Zadania do rozwiązania
Prowadzący: Małgorzata Borzyszkowska
TEST I
Zaobserwowano kwartalny przychód (yt - tys. zł) firmy przewozowej BUS w zależności od ilości posiadanych busów (xt1
szt.) oraz od średniej ceny paliwa (xt2 - zł/litr). Dane statystyczne tych zmiennych przedstawia poniższa tabela: okres
2009:1
2009:2
2009:3
2009:4
2010:1
2010:2
2010:3
2010:4
2011:1
2011:2
2011:3
2011:4 2012:1
2012:2 2012:3
yt
447
455
468
502
600
850
899
910
985
1002
951
928
---
---
---
Xtl
10
10
11
11
12
15
16
17
18
18
16
16
17
17
16
Xt2
4,20
4,35
4,60
4,68
4,72
4,79
4,81
4,85
4,96
5,10
5,35
5,59
5,62
5,68
5,82
Oszacowano model: Tabela 1
Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 2009:1-2011:4 (N =12) Współczynnik Błąd stand.
cons
t-Studenta
wartość p
-571,399
154,009
t
-3,7102
0,00484
***
65,57865,1263
x1
12,7926
<0,0001
***
81,127941,3488
x2
1,9620
0,08138
*
Średn.aryt.zm.zależnej
749,7500
Odch.stand.zm .zależnej
231,7868
Suma kwadratów reszt
11362,41
Błąd standardowy reszt σ
35,53154
Wsp. determ. R-kwadrat
0,980773
Skorygowany R-kwadrat
0,976501
F(2, 9)
229,5518
Wartość p dla testu F
1,89e-08
Logarytm wiarygodności
-58,14622
Kryt. inform. Akaike'a
122,2924
Kryt. bayes. Schwarza
123,7472
Kryt. Hannana-Quinna
121,7539
Autokorel.reszt - rho1
0,173587
Stat. Durbina-Watsona
1,610062
Tabela 2
Przedziały ufności ocen parametrów dla t ( 9 , 0 , 0 2 5 ) = 2 , 2 6 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Zmienna
Współczynnik 95% Przedział ufności
const
-571,399
-919,791
-223,006
x1
65,5786
53,9821 77,1751 -12,4096
x2
81,1279
174,666
a) Zapisz założoną postać modelu.
y
+ β
+ ζ
t = β0 + β1xt1
2xt2
t t = 1, 2, … 12 ; T = 12
b) Zapisz oszacowaną postać modelu.
^
yt = -571,399 + 65,5786 xt1 + 81,1279 xt2 + ζt
±154,009 ±5,1263 ±41,3488
c) Zinterpretuj oceny parametrów strukturalnych i określ jaką miarę reprezentują.
^ ^ ^
β0 = -571,399 β1 = 65,5786 β2 = 81,1279
yt – tyś zł β0 − tyś zł β1 − sztuki β2 − zł/litr Jeżeli ilość posiadanych busów wzrośnie o jedną sztukę, a cena paliwa pozostanie bez zmian to kwartalny przychód firmy wzrośnie o 65,5786 tyś zł z błędem +/- 5,1263 tyś zł
Jeżeli cena paliwa wzrośnie o 1 zł na litr przy nie zmienionej liczbie busów to kwartalny przychód firmy wzrośnie o 81,1279 tyś zł z błędem +/- 41,3488 tyś zł
Parametr wolny ukształtował się na poziomie -571,399 z błędem +/- 154,009 tyś zł
d) Poklasyfikuj zmienne modelu oraz model według poznanych kryteriów.
Podział zmiennych:
yt – zmienna zależna, wyjaśniana, endogeniczna, skutek
xt1, xt2 – zmienna niezależna, objaśniająca, egzogeniczna, przyczyny Klasyfikacja modelu: jednorównaniowy, stochastyczny, liniowy, statyczny, przyczynowo - skutkowy, prosty
e) Liczba stopni swobody w powyższym modelu wynosi... T – (k + 1) = 12 – (2 + 1) = 9
T – ilość obserwacji, k – ilość zmiennych
f) Wyznacz teoretyczny poziom przychodu firmy w IV kwartale 2010 roku. Oblicz resztę dla tego okresu.
yt2010:4 = 910 xt1 2010:4 = 17 xt2 2010:4 = 4,85
^
^ ^
yt2010:4 = -571,399 + 65,5786 * 17 + 81,1279 * 4,85 = 936,9075 ζt = yt2010:4 - yt2010:4
^
ζt = 910 – 936,9075 = -26,9075
g) Zapisz i zinterpretuj wariancję reszt modelu.
