Lista zadań nr 2
1) Po określonej trasie jez
dzi n=5 autobusów. Awarie poszczególnych autobusów są zdarzeniami niezależnymi i
prawdopodobieństwo awarii każdego z autobusów w ciągu określonego odcinka czasu jest 0,2. Niech X oznacza liczbę
autobusów, które w ciągu rozważanego czasu uległy awarii (autobus, który uległ awarii nie jest naprawiany). Znalez
ć
rozkład zmiennej losowej X i dystrybuantę F(x). Obliczyć F(0), F(1), F(2,5).
2) Robotnik obsługuje cztery jednakowe warsztaty funkcjonujące automatycznie i niezależnie od siebie. Prawdopo-
dobieństwo, że w ciągu godziny warsztat będzie wymagał zajęcia się nim wynosi 0,9. Niech zmienna losowa X będzie
liczbą warsztatów, które w ciągu godziny wymagały interwencji robotnika. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa i
dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny:
a) żaden z warsztatów nie będzie wymagał interwencji robotnika
b) dokładnie jeden warsztat będzie wymagał interwencji robotnika
c) liczba warsztatów wymagających interwencji będzie większa od 2
d) Znalez
ć najbardziej prawdopodobną liczbę warsztatów wymagających interwencji robotnika.
3) Prawdopodobieństwo trafienia do celu w jednym strzale jest równe 0,2. Niech X oznacza liczbę strzałów celnych w
wykonanej serii czterech niezależnych strzałów. Znalez
ć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej X. Obliczyć prawdo-
podobieństwo, że liczba strzałów celnych będzie nie mniejsza niż 2.
4) Dziesięciu abonentów może połączyć się z siecią telefoniczną za pomocą lokalnej centrali dysponującej n liniami. Każdy
z abonentów zajmuje linię średnio 12 minut na godzinę. Zakładając, że zamówienia są dokonywane niezależnie od siebie,
obliczyć jaka jest minimalna liczba linii wystarczająca na to, by w losowo wybranej chwili z prawdopodobieństwem 0,99
obsłużyć wszystkie zgłoszenia.
5) Prawdopodobieństwo uzyskania co najmniej jednego sukcesu po przeprowadzeniu czterech doświadczeń według
schematu Bernoulliego jest równe 0,5904. Obliczyć prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu.
6) Ze zbioru {1,...,N} losujemy bez zwracania kolejno liczby. Wartością zmiennej losowej jest numer tego losowania, w
którym będzie po raz pierwszy wylosowana liczba większa od ustalonej liczby k, 1< k < N. Wyznaczyć rozkład X.
7) Prawdopodobieństwo P(A)>0. Kolejne niezależne doświadczenia powtarzane są do momentu, gdy po raz pierwszy
zrealizuje się zdarzenie A. Wartością zmiennej losowej X jest numer tego doświadczenia, po którym zaprzestaje się
wykonywania dalszych doświadczeń. Wyznaczyć rozkład X.
8) Drut o długości L poddawany jest próbie wytrzymałościowej na rozciąganie. Prawdopodobieństwo, że drut pęknie w
odległości większej od m od jego lewego końca wynosi (L  m)/L. Ustalmy m (0że wśród n próbek znajdzie się dokładnie k takich, które pękną w odległości większej od m od lewego końca?
9) W książce 500  stronicowej jest 50 błędów drukarskich. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że na losowo wybranej
stronie znajdują się co najmniej trzy błędy.
10) Przeprowadzono niezależne sprawdziany niezawodności trzech przyrządów. Prawdopodobieństwa, że poszczególne
przyrządy odmówią działania, równe są odpowiednio p1, p2, p3. Dowieść, że wartość oczekiwana liczby niesprawnych
przyrządów równa jest p1 + p2 + p3.
11) Zdarzenia losowe A1, ..., An, są wzajemnie niezależne, ich prawdopodobieństwa są dodatnie. Wartością zmiennej losowej
X jest liczba tych zdarzeń spośród A1, ..., An, które są obserwowane w pojedynczym doświadczeniu. Wyznaczyć rozkład
prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że w jednym doświadczeniu zostanie
zaobserwowane chociaż jedno spośród wymienionych zdarzeń, czyli wyliczyć P({X e" 1}).
