”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010

11. Liczby kardynalne

Zadanie 11.1 Wykazać, że dla dowolnych liczb kardynalnych m i n zachodzi

m ≤ m + n

oraz

n ≤ m + n .

Zadanie 11.2 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p zachodz¸a zwi¸azki

( a) m + n = n + m

( b) m + (n + p) = (m + n) + p.

Zadanie 11.3 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n, p i r zachodz¸a

( a) m ≤ n ∧ p ≤ r = ⇒ m + p ≤ n + r;

( b) m + n < m + p = ⇒ n < p .

Zadanie 11.4 Udowodnić, że zachodz¸a zwi¸azki

( a) ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0;

( b) ∀ n ∈ N ℵ 0 + n = ℵ 0 .

Zadanie 11.5 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p nie zachodz¸a

( a) m + p = n + p = ⇒ m = n (”prawo skreśleń”);

( b) m < n = ⇒ m + p < n + p (”prawo monotoniczności”) .

Zadanie 11.6 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m i n zachodzi

m < n = ⇒ ∃ liczba kardynalna p 6= 0 : m + p = n

oraz implikacja odwrotna nie jest prawdziwa.

Zadanie 11.7 Udowodnić, że dla liczb kardynalnych m, n i p zachodzi

m ≤ n ⇐⇒ ∃ p : m + p = n .

Zadanie 11.8 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p zachodz¸a

( a) m · n = n · m;

( b) m · (n · p) = (m · n) · p;

( c) m · (n + p) = m · n + m · p .

Zadanie 11.9 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n, p i r zachodz¸a

( a) m ≤ n ∧ p ≤ r = ⇒ m · p ≤ n · r;

( b) m · n < m · p = ⇒ n < p .

Zadanie 11.10 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m i n zachodz¸a

( a) n 6= 0 = ⇒ m ≤ m · n,

( b) n 6= 0 = ⇒ m ≤ n · m.