3.5m
α
130 kN
V
β
A
HB
VB
Obliczenie reakcji:
RA = VB = HB = 130 kN
Równania sił przekrojowych: 0 < α < 180°
M(α) = RA 3.5 (1 - cosα)
Q(α) = RA sinα
N(α) = - RA cosα
0 < β < 90°
M(β) = VB 3.5 (sinβ - cosβ +1) Q(β) = -VB cosβ - HB sinβ
N(β) = VB sinβ - HB cosβ
Obliczenia zapisujemy w tabelce: α M kNm Q kN N kN
0
0.0
0.0 -130.0
45
133.3
91.9
-91.9
90
455.0 130.0
0.0
135
776.7
91.9
91.9
180
910
0.0 130.0
β
M
Q
N
0
0.0 -130.0 -130.0
45
455.0 -183.8
0.0
90
910.0 -130.0 130.0
Wykresy:
130
91.92
91.92
91.92
455
133.3
91.92
776.7
130
910
M
Q
130
N
130
183.8
455
130
130
A. Zaborski, Łuk
Łuk paraboliczny
45 kN/m
y
15 kN/m
1.5 m
α
x
HA
HB
VA
VB
3 m
3 m
Obliczenie reakcji:
HA = HB = 52.5 kN, VA = 26.25 kN, VB = 63.75 kN
Równanie łuku:
y(x) = a x2 + b x +c, z warunakami: y(0) = 0, y(3) = 1.5 m, y(6) = 0, sk d: y(x) = -1/6 x2 + x
pochodna:
y’(x) = 1 – x/3 = tgα
Równania sił przekrojowych: 0 < x < 3 m
M(x) = 26.25 x – 52.5 y
Q(x) = 26.25 cosα - 52.5 sinα
N(x) = -26.25 sinα - 52.5 cosα
3 m < x < 6 m
M(x) = 26.25 x – 52.5 y – 45/2 (x – 3)2 + 30/3 1/6 (x – 3)3
Q(x) = 26.25 cosα - 52.5 sinα - 45 (x – 3) |cosα| + 30/3 ½ (x –3)2 |cosα|
N(x) = -26.25 sinα - 52.5 cosα - 45 (x – 3) |sinα| + 30/3 ½ (x –3)2 |sinα|
Obliczenia prowadzimy w tabelce: x [m] y [m]
α
cosα
sinα
M
Q
N
0 0.000
0.7854
0.7071
0.7071
0.00 -18.56 -18.56
1 0.833
0.5880
0.8321
0.5547 -17.50
-7.28 -29.12
2 1.333
0.3218
0.9487
0.3162 -17.50
8.30 -41.50
3 1.500
0.0000
1.0000
0.0000
0.00 26.25 -52.50
4 1.333 -0.3218
0.9487 -0.3162 14.17
3.56 -54.15
5 0.833 -0.5880
0.8322 -0.5547 10.83
-7.28 -67.95
6 0.000 -0.7854
0.7071 -0.7071
0.00
-7.95 -82.20
Sprawdzenie, czy pochodna momentu zginaj cego po współrz dnej zwi zanej z osi pr ta jest równa sile poprzecznej, np. w pierwszym przedziale: dM( s)
dM( x) d x
=
= 26.25 cos α − 52.5 tg α cos α = 26.25 cos α − 52.5sin α = Q( s) d s
d x
d s
17.5
17.5
M
14.17 10.83
41.5
52.5
ekstremum M
29.12
54.15 67.95
26.25
18.56
N
82.2
8.301
3.56
7.28
Q
7.28
7.95
18.56
A. Zaborski, Łuk Przykład osi racjonalnej łuku parabolicznego q
f
HA
HA
N
RA
l
Okre lamy równanie osi łuku w postaci paraboli 2. stopnia o strzałce równej f i rozpi to ci l oraz obliczamy reakcje jak dla układu 3-przegubowego: 4 f
2
y = −
−
=
=
.
2 ( x 2
lx)
ql
ql
, R
, H
l
A
A
2
8 f
Równanie momentów zginaj cych ma posta : 2
2
qx
ql
ql
4
2
f
qx
M ( x) = R x A − H y
A
−
=
x −
−
( 2 x − lx − = = .
2
)
0
2
2
8 f
l
2
Je li moment zginaj cy jest to samo ciowo równy zero, to i siła poprzeczna musi by to samo ciowo równa zero i łuk pracuje jedynie na ciskanie. Łuk o takiej osi nazywamy łukiem o osi racjonalnej.