12) Strzelec trafia do celu jednym strzałem z prawdopodobieństwem 0,2.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, ze trafi on nie mniej niż dwa razy przy 10 niezależnych strzałach?
b) Znalez
ć prawdopodobieństwo warunkowe przynajmniej dwóch trafień, jeżeli wiadomo, że strzelec trafił już
przynajmniej raz.
13) Dwaj koszykarze mają wykonać po trzy rzuty karne, przy czym prawdopodobieństwo zdobycia punktu w pojedynczym
rzucie karnym wynosi 0,6 dla pierwszego gracza i 0,7 dla drugiego. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) obaj zdobędą równą liczbę punktów;
b) pierwszy zdobędzie więcej punktów niż drugi.
14) Automat produkuje w ciągu jednego cyklu produkcyjnego 10 detali. Prawdopodobieństwo, że dowolnie wybrany detal
okaże się wadliwy równe jest 0,01. Po ilu cyklach prawdopodobieństwo wyprodukowania co najmniej jednego wadliwego
detalu będzie nie mniejsze niż 0,8?
15) Reguły gry są następujące: gracz po wpłaceniu kwoty pieniężnej w wysokości a zł wchodzi do gry. Gra polega na
wykonywaniu niezależnych rzutów monetą. Jeżeli orzeł po raz pierwszy wypadnie w k-tym rzucie to gracz wygrywa qk zł.
Wartością zmiennej losowej X jest wysokość wygranej. Dla jakiej wartości q mamy równość E(X)=a? W takim przypadku
mówimy, że gra jest sprawiedliwa. Obliczyć q przy a=1000 zł.
16) Niezależne zmienne losowe X i Y mają następujące rozkłady:
P({X = -1}) = 0,5, P({X = 1}) = 0,5
P({Y = 1}) = 0,5, P({Y = 3}) = 0,25, P({Y = 5}) = 0,25
Niech Z1 = 2X + Y + 1, Z2 = XY . Obliczyć: E(Z2), E(Z1), D2(Z2).
17) Zmienna losowa X przyjmuje wartości 1,2,3,... z prawdopodobieństwami p =P{X=k}. Liczby p tworzą ciąg
k k
geometryczny o ilorazie q. Dobrać tak pierwszy wyraz p1 tego ciągu i iloraz q, aby E(X)=10.
18) Zmienna losowa skokowa X przyjmuje wartości x1 i x2, x1 `" x2 , z prawdopodobieństwami odpowiednio równymi p i
(1  p), 0 d" p d" 1 . Udowodnić, że jeśli D2 (X) = 0, to p(1  p) = 0.
19) Sprawdzamy niezawodność wyrobów. Prawdopodobieństwo, że wynik sprawdzianu dla dowolnie wybranego wyrobu
będzie pozytywny, wynosi 0,8. Proces sprawdzania zostaje zakończony po napotkaniu pierwszego wyrobu o negatywnym
wyniku sprawdzianu. Obliczyć rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję liczby sprawdzonych wyrobów.
20) Z odcinka [0,L] losuje się w sposób niezależny dwie liczby x, y.
Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej X, gdy
a) X jest równe min{x,y}
b) X jest równe ôÅ‚x-yôÅ‚.
21) Z kwadratu o boku a losowany jest punkt. Wartością zmiennej losowej X jest odległość od najbliższego boku. Wyznaczyć
rozkład X (dystrybuantę i gęstość).
22) Sprawdzić, że funkcja H(x) określona w następujący sposób:
Å„Å‚
ôÅ‚0 dla x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚1 Ä„
H(x) = - cos x dla 0 d" x <
òÅ‚
2
ôÅ‚
ôÅ‚1 dla x e" Ä„
ôÅ‚
ół 2
jest dystrybuantÄ… pewnej zmiennej losowej X.
Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń:{X d" 1}, {X > 0}, {X = 0,5}, {0,5 d" X d" 2}.
23) Wyznaczyć stałą A tak, aby funkcja dana niżej była gęstością pewnej zmiennej losowej X.
A
Å„Å‚
dla x e" 1
ôÅ‚
4
f (x) =
òÅ‚ x
ôÅ‚ 0 dla x < 1
ół
Wyznaczyć P({X>-2}).
.
24) Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości :
x dla 0 d" x < 1
Å„Å‚
ôÅ‚2
f (x) = - x dla 1 d" x d" 2
òÅ‚
ôÅ‚
0 poza tym
ół
a) naszkicować wykres funkcji f(x),
b) wyznaczyć dystrybuantę F(x) i naszkicować jej wykres,
c) obliczyć E(X), D2(X).
cx
Å„Å‚ - 3 2 d" x d" 4
25) Polecenia jak wyżej dla funkcji f (x) =
òÅ‚
0 wpp
ół
26) Dane są dystrybuanty zmiennych losowych typu ciągłego. Wyznaczyć gęstości. Następnie policzyć wartości oczekiwane i
drugi moment zwykły tych zmiennych losowych
Å„Å‚
0 dla x < -3
ôÅ‚
1 x
ôÅ‚0,5
F(x) = + arcsinëÅ‚ öÅ‚ dla - 3 d" x d" 3
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚
Ä„ 3
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 dla x > 3
ół
0 dla x < 0
Å„Å‚
F(x) =
òÅ‚1 - e-x dla x e" 0
ół
27) Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja
0 dla x < -1
Å„Å‚
ôÅ‚
F(x) = + b Å" arcsin x dla -1 d" x d" 1
òÅ‚a
ôÅ‚
1 dla x > 1
ół
jest dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego.
28) Wyznacz stałą a tak, aby funkcja
0 dla x d" -1
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚2ëÅ‚1- 1
öÅ‚
F(x) = dla 1 < x d" a
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚
x
íÅ‚ Å‚Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 dla x > a
ół
była dystrybuantą zmiennej losowej typu ciągłego.
29) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennej losowej o rozkładzie:
a)
wartość -1 0 1 2
prawdopodobieństwo 0,2 0,1 0,2 0,5
1
P{X = k}= , k = 1,2,3,...
b)
k
2
30) Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję dla zmiennych losowych o rozkładach:
Å„Å‚
0 dla x d" 1 0 dla x d" 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
f ( x ) = f ( x ) =
òÅ‚ òÅ‚
ôÅ‚ 3 ôÅ‚ - 2 x
2 e dla x > 0
dla x > 1 ół
ôÅ‚ 4
ół x
31) Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką:
xk -2 -1 0 2 3
pk 0,1 0,5 0,1 0,2 0,1
Wyznaczyć rozkład zmiennych losowych Y=4X+1, Z=X2-4.
32) Rozkład prawdopodobieństwa ocen z egzaminu studentów II roku pewnej uczelni jest następujący:
Ocena 2 3 4 5
Prawdopodobieństwo ? 0,4 0,2 ?
Wiadomo, że wartość oczekiwana tak określonej zmiennej wynosi 2,95. Obliczyć P({X=2}) oraz P({X=5}). Wyznaczyć i
przedstawić graficznie dystrybuantę tego rozkładu. Obliczyć ilu studentów spośród 200 zdających otrzyma z egzaminu
ocenÄ™ co najmniej dobrÄ….
Å„Å‚e-r e" 0
ôÅ‚ r
33) Promień koła jest zmienną losową R o gęstości prawdopodobieństwa f (r) = . Znalez
ć gęstość
òÅ‚
ôÅ‚
ół0 r < 0
prawdopodobieństwa g(s) zmiennej losowej S:=ĄR2.
34) Wyznaczyć rozkład zmiennych losowych Y=2X3, S=eX, gdy X ma rozkład o gęstości:
Å„Å‚12x(1 - x)2 0 d" x d" 1
f (x) =
òÅ‚
0 wpp
ół
35) Zmienna losowa posiada rozkład równomierny na odcinku [0,1]. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y, gdy:
a) Y = -ln(1-X)
b) Y = -lnX
Wyznaczyć gęstości zmiennych losowych Y. Jaki rozkład ma zmienna losowa Y w podpunkcie a) ?
36) Wyznaczyć wartość przeciętną i wariancję zmiennej losowej a) U1=2X+1; b) U2=X2; c) U3=-X2+2; jeżeli E(X)=2,
D2(X)=1, E(X4)=34.
37) Wyznaczyć a) wartość przeciętną i wariancję zmiennej losowej U1=3X-2Y; b) wartość przeciętną zmiennej losowej
U2=X2-Y2, jeżeli zmienne losowe X i Y są niezależne oraz E(X)=-3, E(Y)=4, D2(X)=0,5, D2(Y)=2.
38) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa skokowej zmiennej losowej X mającej tylko dwa punkty skokowe x1 i x2,
jeśli: x1 < x2, p1= P(X=x1) = 0,2, E(X)=3, D2(X)=4.
39) Bezpośrednim rachunkiem sprawdzić, że suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach Poissona
odpowiednio z parametrami 1, 2 ma również rozkład Poissona z parametrem  = 1 + 2 .
40) Rozkład liczby reszt zapomnianych przez klientów w pewnym sklepie w ciągu tygodnia ma rozkład Poissona o wartości
oczekiwanej równej 1,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, ze liczba reszt zapomnianych w ciągu tygodnia jest nie większa
niż 3.
41) Liczba samochodów przejeżdżających w ciągu minuty obok pewnego punktu obserwacyjnego, ma rozkład Poissona, dla
którego  oszacowano na poziomie 0,6. Znalez
ć prawdopodobieństwo, że w ciągu minuty przejedzie obok punktu
najwyżej jeden samochód.
42) Na pewnym osiedlu mieszkaniowym wylosowano niezależnie 400 mieszkań i otrzymano następujące dane dotyczące
liczby izb w mieszkaniu:
Liczba izb w mieszkaniu 1 2 3 4 5 6
Liczba mieszkań 30 150 120 50 40 10
Przy założeniu, że rozkład liczby izb w mieszkaniu jest rozkładem Poissona wyznaczyć oraz przedstawić graficznie
liczebności teoretyczne na tle liczebności empirycznych rozkładu liczb izb. Potrzebny parametr rozkładu Poissona przyjąć
na poziomie wartości parametru z próby.
43) Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 10 minut. Zakładamy, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek
jest jednostajny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty.
44) Pociągi kolejki elektrycznej odjeżdżają ze stacji co 5 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na stację jest
jednostajny, obliczyć wartość przeciętną i wariancję czasu oczekiwania na pociąg.
45) Zapałkę o długości 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładając, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej
zapałki jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że długość krótszej części zapałki nie przekracza 0,5 cm.
46) Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny w przedziale (-1,1) . Wyznaczyć gęstość zmiennej Y = X .
47) Czas bezawaryjnej pracy X agregatów spalinowo elektrycznych w ustalonych warunkach ma rozkład wykładniczy z
parametrem  = 10 . Obliczyć średni czas bezawaryjnej pracy agregatów oraz wyznaczyć gęstość zmiennej losowej
Y = X - EX .
48) Dystrybuanta F pewnej zmiennej losowej X jest funkcją ciągłą dla x " R . Czy stąd wynika, że jej gęstość f jest również
funkcją ciągłą? W przypadku odpowiedzi pozytywnej przeprowadzić dowód, w przypadku negatywnej podać
kontrprzykład.
49) Niech zmienna losowa X ma rozkład N(1,5; 2).
Obliczyć prawdopodobieństwa: P({X<2,5}), P({X>-0,5}), P(0,50,5).
50) Niech X"N(1,1). Wyznaczyć:
a) P({X(1-X) > 0})
b) P({X(1-X) < 0})
c) P({X3  X < 0})
51) Wytrzymałość stalowych lin pochodzących z produkcji masowej jest zmienną losową o rozkładzie
N(1000 kg/cm2, 50 kg/cm2). Obliczyć jaki procent lin ma wytrzymałość mniejszą od 900 kg/cm2.
52) Pewien automat produkuje części, których długość jest zmienną losową o rozkładzie N(2; 0,2) (w cm). Wyznaczyć
prawdopodobieństwo otrzymania braku, jeśli dopuszczalne długości części powinny zawierać się w przedziale (1,7; 2,3).
53) Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe zmiennej losowej X o rozkładzie normalnym są odpowiednio równe 15 i 5.
Znalez
ć prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość:
a) mniejszą niż 12;
b) większą niż 14;
c) należącą do przedziału (12,14);
d) różną od wartości przeciętnej nie więcej niż o 3.
54) Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego (w N/cm2) jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N(20,8; 0,4).
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wytrzymałość materiału budowlanego:
a) przekroczy 22 N/cm2 ?
b) nie jest większa niż norma techniczna wynosząca 20 N/cm2 ?