Wykład 2.
Transformata Fouriera
Transformata Fouriera jest podstawowym narzędziem analizy harmonicznej i teorii analizy i przetwa-
rzania sygnału. Z punktu widzenia teorii matematycznej transformata Fouriera jest narzędziem występu-
jącym w przypadku analizy przestrzeni L2(G), funkcji całkowalnych z kwadratem na grupie przemiennej
G. W zastosowaniach transformaty Fouriera używamy najczęściej gdy G = R (grupą są liczby rzeczy-
wiste z dodawaniem), G = [0, 2Ą] (grupą są liczby rzeczywiste z przedziału [0, 2Ą], z utożsamionymi
końcami, działaniem jest dodawanie modulo 2Ą) oraz G = Zn (grupą są liczby całkowite {0, 1, . . . , n- 1}
z dodawaniem modulo n). Transformata Fouriera przetwarza funkcję z danej przestrzeni w ten sposób, że
wyeksponowane są jej własności okresowe, częstotliwościowe (tak zwane spektrum funkcji). Przekształce-
nie jest bezstratne, i funkcja może zostać zrekonstruowana ze swojej transformaty Fouriera. Transformata
Fouriera po raz pierwszy pojawiła się przy okazji badania zjawiska przepływu ciepła, obecnie pojawia
siÄ™ w wielu dziedzinach matematyki i w wielu praktycznych zastosowaniach. Opiszemy teraz kolejno wy-
mienione wyżej konkretne przykłady. Tradycyjnie zastosowanie transformaty Fouriera oznacza się przez
dodanie do symbolu funkcji daszka Ć.
(a) Transformata Fouriera w L2(R). Transformata zadana jest wzorem

Ć
(2.1) f(¾) = f(x) e-ix¾ dx, f " L2(R).
R
Ć
W tym przypadku transformata jest przekształceniem L2(R) w siebie, f " L2(R). Przekształcenie
odwrotne do transformaty, czyli rekonstrukcja funkcji dane jest podobnym wzorem

1
Ć
f(x) = f(¾) ei ¾x d¾.
2Ä„
R
Prawdziwa jest następująca równość, często nazywana równością Plancherela.
"
Ć
f = 2Ä„ f .
Przykład. Obliczymy transformatę funkcji charakterystycznej odcinka [-1, 1]

1 x " [-1, 1]
f(x) =
0 x " [-1, 1].
/
Podstawiamy do wzoru

1
1
1 1 2sin¾
Ć
f(¾) = f(x)e-ix¾ dx = e-ix¾ dx = e-ix¾ x=-1 = e-i¾ - ei¾ = .
-i¾ -i¾ ¾
R -1
Funkcja podcaÅ‚kowa f(x)e-ix¾ może nie być caÅ‚kowalna na R (zaÅ‚ożyliÅ›my tylko że jest caÅ‚kowalna
z kwadratem). Wtedy transformatę możemy wyliczyć ze wzoru

M
Ć
(2.1 ) f(¾) = lim f(x) e-ix¾ dx granica w L2(R).
M"
-M
Własności. Przy założeniu, że wszystkie występujące funkcje należą do L2(R) mamy następujące
wzory.
Przesunięcie w czasie
Ć
g(x) =f(x - c) - %1Å„(¾) =e-iu¾f(¾),
1
2
f(x)
f^(¾)
Przykład funkcji na prostej i jej transformaty Fouriera
modulacja
Ć
g(x) =eiÉxf(x) - %1Å„(¾) = f(¾ - É),
skalowanie
Ć
g(x) =f(x/s) - %1Å„(¾) =sf(s¾), s > 0,
pochodna w czasie
Ć
g(x) =f (x) - %1Å„(¾) =i¾f(¾),
pochodna w spektrum
Ć
g(x) =-ixf(x) - %1Å„(¾) = f (¾).
Jako zastosowanie powyższych własności policzymy transformatę Fouriera funkcji Gaussa
2
f(x) =e-x /2.
Obliczymy pochodną transformaty. Będziemy różniczkowali pod znakiem całki i zastosujemy całkowanie
przez części.

