:

„ przedefiniowanie zmiennych

† modele nieliniowe względem

parametrów:

„ linearyzowane

„ ściśle nieliniowe (np. funkcja logistyczna, funkcje Törnquista)

Ekonometria 110010-0609

2

Estymacja: nieliniowa MNK

† bardzo często stosowana w praktyce ekonometrycznej

† oszacowania minimalizują sumę kwadratów

[ y – f ( θ , θ , …, θ )]2

i

i

1

2

m

† najbardziej popularna wersja: metoda Newtona–Raphsona oraz jej warianty

† estymatory są zgodne i mają graniczny rozkład normalny (przy założeniu normalności rozkładu składników losowych) Ekonometria 110010-0609

3

Estymacja: MNW

† oszacowania parametrów wyznaczane są poprzez maksymalizację funkcji

wiarygodności

† jeśli obserwacje dokonywane są niezależnie i spełnione są cztery założenia twierdzenia o zgodności i asymptotycznej normalności estymatorów, to estymator wektora parametrów θ spełniający równanie

∂logL/∂θ = 0 jest zgodny i asymptotycznie efektywny

Ekonometria 110010-0609

4

Nieliniowe modele trendu

† trend wykładniczy:

= α ⋅α t

y

⋅ ε

0

1

† trend logarytmiczny:

y = α + α ⋅ ln t + ε

0

1

α

† trend logistyczny:

y =

+ ε

1+ β

γ

⋅ − ⋅ t

e

Modele te są szczególnie użyteczne w prognozowaniu: nie występuje problem nieznanych wartości zmiennych objaśniających Ekonometria 110010-0609

5

Trend logistyczny: własności

† dla t > 0 wartość funkcji rośnie, najpierw szybko, potem wolniej i stabilizuje się przy asymptocie poziomej

† parametr a > 0 interpretowany jest jako poziom nasycenia zmiennej y

† jeśli jednostką miary jest procent poziomu nasycenia (maksymalnego poziomu) zmiennej y, przyjmuje się a = 100; do oszacowania pozostają parametry b i c Ekonometria 110010-0609

6

Przykład: abonenci telefoniczni

Liczba abonentów telefonicznych w Polsce w latach 1980 – 2004:

14000

12000

10000

8000

6000

4000

2000

0

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

Ekonometria 110010-0609

7

Przykład: abonenci telefoniczni

TLG = c(1) / [1 + c(2) * EXP(c(3) * t)]

Oszacowanie

Odchylenie

Statystyka

parametru

standardowe

t-Studenta

c(1)

31875,130 13083,920

2,436

c(2)

28,524

8,819

3,235

c(3)

-0,122

0,016

-7,600

R2 = 0,976

Ekonometria 110010-0609

8

Trend logistyczny: zastosowania

† zjawiska demograficzne: liczba ludności, nabór na studia

† sprzedaż rynkowa nowych produktów, zwłaszcza wysokiej technologii

† liczba klientów, np. abonentów telefonicznych

† tempo rozwoju ośrodków przemysłowych

† wydajność pracy w zależności od stażu pracy

† medycyna, farmakologia i inne nauki empiryczne

Ekonometria 110010-0609

9

Modele trendu: podsumowanie

Jeśli otrzymujesz sprzeczne wyniki, to mów, że trend się utrzyma.

Ekonometria 110010-0609

10

Funkcje produkcji

† funkcja produkcji wyraża zależność między nakładami czynników produkcyjnych (najczęściej dwóch: pracy L i kapitału K) a wielkością (lub wartością) wytworzonego produktu Y

† najczęściej opisywana jest funkcją nieliniową:

„ funkcja Cobba – Douglasa (linearyzowana)

„ funkcja CES (ang. constant elasticity of substitution; ściśle nieliniowa)

„ funkcja Zellnera – Revankara (ściśle nieliniowa) Ekonometria 110010-0609

11

Cechy funkcji produkcji

† dodatnia produkcyjność krańcowa czynników produkcji

† malejąca względem nakładów danego czynnika produkcyjność krańcowa

czynników produkcji

† rosnąca – w miarę zwiększania nakładów jednego z czynników – produkcyjność krańcowa pozostałych czynników produkcji

† wzajemna zastępowalność czynników produkcji

† jednorodność stopnia r

Ekonometria 110010-0609

12

Funkcja Cobba – Douglasa

Y = a ⋅

b

K ⋅ c

L ⋅ ε

gdzie a, b, c >0

† wykładniki b i c są interpretowane jako elastyczności produkcji względem nakładów, odpowiednio, kapitału i pracy

† funkcja jest jednorodna stopnia b + c

† przychody skali są stałe i równe b + c

† krańcowa stopa substytucji jest funkcją technicznego uzbrojenia pracy (K/L)

† elastyczność substytucji jest stała i równa 1

Ekonometria 110010-0609

13

Funkcja Cobba – Douglasa

† dynamiczna postać funkcji Cobba – Douglasa: Y = a ⋅

b

K ⋅ c

L ⋅ d⋅ t

e

⋅ε

gdzie a, b, c >0

† parametr d > 0 interpretowany jest jako efekt postępu technicznego i organizacyjnego; przy niezmienionych poziomach K i L, względny przyrost poziomu produkcji Y z okresu na okres wynosi

(Yt – Yt-1)/Yt-1 = ed – 1

Ekonometria 110010-0609

14

Przykład: przemysł w Poddębicach Na podstawie danych z lat 1971 – 1993

oszacowano następujący model:

ln(Yt) = 2,02 + 0,33 ln(Lt) + 0,80 ln(Kt) +

0,22 Z1t + 0,09 Z2t

„ Y – produkcja (tys. sztuk) zakładu w Poddębicach

„ L – zatrudnienie (os.)

„ K – majątek produkcyjny (mln zł)

„ Z1 – 1 dla nowej technologii (od 1996)

„ Z2 – 1 dla lat, w których nieczynna była fabryka w Aleksandrowie Łódzkim (1991–1993) Źródło: Ekonometria. Zbiór zadań, red. A. Welfe Ekonometria 110010-0609

15