Zastosowanie transformaty Fouriera do bezpośredniego
pomiaru współczynnika strat dielektrycznych tg� kondensatora
Andrzej Skowroński 9.03.2005
Kondensator to element elektryczny składający się z co najmniej dwóch przewodników
odizolowanych dielektrykiem (rys.1).
Rys.1 Budowa kondensatora; 1  elektroda, 2  dielektryk
Przy podaniu napięcia przemiennego sinusoidalnego na elektrody kondensatora idealnego,
prąd płynący przez kondensator wyprzedza w fazie o p/2 radiana (90�) napięcie (rys. 2).
Rys. 2 Przebieg napięcia i prądu w dziedzinie czasu oraz przesunięcie fazowe na kondensatorze idealnym
Przez kondensator idealny przepływa tylko prąd pojemnościowy I (rys. 3).
C
Rys. 3 Schemat zastępczy kondensatora idealnego
1
Inaczej wygląda rozpływ prądów przez kondensator rzeczywisty, którego uproszczony model
przedstawiono na rysunku 4. Przez taki kondensator poza prądem pojemnościowym I przepływa
C
prąd strat dielektrycznych I .
R
Rys. 4 Rozpływ prądów w kondensatorze rzeczywistym
Prąd strat dielektrycznych I pozostaje w fazie z napięciem U na okładkach kondensatora ale
R
jest opóz
niony w fazie o p/2 radiana w stosunku do prądu pojemnościowego I (rys. 5).
C
Rys. 5 Przebieg napięcia i prądów w dziedzinie czasu oraz przesunięcia fazowe na kondensatorze rzeczywistym
Całkowity prąd I, płynący przez kondensator jest sumą geometryczną modułów prądów I i I .
C R
2 2 (1)
I =� (�IR +� IC )�
Prąd I jest przesunięty w fazie o kąt Ć, dla kondensatora rzeczywistego kąt ten jest zawsze
mniejszy od p/2 radiana (rys. 6). Współczynnik strat dielektrycznych jest proporcjonalny do prądu
I i odwrotnie proporcjonalny do prądu I . Prąd I i I jest zależny od kąta Ć zgodnie z równaniami:
R C C R
(2)
IC =� sin j� �� I
(3)
IR =� cosj� �� I
2
Rys. 6 Przebieg napięcia i prądu w dziedzinie czasu oraz przesunięcie fazowe na kondensatorze rzeczywistym
Stosunek modułu prądu I do I określa współczynnik strat dielektrycznych D.
R C
IR 1
D =� =� tgd� =�
(4)
IC w�CR
Natomiast stosunek modułu prądu I do I opisuje dobroć kondensatora Q .
C R C
IC 1
QC =� =� =� w�CR
(5)
IR tgd�
gdzie:
�  kąt dopełnienia do kąta Ą/2 dla Ć
� - 2Ąf
Wielkość kąta � jest zależna głównie od zastosowanego dielektryka1 ale również od technologii
wytwarzania, konstrukcji, warunków eksploatacji, procesów starzenia kondensatora. W tabeli 1
przedstawiono wartości tangens � niektórych dielektryków.
Tabela 1
Dielektryk Tg� [1*10-4]
Próżnia 0
Powietrze ~0
Teflon 2
Polistyren 3
Poliester 180
Poliwęglan 70
Papier 20...400
Mika 3
Ceramika I 3...12
Ceramika II 100...300
1 W. Tomasiewicz, P. Ciesielski: Elektryczność i magnetyzm, rozdział 2: Elektrostatyka i dielektryki
3
Efekty wzrostu strat dielektrycznych tg� w kondensatorze
Przy przepływie prądu sinusoidalnie zmiennego przez kondensator idealny nie wydziela się
moc czynna ponieważ kąt � jest równy 0�.
(6)
P =� U �� I ��sin(�90 -� d� )�
W kondensatorach rzeczywistych kąt � zawsze jest większy od 0� co prowadzi do strat mocy
czynnej w kondensatorze. Wraz ze wzrostem współczynnika strat dielektrycznych tg�, wzrasta moc
czynna wydzielana wewnątrz kondensatora, w postaci ciepła.
Na rysunku 7 przedstawiono moc czynną strat P w funkcji kąta �.
P( )
d�
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
d� [deg]
Rys. 7 Zależność mocy strat P w funkcji kąta d
Współczynnik strat dielektrycznych zależy nie tylko od
zastosowanego materiału dielektryka ale również od
częstotliwości, temperatury i wilgotności.
Objawami zewnętrznymi wzrostu strat dielektrycznych
tg� w kondensatorach elektrolitycznych jest wybrzuszenie
denka, taką sytuację przedstawiono na rysunku 8.
W dalszej konsekwencji może dojść do rozerwania
kondensatora (rysunek 9) lub pęknięcia obudowy
(rysunek 10), co nastąpiło w kondensatorze z izolacją
papierową nasączoną olejem.