" "

d 2 2 d
Ć
f (¾) = e-x /2 e-ix¾ dx = e-x /2 e-ix¾ dx
d¾ d¾
-"
-"
" "
2 d 2
= e-x /2(-ix) e-ix¾ dx = i e-x /2 e-ix¾ dx
dx
-" -"

" "

2 d 2
= -i e-x /2 e-ix¾ dx =(-i)2¾ e-x /2 e-ix¾ dx
dx
-" -"
Ć
= -¾ f(¾).
Nietrudno pokazać, że funkcja F (¾) speÅ‚niajÄ…ca powyższe równanie różniczkowe musi mieć postać
2
F (¾) =F (0) e-¾ /2.
Ć
Wartość f(0) to jedna z dobrze znanych całek

"
"
2
e-x /2 dx = 2Ä„.
-"
3
Tak więc ostatecznie
"
Ć
f(¾) = 2Ä„e-¾/2.
(b) Transformata Fouriera w L2([0, 2Ą]). W tym przypadku transformata jest po prostu rozkładem funkcji
na współczynniki bazowe względem układu Fouriera (stąd zbieżność nazwy). Funkcji przyporządkowany
jest jej ciąg współczynników Fouriera

2Ä„
1
Ć
f(n) = f(x)e-inx dx.
2Ä„
0
"
Jest to przekształcenie L2([0, 2Ą]) w L2(Z) ={{ąn}" : |ąn|2 < "}, zachowujące długość
n=-" n=-"
wektorów




"
2Ä„


1
Ć Ć
f = |f(n)|2 = |f(x)|2 dx = f .
2Ä„
0
n=-"
Przekształceniem odwrotnym jest szereg Fouriera
"

Ć
(2.2) f(x) = f(n)einx,
n=-"
gdzie zbieżność i równość zachodzi w L2([0, 2Ą]), zgodnie z (1.3).
Przykład. Obliczymy współczynniki Fouriera funkcji

1 0 d" x d" Ä„
f(x) =
-1 Ä„ Symetryczna fala prostokÄ…tna
f jest bardzo pospolitą, często spotykaną w praktyce funkcją. Jeżeli rozważyć ją jako okresową funkcję
na całej prostej R, to jest zwykła fala prostokątna. Sygnały takie pojawiają się w każdym układzie
elektronicznym zawierajÄ…cym mikroprocesory.
Ć
Obliczmy najpierw f(0). PodstawiajÄ…c do wzoru otrzymujemy

2Ä„ Ä„ 2Ä„
1 1 1
Ć
f(0) = f(x) dx = 1 dx + -1 dx =0.
2Ä„ 2Ä„ 2Ä„
0 0 Ä„
4
Teraz obliczmy pozostałe współczynniki. Niech n = 0. Rozdzielając całkę jak poprzednio otrzymujemy

Ä„ 2Ä„

Ä„ 2Ä„

1 1 1 e-inx 1 e-inx
Ć
f(n) = e-inx dx - e-inx dx = -

2Ä„ 2Ä„ 2Ä„ -in 2Ä„ -in
0 Ä„
x=0 x=Ä„

1 1
(2.3)
= e-inĄ - e-in0 - e-in2Ą + e-inĄ = (2(-1)n - 2)
-2Ä„i n -2Ä„i n

2
n nieparzyste
iĄn
=
0 n parzyste.
Przybliżenie funkcji f harmonicznymi do 3 i do 19 włącznie.
Otrzymujemy więc z (2.2) następujące rozwinięcie naszej funkcji f(x) w szereg
" " "


2 2 4
f(x) = einx = einx - e-inx = sin nx
iĄn iĄn Ąn
n=-" n=1 n=1
n nieparzyste n nieparzyste n nieparzyste

