”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010

4. Zbiory i dziaÃlania na nich II Zadanie 4.1 Niech f , g: R → R oznaczaj¸a dowolne funkcje. Niech A = {x ∈ R | f ( x) = 0 }, B = {x ∈ R | g( x) = 0 } i C = {x ∈ R | f ( x) + g( x) = 0 }. Czy zachodz¸a nast¸epuj¸ace zwi¸azki: (a) A ⊆ C,

(b) B ⊆ C,

(c) A ∪ B ⊆ C,

(d) A ∩ B ⊆ C.

S

T

Zadanie 4.2 Znajdź

∞

A

∞

A

n=1

n oraz

n=1

n dla ci¸

agu zbiorów An, n ∈ N \ { 0 } określonych nast¸epuj¸aco:

(a) An = {x ∈ R : x ≤ n}; (b) An = {x ∈ R : −n ≤ x ≤ n}; (c) An = {x ∈ R : 0 < x ≤ 1 }; n

(d) An = {x ∈ R: 1 ≤ x ≤ n}; n

(e) An = {x ∈ R : n < x < n 2 + 1 }.

Zadanie 4.3 Udowodnić nast¸epuj¸ace równości:

[ [

[ [

\ \

\ \

(a)

Aik =

Aik;

(b)

Aik =

Aik;

i∈I k∈K

k∈K i∈I

i∈I k∈K

k∈K i∈I

Ã

!

[

\

(c) \

Ai =

( \Ai) (uogólnione prawo De Morgana); i∈I

i∈I

Ã

!

\

[

(d) \

Ai =

( \Ai) (uogólnione prawo De Morgana); i∈I

i∈I

Ã

!

Ã

!

[

[

\

\

(e)

( Ai ∩ B) = B ∩

Ai ;

(f)

( Ai ∪ B) = B ∪

Ai .

i∈I

i∈I

i∈I

i∈I

S

T

Zadanie 4.4 Znajdź

A

A

t∈ R

t oraz

t∈ R

t dla ci¸

agu zbiorów At, t ∈ R określonych nast¸epuj¸aco: (a) At = {x ∈ R : |x − 2 | ≤ t 2 }; (b) At = {x ∈ R : |x − 2 | ≤ t 2 − 6 t + 11 }; (c) At = {( x, y) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ t 2 }.

Zadanie 4.5 Niech ε > 0 i niech Aq, q ∈ Q b¸edzie indeksowan¸a rodzin¸a zbiorów Aq =

S

( q − ε, q + ε) dla q ∈ Q. Wykazać, że A

q∈ Q

q = R.

Zadanie 4.6 Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B i B \ A, jeżeli: 1

1

(a) A = {x ∈ R | 34 x 2 − 3 x+12 < ( ) − 40 x 2 }, B = {x ∈ R | ( ) − 9 x 2 − 8 x+3 < 7 − 7 x 2 }; 3

7

(b) A = {( x, y) ∈ R2 | x 2 + y 2 ≤ 2 }, B = {( x, y) ∈ R2 | x + y > 0 }.

∞

\ [

∞

[ \

Zadanie 4.7 Znajdź

An i

An dla ci¸agu przedziaÃlów An ⊆ R, n ∈ N \ { 0 }

m=1 n≥m

m=1 n≥m

określonych nast¸epuj¸aco:

(a) An = ( − 3 + ( − 1) n, 0); (b) An = ( − 3 + ( − 1) n, ( − 1) n); ( − 1) n

(c) An = ( − 3 + ( − 1) n,

).

n