”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010, zaj¸ecia wspomagaj¸ace 9. Indukcja matematyczna i rekursja

Zadanie 9.1 Udowodnić, że dla liczb naturalnych zachodzi: n

X

n( n + 1)

(a) dla każdego n ≥ 1,

i =

;

2

i=1

n

X

n

(b) dla każdego n ≥ 1,

i 2 =

( n + 1)(2 n + 1);

6

i=1

n

X

n 2

(c) dla każdego n ≥ 1,

i 3 =

( n + 1)2;

4

i=1

n

X

(d) dla każdego n ≥ 1,

i i! = ( n + 1)! − 1;

i=1

n

X 1

1

(e) dla każdego n ≥ 1,

≤ 2 − ;

i 2

n

i=1

2 n

X

(f) dla każdego n ≥ 1,

( − 1) i+1 i = −n;

i=1

n

X

n

(g) dla każdego n ≥ 1,

( ai + b) =

( an + ( a + 2 b));

2

i=1

(h) dla każdego n ≥ 4, 2 n < n!;

(i) dla każdego n > 3, 3 n > n 2 + 23; (j) dla każdego n ≥ 6, 6 n + 6 < 2 n; (k) dla każdego n ≥ 8, 3 n 2 + 3 n + 1 < 2 n; (l) dla każdego n ≥ 10, n 3 < 2 n; (m) dla każdego n ≥ 3, n 2 ≥ 2 n + 1; (n) dla każdego n ∈ N, liczba 22 n+1 + 3 n + 7 jest podzielna przez 9; (o) dla każdego n ≥ 1, liczba n 3 + 2 n jest podzielna przez 3.

(p) dla każdego n ≥ 1, liczba 32 n− 1 + 1 jest podzielna przez 4; (q) dla każdego n ≥ 1, liczba 11 n+1 + 122 n− 1 jest podzielna przez 133; (r) dla każdego n ≥ 1, liczba 8 n − 1 jest podzielna przez 7; (s) dla każdego n ≥ 1, liczba 9 n − 1 jest podzielna przez 8; (t) dla każdego n ≥ 1, liczba 3 n + 3 n+1 + 3 n+2 jest podzielna przez 13; (u) dla każdego n ≥ 1, liczba 22 n + 11 jest podzielna przez 3; (w) dla każdego n ≥ 1, liczba 34 n− 2 + 52 n− 1 jest podzielna przez 14; (x) dla każdego n ≥ 1, liczba sin 2 nx jest podzielna przez cos x; (y) dla każdego n ≥ 2, liczba 22 n − 6 jest podzielna przez 10; (z) dla każdego n ≥ 1, dla każdych a, b ∈ R, a, b ≥ 0, an + bn ≤ ( a + b) n.

Zadanie 9.2 Udowodnić, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.