Karta wzorów
Kolokwium nr 2  18.01.2007
+"
K
Wartość średnia
n
n
•X = xk P(X = xk ) = xn p(x)dx
"
+"
k =1
-"
+"+"
K L
E X Y = xk yl P(X = xk ,Y = yl ) = xk yl p(x, y)dxdy
""
+" +"
k=1 l=1
-"-"
n
n-ty moment centralny
µn = •(X - •X )
2 2
Wariancja
W(X ) = •X - (•X )
Odchylenie standardowe
à X = W(X )
Unormowany współczynnik kowariancja •[(X - •X )(Y - •Y )] •X Y - •X•Y
Á = = =
korelacji
dyspersja à XÃY à XÃY
L
Rozkład brzegowy
P(X = xk ) =
"P(X = xk ,Y = yl )
l=1
+"
P(x) = p(x, y)dy
+"
-"
+"
K
Warunek normalizacyjny dla
P(X = xk ) = p(x)dx = 1
"
zmiennej jednowymiarowej +"
k=1
-"
+"+"
K L
Warunek normalizacyjny dla
""P(X = xk ,Y = yl ) = p(x, y)dxdy = 1
zmiennej dwuwymiarowych +" +"
k=1 l=1
-"-"
Rozkład warunkowy P(X = xk ,Y = y1)
P(X = xk | Y = y1) =
P(Y = y1)
K
Åšrednia warunkowa
• X = xk P(X = xk | Y = y1)
"
|y1
k =1
z
Dystrybuanta
F(z) = P(X < z) = p(x)dx
+"
-"
Gęstość dF(x)
p(x) =
prawdopodobieństwa
dx
+"
K
Funkcja charakterystyczna
j½ X j½xk j½x
Õx(½ ) = •e =
"e P(X = xk ) = p(x)dx
+"e
k=1
-"
+Ä„
1
- j½xk
P(X = xk ) =
+"e Õx(½ )d½
2Ä„
-Ä„
+"
1
- j½x
p(x) =
+"e Õx(½ )d½
2Ä„
-"
n
ëÅ‚ öÅ‚
d Õx(½ )÷Å‚
n
ìÅ‚
•X = j-n n
ìÅ‚ ÷Å‚
d½
íÅ‚ Å‚Å‚½ =0
Nierówność Czebyszewa
P(X e" 1)d" •X
•X
P(X e" µ )d"
µ
W(X )
P(X - •X e" µ)d"
2
µ
1
P(X - •X e" kà )d"
x
2
k
Rozkład Poissona
r
•X = 
P(X = r)= e-
r!
W(X ) = 
 = ÁT
Á -  czÄ™stotliwość zdarzenia
T - okres w którym badamy
-(x-Ä… )2
Rozkład Normalny (Gaussa)
1 2
2Ã
p(x) = e
à 2Ą
Ä… = •X - Å›rednia (punkt Å›rodkowy)
à = W(X ) - rozmycie (odchylenie standardowe)
Rozkład Bernoulliego
n
ëÅ‚ öÅ‚
n-k
P(X = k) = ìÅ‚ ÷Å‚ pk (1- p)
ìÅ‚k ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
•X = np
W(X ) = np(1- p)
Twierdzenie graniczne Jeżeli X są niezależnymi zmiennymi losowymi o
i
jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej
µ 2
i skończonej wariancji à to zmienna losowa postaci:
n
- µ)
"(X i
i=0
à n
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu
normalnego gdy n rośnie do nieskończoności.