4 sin 3x sin 5x
= sin x + + + . . . .
Ä„ 3 5
Można udowodnić, że równość powyższa zachodzi w każdym punkcie przedziału [0, 2Ą], z wyjątkiem
0, Ą, 2Ą (w tych punktach prawa strona jest 0). Analizując kolejne sumy częściowe powyższego rozwinię-
cia możemy zauważyć zjawisko Gibbsa: po obu stronach nieciągłości skokowej funkcji f w jej przybliżeniu
pojawiają się lokalne maksima. Ich wysokość nie zmniejsza się, natomiast przesuwają się w stronę nie-
ciągłości, i stają się coraz bardziej strome. Elektronicy nazywają je zakłóceniami szpilkowymi. Takie
szpilki pojawiają się zawsze przy skokach analizowanej funkcji f, i ich wysokość jest proporcjonalna do
wysokości skoku. Jako zastosowanie (2.3) otrzymamy następującą równość
"

1 Ä„2
(2.4) = .
n2 6
n=1
Stosując (2.3) i równość Plancherela

"
2Ä„

1
Ć
|f(n)|2 = |f(x)|2 dx
2Ä„
0
n=-"
5
otrzymujemy
" "

4 4
=2 =1,
Ä„2n2 Ä„2n2
n=-" n=1
n nieparzyste n nieparzyste
czyli
"

1 Ä„2
= .
n2 8
n=1
n nieparzyste
Z drugiej strony
" " " " " " "

1 1 1 1 1 1 1 1
= - = - = -
n2 n2 n2 n2 (2n)2 n2 4 n2
n=1 n=1
n=1 n=1 n=1 n=1 n=1
n nieparzyste n parzyste
"

3 1
= .
4 n2
n=1
A
ącząc powyższe równości otrzymujemy (2.4).
(c) Transformata Fouriera w L2(Zn), tak zwana  dyskretna transformata Fouriera . Elementami L2(Zn)
są wektory o n współrzędnych x =(x(0), x(1), . . . , x(n - 1)). W tym przypadku transformata Fouriera
jest to przekształcenie L2(Zn) na siebie, zadane wzorem
n-1

x(k) = x(j)e-ijk/n, k =0, . . . , n- 1.
Ć
j=0
Jak łatwo sprawdzić odwrotna transformata Fouriera dana jest wzorem
n-1

1
x(k) = x(j)eijk/n, k =0, . . . , n- 1,
Ć
n
j=0
i zachodzi równość Plancherela

"
x = n x , x = |x(0)|2 + · · · + |x(n - 1)|2.
Ć
Dyskretna transformata Fouriera bardzo często pojawia się w zastosowaniach. Jest używana do nume-
rycznego obliczania ciągłej transformaty (funkcja na R jest najpierw próbkowana), oraz istnieje szybki
algorytm do jej obliczania - tak zwana szybka transformata Fouriera (FFT).
Zróbmy jeszcze następującą obserwację. Niech a funkcję f na prostej

1 x " [a, b],
f(x) =
0 poza tym.
Funkcja f  żyje więc jedynie na odcinku [a, b]. Z drugiej strony, jak łatwo policzyć

(b-a)
2sin ¾
2
Ć
f(¾) =e-i¾(a+b)/2 .
¾
Transformata  żyje wiÄ™c na caÅ‚ej prostej, maleje powoli, tak jak 1/¾. Mówimy, że transformata Fouriera
nie jest lokalna: zmiana funkcji która jest ograniczona tylko do jakiegoś, być może bardzo małego,
przedziału powoduje zmianę transformaty na całej prostej. Patrząc się na transformatę funkcji łatwo
6
jest zauważyć występowanie oscylacji  transformata jest duża w okolicy odpowiedniej częstotliwości.
Nie jest natomiast łatwo, bez obliczania transformaty odwrotnej, stwierdzić, gdzie ta oscylacja miała
miejsce. Tą własność transformaty można ująć bardzo konkretnie, jako tak zwaną zasadę nieoznaczoności
Heisenberga. Niech f " L2(R). Wprowadz
my następujące oznaczenia

