”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010
4. Zbiory i dziaÃlania na nich II Zadanie 4.1 Niech f , g: R → R oznaczaj¸a dowolne funkcje. Niech A = {x ∈ R | f ( x) = 0 }, B = {x ∈ R | g( x) = 0 } i C = {x ∈ R | f ( x) + g( x) = 0 }. Czy zachodz¸a nast¸epuj¸ace zwi¸azki: (a) A ⊆ C,
(b) B ⊆ C,
(c) A ∪ B ⊆ C,
(d) A ∩ B ⊆ C.
S
T
Zadanie 4.2 Znajdź
∞
A
∞
A
n=1
n oraz
n=1
n dla ci¸
agu zbiorów An, n ∈ N \ { 0 } określonych nast¸epuj¸aco:
(a) An = {x ∈ R : x ≤ n}; (b) An = {x ∈ R : −n ≤ x ≤ n}; (c) An = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1 }; n
(d) An = {x ∈ R: 1 ≤ x ≤ n}; n
(e) An = {x ∈ R : n < x < n 2 + 1 }.
Zadanie 4.3 Udowodnić nast¸epuj¸ace równości:
[ [
[ [
\ \
\ \
(a)
Aik =
Aik;
(b)
Aik =
Aik;
i∈I k∈K
k∈K i∈I
i∈I k∈K
k∈K i∈I
Ã
!
[
\
(c) \
Ai =
( \Ai) (uogólnione prawo De Morgana); i∈I
i∈I
Ã
!
\
[
(d) \
Ai =
( \Ai) (uogólnione prawo De Morgana); i∈I
i∈I
Ã
!
Ã
!
[
[
\
\
(e)
( Ai ∩ B) = B ∩
Ai ;
(f)
( Ai ∪ B) = B ∪
Ai .
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
S
T
Zadanie 4.4 Znajdź
A
A
t∈ R
t oraz
t∈ R
t dla ci¸
agu zbiorów At, t ∈ R określonych nast¸epuj¸aco: (a) At = {x ∈ R : |x − 2 | ≤ t 2 }; (b) At = {x ∈ R : |x − 2 | ≤ t 2 − 6 t + 11 }; (c) At = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ t 2 }.
Zadanie 4.5 Niech ε > 0 i niech Aq, q ∈ Q b¸edzie indeksowan¸a rodzin¸a zbiorów Aq =
S
( q − ε, q + ε) dla q ∈ Q. Wykazać, że A
q∈ Q
q = R.
Zadanie 4.6 Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, jeżeli: 1
1
(a) A = {x ∈ R | 34 x 2 − 3 x+12 < ( ) − 40 x 2 }, B = {x ∈ R | ( ) − 9 x 2 − 8 x+3 < 7 − 7 x 2 }; 3
7
(b) A = {( x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 2 }, B = {( x, y) ∈ R2 | x + y > 0 }.
∞
\ [
∞
[ \
Zadanie 4.7 Znajdź
An i
An dla ci¸agu przedziaÃlów An ⊆ R, n ∈ N \ { 0 }
m=1 n≥m
m=1 n≥m
określonych nast¸epuj¸aco:
(a) An = ( − 3 + ( − 1) n, 0); (b) An = ( − 3 + ( − 1) n, ( − 1) n); ( − 1) n
(c) An = ( − 3 + ( − 1) n,
).
n