”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010, zaj¸ecia wspomagaj¸ace

11. Liczby kardynalne

Zadanie 11.1 Udowodnić, że zachodz¸a zwi¸azki

( a) ℵ 0 · ℵ 0 = ℵ 0;

( b) ∀ n ∈ N \ { 0 } ℵ 0 · n = ℵ 0 .

Zadanie 11.2 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p nie zachodz¸a

( a) (m · p = n · p ∧ p 6= 0) = ⇒ m = n (”prawo skreśleń”); ( b) (m < n ∧ p 6= 0) = ⇒ m · p < n · p (”prawo monotoniczności”) .

Zadanie 11.3 Udowodnić, że dla liczby kardynalnej m zachodz¸a zwi¸azki

( a) m0 = 1;

( b) m 6= 0 = ⇒ 0m = 0;

( c) m1 = m;

( d) 1m = 1.

Zadanie 11.4 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p zachodz¸a

( a) (mn)p = mn · p;

( b) (m · n)p = mp · np;

( c) mn+p = mn · mp .

Zadanie 11.5 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n i p zachodzi

m ≤ n = ⇒ mp ≤ np .

Zadanie 11.6 Udowodnić, że dla dowolnych liczb kardynalnych m, n, p i r zachodzi

(m ≤ n ∧ p ≤ r ∧ n 6= 0) = ⇒ mp ≤ nr .

Zadanie 11.7 Wykazać, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi

|A| + |B| = |A ∪ B| + |A ∩ B|.

Zadanie 11.8 Wykazać, że przedziaÃl ( −π , π ) ⊂ R jest mocy continuum.

2

2

Zadanie 11.9 Wykazać, że każdy przedziaÃl otwarty ( a, b) ⊂ R, gdzie a < b jest mocy continuum.

Zadanie 11.10 Wykazać, że każdy przedziaÃl domkni¸ety [ a, b] ⊂ R, gdzie a < b jest mocy continuum.

Zadanie 11.11 Udowodnić, że jeżeli A i B s¸a zbiorami mocy continuum, to A ∪ B jest zbiorem mocy continuum.

Zadanie 11.12 Czy istnieje zbiór A taki, że |P( A) | = ℵ 0?