"
1
m = x|f(x)|2 dx,
f
-"

"
1
Ć
Å› = ¾|f(¾)|2 d¾.
2Ä„ f
-"
Ć
m i ś oznaczają więc wartości oczekiwane (średnie) |f|2 i |f|2. Wprowadz
my też oznaczenia na odchylenia
standardowe wokół tych średnich

"
1
2
Ãx = (x - m)2|f(x)|2 dx
f
-"

"
1
2
Ć
þ = (¾ - Å›)2|f(¾)|2 d¾.
2Ä„ f
-"
Zasada Nieoznaczoności Heisenberga. Dla dowolnej funkcji f " L2(R) zachodzi nierówność
1
Ãxþ .
2
Równość zachodzi tylko dla funkcji Gaussa.
Ć
Innymi sÅ‚owy, jeżeli |f(x)|2 jest skupiona wokół swojej Å›redniej, to |f(¾)|2 musi być rozproszona, i na
odwrót.
Sploty
Wprowadzimy pojęcie splotu funkcji. Podobnie jak w przypadku transformaty Fouriera pojęcie splotu
można zawsze wprowadzić dla funkcji określonych na przestrzeni, która jest również grupą przemienną.
Wprowadzimy więc splot dwóch funkcji na prostej R

"
f " g(x) = f(x - y)g(y) dy, x " R,
-"
dwóch funkcji na odcinku [0, 2Ą]

2Ä„
1
f " g(x) = f(x - y)g(y) dy, x " [0, 2Ä„],
2Ä„
0
dwóch ciÄ…gów nieskoÅ„czonych Ä… = {Ä…k}" , ² = {²k}"
k=-" k=-"
"

(Ä… " ²)k = Ä…k-l²l, k " Z,
l=-"
oraz dwóch ciÄ…gów skoÅ„czonych Ä…, ² " L2(Zn)
n-1

(Ä… " ²)k = Ä…k-l²l, k =0, . . . , n- 1.
l=0
W przypadku splotu na odcinku [0, 2Ą] różnicę x - y pod całką należy rozumieć modulo 2Ą, albo funkcję
f traktować jako okresową na prostej. Podobnie, w przypadku splotu ciągów skończonych różnicę k - l
pod sumą rozumiemy jako różnicę modulo n, albo ciąg ą traktujemy jako ciąg nieskończony okresowy, o
okresie n. W każdym przypadku splot jest przemienny, co można łatwo pokazać przez zamianę zmiennych
lub indeksu sumowania. Będziemy korzystać z następujących własności splotów.
7
Własności. (a) Na prostej
Ć Ć
f " g(¾) = f(¾) · %1Å„(¾), f · g(¾) = f " %1Å„(¾),
na odcinku
Ć Ć
f " g(n) = f(n)%1Å„(n), f · g(n) =(f " %1Å„)n (splot ciÄ…gów),
oraz dla ciągów skończonych
Ć Ć
(Ä… " ²)k =Ć Ć
Ä…k²k, (Ä… · ²)k =(Ä… " ²)k.
Splot f "g dwóch funkcji z L2(R) jest funkcją ciągłą, ale nie musi być ani całkowalna ani całkowalna z

kwadratem. W takiej sytuacji transformatę Fouriera f " g można policzyć podobnie jak we wzorze (2.1 ).
Znaczenie splotów dla analizy sygnałów bierze się stąd, że większość operacji przekształcających
sygnały w praktyce ma właśnie postać splotu. Innymi słowy, większość operacji na sygnałach można
przedstawić jako splot z pewną funkcją. Biorąc pod uwagę powyższe własności oznacza to że operacje
na sygnałach, po stronie transformaty Fouriera, mają postać mnożenia przez funkcję. Operacje takie
nazywamy filtrami.