”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010, zaj¸ecia wspomagaj¸ace 7. Funkcje i ich wÃlasności I

Zadanie 7.1 Czy nast¸epuj¸ace relacje s¸a funkcjami:

(a) R ⊆ N × Z, xRy ⇔ x 3 = y 2;

(b) R ⊆ R+ × R+, xRy ⇔ x 2 = y 2;

(c) R ⊆ R × R, xRy ⇔ x = 2 y;

Zadanie 7.2 Czy poniższe zbiory s¸a funkcjami:

(a) {( x, A) ∈ R × P(R) : x ≥ 0 ∧ ( ∀ a ∈ A x = a 2) }; (b) {( A, B) ∈ P(N) × P(N) : A ∪ B = N }; (c) {( A, B) ∈ P(N) × P(N) : A ∪ B = N ∧ A ∩ B = ∅}; (d) {( A, B) ∈ P(N) × P(N) : A ∩ B = ∅}.

Zadanie 7.3 Wyznaczyć dziedzin¸e funkcji:

x

(a) f ( x) =

;

|x|

p

(b) f ( x) =

log0 . 5( x 2 − 9) + 4;

(d) f ( x) = log(3 x 2 − 4 x + 5);

Zadanie 7.4 Niech f : X → Y , g: Y → Z b¸ed¸a funkcjami takimi, że g jest injekcj¸a i g ◦ f jest surjekcj¸a. Wykazać, że f jest surjekcj¸a.

Zadanie 7.5 Czy dana funkcja jest injekcj¸a i czy jest surjekcj¸a?

(a) f : R → R, f ( x) = x 3 − x 2; (c) f : Z → Z, f ( n) = n 3;

(d) f : R → R2, f ( x) = ( x + 1 , 2 x + 1); ½ √x + 1 , gdy x ∈ R

(e) f : R → R, f ( x) =

+;

2 x,

gdy x ∈ R \ R+;

½ n + 2 , gdy n ∈ Par;

(f) f : Z → Z, f ( n) =

n,

gdy n ∈ Z \ Par;

(g) f : Z 2 → Z, f ( m, n) = m 2 − n; (h) f : R2 → R2, f ( x, y) = ( x + y, x − y).

Zadanie 7.6 Niech f : X → Y b¸edzie injekcj¸a i niech g: Y → Z b¸edzie surjekcj¸a. Czy g ◦ f jest surjekcj¸a?

Zadanie 7.7 Niech f : A → B × C b¸edzie surjekcj¸a. Czy skÃladowe f , funkcje f 1: A → B i f 2: A → C też s¸a surjekcjami?

Zadanie 7.8 Niech f : X 1 → Y 1, g: X 2 → Y 2 b¸ed¸a funkcjami. Wykazać, że jeżeli f i g s¸a injekcjami (odpowiednio surjekcjami, bijekcjami), to funkcja f ×g jest injekcj¸a (odpowiednio surjekcj¸a, bijekcj¸a).

Zadanie 7.9 Wykazać, że skÃladanie funkcji nie jest operacj¸a przemienn¸a.