LISTA ZADAC
NR 2 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Zbiory i operacje na zbiorach, iloczyn kartezjański
1. Czy zbiory A i B są równe? Odpowiedz
uzasadnij.
a) A = Ø , B = {Ø}.
b) A = {Ø}, B = {Ø,{Ø}}.
2. Wyznacz elementy następujących zbiorów:
a) A = {x " Z : -2 d" x < 9}.
b) B = {x " R : (3 - 2x)(x + 5) = 0}.
3. Wyznacz następujące zbiory określając własności, które muszą spełniać ich elementy:
a) Zbiór liczb całkowitych nieparzystych.
b) Zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 3.
c) Zbiór liczb naturalnych, które są sumą kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych.
4. Znajdz
warunek charakteryzujący elementy zbiorów:
a) A = {-4, - 3,- 2, -1,0,1,2,3, 4}.
b) B = {1, 2, 4,8,16,32,...}.
1 1 1
Å„Å‚1,
c) C = , , , ...üÅ‚.
òÅ‚ żł
3 9 27
ół þÅ‚
d) D = {1, 2,3, 4,6,8,12, 24}.
5. Wyznacz wszystkie podzbiory następujących zbiorów:
a) A = {a,b}.
b) B = {1, 2,3}.
c) C = {a,{b,c}, d,e}.
6. Uzasadnij, że liczba wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego ( n " N ) wynosi 2n .
Wskazówka: zastanów się ile podzbiorów 0, 1, 2,...,k,...,n- elementowych ma ten zbiór.
Porównaj otrzymany wynik ze wzorem dwumianowym Newtona.
7. Dane sÄ… dwa zbiory A = 0,1, 2,8 , B = 0,1, 2,3, 4 . Wyznacz: A )" B , A *" B , A \ B ,
{ } { }
B \ A .
2 2
8. Dana jest przestrzeń U (uniwersum) oraz zbiory A i B. Wyznacz A i B .
a) U = N , A = {0,1,2,3}, B- zbiór liczb naturalnych większych od 6.
b) U = Z , A = N , B- zbiór liczb całkowitych mniejszych od -2.
c) U  zbiór potęg liczny 3 o wykładniku naturalnym, A- zbiór potęg liczby 3 o wykładniku
parzystym, B = {1,3,9}.
9. Za pomocą diagramów Venna sprawdz
czy poniższe równości są prawdziwe. Udowodnij
te, które są prawdziwe.
2 2 2
a) (A *" B) = A )" B .
2 2 2
b) (A )" B) = A *" B .
c) A *" (A )" B) = A.
d) A )" (A *" B) = A.
e) (A *" B) \ A = B \ (A )" B).
f) A \ (A \ B) = A )" B.
g) A )" (B *" C) = (A )" B) *" (A )" C).
h) (A \ B) \ C) = (A \ C) \ (B \ C).
1 3
Å„Å‚x üÅ‚
10. Niech dla każdego n" N An = " R : d" x d" . Wyznaczyć zbiory:
òÅ‚ żł
+
n nþÅ‚
ół
a) Ai , i = 1, 2,3, 4,5.
"
b) An.
)"
n=1
"
c) An .
*"
n=1
11.Wyznaczyć iloczyny kartezjaÅ„skie A× B i B × A dla nastÄ™pujÄ…cych zbiorów:
a) A = {0,1}, B = {1, 2,3}.
b) A = Ø , B = {1, 2,3}.
12. Przyjmując, że punkty na płaszczyz
nie sÄ… uporzÄ…dkowanymi parami (a,b) liczb
rzeczywistych, gdzie a  odcięta, b- rzędna punktu, przedstawić w układzie współrzędnych
zbiory A× B i B × A dla nastÄ™pujÄ…cych zbiorów A i B:
a) A = {x " R :1 < x < 2}, B = {x " R : 0 < x < 1}.
b) A = {x " N : -1 d" x d" 1}, B = {x " R : 0 < x d" 1}.
c) A = {x " R : 0 < x < 1 (" 2 < x d" 3}, B = {x " R :1 < x d" 2 (" x e" 3}.
d) A = N , B = {x " Z : -3 d" x d" 2}.
13. Udowodnić wzory:
a) (A )" B) × C = (A× C) )" (B × C) .
b) A× (B *" C) = (A× B) *" (A× C) .
c) A× (B \ C) = (A× B) \ (A× C) .
Dorota Majorkowska-Mech