1. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego przez punkty A = , 1
(
)
1 , B = ( ,
0 2) i stycznego do
okręgu ( x − )
5 2 + ( y − )
5 2 = 16
2. Dane są dwie proste: ax − 4 y + b = 0 , 4 x − ay + 1 = 0 . Dla jakich wartości a i b proste te są: a) równoległe,
b) prostopadłe,
c) pokrywające się?
3. Wektor AB = [ ,
6 4] jest podstawą trójkąta równoramiennego o wierzchołku C = (
)
3
,
2
i wektorze wysokości CD = [− , 2 ]
3 . Znaleźć równania boków tego trójkąta.
1
4. W trójkącie ABC dane są wektory: AD = [ , 4 2] i DE = − ,
3
oraz punkt D =
,
3
( 2) .
2
Znaleźć równania boków trójkąta wiedząc, Ŝe punkty E i D są odpowiednio środkami boków: BC i CA.
5. Napisać równanie prostej stycznej do paraboli x 2 = 16 y i prostopadłej do prostej x + 2 y −16 = 0 .
6. Napisać równanie stycznej do hiperboli 4 2
2
x − y = 36 , równoległej do prostej 3 x − y − 17 = 0 .
7. Znaleźć miejsce geometryczne punktów przecięcia wysokości trójkąta o stałej podstawie AB = 2 a , którego wierzchołek C ślizga się po prostej równoległej do podstawy i oddalonej od podstawy o a .
8. Czy zdefiniowane działanie definiuje grupę w podanym zbiorze: ab
a) a ⊕ b =
zbiór R+
a + b
a
b
b) a ⊗ b =
+
zbiór R \
}
0
{
b
a
c)
log
a
b
a ∗ b
55
log5
= 5
zbiór R+
9. Czy poniŜszą tabelkę moŜna uzupełnić tak, aby zbiór { a, b, }
c z działaniem określonym otrzymaną tabelką był grupą.
a)
b)
a b c
a b c
a
a b c
a
a b c
b b c
b b a
c
c
c
c
10. Sprawdzić, czy dana funkcja ϕ jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć jądro i obraz.
a) ϕ( a) 3
= a
ϕ : M
→ M , M =< R \ }
0
{ , • >
b) ϕ( x) = log x
ϕ : G
G
G
R
G
R
1
→ ,
2
1 =<
+ , • >,
2 =<
, + >
c) ϕ( )
A = det( )
A
ϕ : G
G
G
M
G
R
1
→ ,2
1 =<
,
n x n • >,
2 =<
,• >
Przy czym G naleŜy rozumieć jako zbiór macierzy nieosobliwych stopnia n o 1
elementach rzeczywistych
11. Udowodnić, Ŝe funkcja ϕ : Z
→ Z , określona wzorem ϕ( x) = x − 5 jest izomorfizmem z grupy < Z , + > na grupę < Z , ⊕ > , gdzie x ⊕ y = x + y + 5 , dla x, y ∈ Z .
12. W pierścieniu Z wykonać dzielenie z resztą: 5
a) 4
x + 4 3
x + 2 2
x + 3 x + 4
przez
3
2
x + x + 2 x + 2
b) 4 4
2
x + x + x + 1
przez 3 4
3
x + x + 4 2
x + 1
c) 5
x + 4 4
x + 3 2
x + 2
przez 2 3
x + x + 4
13. Czy istnieje odwzorowanie ϕ : G
→ G będące homomorfizmem?
1
2
G =
,
0 ,
1 ,
2 ,
3 ,
4 5 , +
G =
,
1 ,
2 ,
3 ,
4 ,
5 6 ,•
2
{
}
1
{
} 6
7
14. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy:
1 3
0
2
0
1
3
2
2
a) 0 2 −1
b) 0
4
0
c) 1
0
2
0 0 − 4
− 5 0 − 2
−1 −1 0
15. Napisać macierze przejścia z bazy B do bazy
/
B odpowiednich przestrzeni liniowych: a)
3
V = R
B = (
{ ,1 ,00),( ,0 ,10),( ,0 ,0 )1} /
B = (
{ ,3 ,34),(− ,1 ,22),( ,1 ,1 )1}
b) V = R [ x] B = { x + , 1 x + ,
2
2
x + }
1
/
B = {
2
x + ,
3 x + ,
4 x }
2
16. Wyznaczyć współrzędne wektorów w podanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych, wykorzystując macierze przejścia z baz standardowych do baz danych
−−>
a)
3
V = R
v = ( ,
0 ,
1 0)
/
B = (
{ ,1 ,10),( ,2 ,13),( ,0 ,2 )1}
b) V = R [ x]
2
p = x + x + 2
B / = { x 2 − ,
1 x 2 + ,
1 2 − 2 }
x
2