σ − z tabelki – błąd standardowy reszt
σ = 35,53154 σ2 = 35,531542 = 1262,490335 tyś zł2
Interpretacja: średnio kwadratowe odchylenie wartości teoretycznych od rzeczywistych kwartalnych przychodów firmy wynosi 1262,490335 tyś zł2
h) Zapisz i zinterpretuj średni błąd reszt modelu oraz współczynnik zmienności losowej.
( ^ - teoretyczne, bez daszka rzeczywiste) ^
σζ = ± 35,53154
Wartości teoretyczne przychodu firmy odchylają się od ich wartości rzeczywistych średnio o ± 35,53154 tyś zł (wartość z tabeli – Błąd standardowy reszt)
^
σζ 35,53154
V= ---- = ------------- =* 100% = 4,73% yt – z tabeli – Średn.aryt.zm.zależnej yt 749,7500
Błąd standardowy reszt stanowi 4,73% przeciętnego poziomu przychodu firmy i) Zapisz i zinterpretuj współczynnik determinacji i indeterminacji (zbieżności).
Współczynnik determinacji – z tabeli – Wsp. Determ. R – kwadrat – 0,980773
R2 = 0,980773 R2 + ϕ2 = 1 ==> ϕ2 = 1 − R2 = 0,019227
R2 0,980773 części rzeczywistej zmienności przychodu zostało wyjaśnione przez model empiryczny ϕ2 0,019227 części rzeczywistej zmienności przychodu nie zostało wyjaśnione przez model empiryczny j) Zapisz i zinterpretuj skorygowany współczynnik determinacji i indeterminacji (zbieżności).
Z tabeli – Skorygowany R- kwadrat – 0,976501 ^
_ _ _ _ σ 2
ζ
R2 = 0,976501 ϕ2 = 1 − R2 = 0,023499 ϕ2 = −−−−
σ 2
ζ
0,976501 części rzeczywistej zmienności przychodu firmy zostało wyjaśnione przez oszacowany model po odjęciu efektu pozornego wyjaśnienia
Wariancja resztowa modelu stanowi 0,023499 wariancji zmiennej wyjaśnianej - przychodu k)
Zapisz hipotezy braku istotności indywidualnej parametrów strukturalnych, wyniki zinterpretuj Korzystamy z tabeli nr 2 tα = t (9, 0,025) = 2,262 oraz wartość t-Studenta dla zmiennych z tabeli pierwszej dla β1 wartość x1 = 12,7926 oraz dla β2 wartość x2 = 1,9620
Dot: β1
Dot: β2
Hipoteza 0
H0: β1 === 0 − nieistotny
Hipoteza 0
H0: β2 === 0 − nieistotny
Hipoteza A
HA: β1 =/= 0 − istotny
Hipoteza A
HA: β2 =/= 0 − istotny
|t(β1)| = x1 = 12,7926 > tα = 2,262
|t(β2)| = x2 = 1,9620< tα = 2,262
P – z tabeli 1 dla x1
P – z tabeli 1 dla x2
P=0,00001 < α=0,05
P=0,08138 > α=0,05
Wartość statystyki t jest większa niż wartość
Wartość statystyki t jest mniejsza niż wartość
krytyczna więc odrzucamy H0 na rzecz HA,
krytyczna więc brak podstaw do odrzucenia H0
Parametr β1 istotnie różni się od zera i ilość
tzn parametr β2 nie różni się istotnie od zera
posiadanych busów wywiera istotny wpływ
i cena paliwa nie wywiera istotnego wpływu na
na przychód firmy
na przychód firmy
l) Zapisz hipotezę braku łącznej istotności parametrów strukturalnych, wynik zinterpretuj.
Nie zrobione
m) Zapisz i zinterpretuj przedziały ufności dla parametrów strukturalnych przy zmiennych objaśniających
Korzystamy z tabeli nr 2 tα = t (9, 0,025) = 2,262
β1 P{53,9821<= β1 <= 77,1751} = 0,95
Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział o końcach <53,9821 ; 77,1751> pokrywa nieznaną wartość parametru β1 - oszacowanie dokładne dlatego, że końce przedziału są dodatne β2 P{-12,4096<= β2 <= 174,666} = 0,95
Z prawdopodobieństwem 0,95 przedział o końcach <-12,4096 ; 174,666> pokrywa nieznaną wartość parametru β2 - cena za litr nie będzie miała wpływu na zysk firmy dlatego, że koniec przedziału ujemny