Rys. 8 Wybrzuszenie denka
4
P [%]
Rys. 9 Rozerwany kondensator
Rys. 10 Pęknięta obudowa kondensatora
Pomiar współczynnika strat dielektrycznych tg�
Pomiar współczynnika strat dielektrycznych tg� można realizować różnymi metodami,
powszechnie stosowany jest do tego celu mostek Sauty'ego-Wiena lub przyrządy cyfrowe np.
miernik ELC-132A firmy Escort.
Zaprezentowana tutaj metoda będzie polegać na zarejestrowaniu przebiegu prądu i napięcia na
kondensatorze przez oscyloskop cyfrowy Tektronix TDS 210 (sprzęt peryferyjny: cęgi do pomiaru
prądu Tektronix A622, sonda napięciowa Tektronix P6112). Po wyeksportowaniu danych
pomiarowych z programu Wave Star 1.3,współpracującego z oscyloskopem zostanie wykonana
transformata Fouriera w celu obliczeniu przesunięcia fazowego pomiędzy podstawową harmoniczną
prądu i napięcia.
Transformata Fouriera (Discrete Fourier Transform  DFT) stanowi jedno z podstawowych
narzędzi matematycznych, wykorzystywanych do analizy systemów fizycznych w wielu
dziedzinach, także w elektrotechnice.
DFT pozwala dostrzec ścisłe zależności pomiędzy przebiegiem czasowym sygnału a jego widmem
amplitudowym i fazowym w dziedzinie częstotliwości. DFT wywodzi się od ciągłego
przekształcenia Fouriera X(f):
Ą�
X ( f ) =� x(t)e-� j 2p�ft
(11)
��
-�Ą�
5
Dyskretna transformata Fouriera umożliwia operowanie na skończonym i dyskretnym zbiorze
próbek pobranych z sygnału ciągłego w równych odstępach czasu.
Równanie DFT we współrzędnych biegunowych ma postać:
N -�1
X (m) =� x(n)e-� j 2p�nm / N
��
(12)
n=�0
gdzie:
x(n)  ciąg próbek wejściowych
m  indeks próbek wyjściowych DFT
-� j =� -�1
Faza Xf(m) liczby X(m), która posłuży do obliczenia przesunięcia fazowego pomiędzy prądem i
napięciem jest zdefiniowana następująco:
ć� X (m) ��
Xf� (m) =� ar ctg�� urojona ��
(13)
�� ��
X (m)
rzeczywista
Ł� ł�
Do obliczenia przesunięcia fazowego
wykorzystano program napisany przez autora
artykułu2, powłokę graficzną przedstawia
rysunek 11.
Pomiary wykonywano przy
częstotliwości 40 [Hz], mierząc prąd i napięcie
w układzie przedstawionym na rysunku 12.
Rys. 11 Program  Dyskretne przekształcenie Fouriera Rys. 12 Schemat układu pomiarowego
Oscylogram z pomiaru przesunięcia fazy napięcia i prądu płynącego przez kondensator
papierowy o pojemności 2[źF] zamieszczono na rysunku 13. W kanale pierwszym rejestrowano
przebieg napięcia (górna sinusoida), po wykonaniu transformaty Fouriera uzyskano informację że
faza sygnału wynosi -0.957�.
Kanał drugi przedstawia przebieg prądu (dolna kosinusoida), tutaj przesunięcie fazy przebiegu było
równe 98.253�. Jesteśmy już tylko o krok od obliczenia współczynnika strat dielektrycznych tg�,
zrobimy to posługując się równaniem 14, za pomocą którego obliczymy kąt � dopełnienia do kąta
Ą/2 dla Ć, który dla badanego kondensatora był równy 9.21�. Uwzględnijmy jeszcze przesunięcie
fazowe wprowadzone przez sondę prądową, które dla zastosowanego modelu wynosi 2,8�.
2 Program można pobrać ze strony: www.wafx.republika.pl
6
Faktyczny kąt � po uwzględnieniu przesunięcia fazowego prądu jest równy 6,41�.
(14)
d� =� a� -�a� -� 90
P N
gdzie:
ąP
 kąt fazy prądu
ąN
 kąt fazy napięcia
Rys. 13 Oscylogram przebiegu napięcia i prądu przez kondensator
Podstawiając obliczony kąt � do równania 4 uzyskujemy informację o wartości współczynnika
strat dielektrycznych, który dla badanego kondensatora jest równy tg� = 0.1123. Jest on kilkakrotnie
większy od wartości zamieszczonej w tabeli 1, dla dielektryka papierowego.
Dobroć kondensatora zgodnie z równaniem 5 jest równa Q =8.901.
C
Literatura
[1] B. Baron, A. Marcol, S. Pawlikowski: Metody numeryczne w Delphi 4, Gliwice, Helion, 1999
[2] S. Bolkowski: Elektrotechnika, Warszawa, WSiP, 1997
[4] R. G. Lyons: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów, Warszawa, WKA
, 2000
[3] P. Horowitz, W. Hill: Sztuka elektroniki 1, Warszawa, WA
T, 1997
[5] T. Masewicz: Radioelektronika dla praktyków, Warszawa, WKA
, 1986
[6] M. Rusek, R. Ćwirko, W. Marciniak: Przewodnik po elektronice, Warszawa, WNT, 1986
7