LISTA ZADAC
NR 5 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Ciągi, równania różnicowe, zasada indukcji matematycznej
1. Definiujemy rekurencyjnie ciÄ…g: s1 = 1 i sn+1 = 2/ sn dla n " N+ .
a) Wypisz kilka pierwszych wyrazów tego ciągu.
b) Jeśli jest zbiór wartości ciągu s?
2. Wez
my ciÄ…g c: 1, 3, 9, 27, 81,...
a) Podaj wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu.
b) Określ ten ciąg rekurencyjnie.
3. Określ rekurencyjnie następujące ciągi:
a) an = n!
n
b) bn = 1+ 2 + 3 + 4 + ... + n = .
"i
i=1
n
1
c) cn =
"i!.
i=1
n
2
d) dn = .
"i
i=1
4. Podaj wzór ogólny na sn , dla ciągu określonego rekurencyjnie: s1 = 3 i sn = -2sn-1 dla n e" 2 .
5. Sprawdz
, że ciąg sn = 2n+1 + (-1)n spełnia warunki: s1 = 3 , s2 = 9 i sn = sn-1 + 2sn-2 dla n e" 3
6. Wykaż, że podane niżej wyrażenia są rozwiązaniami równania rekurencyjnego postaci
sn + Asn-1 + Bsn-2 = 0 , gdzie A i B są stałymi liczbami:
a) sn = C1r1n + C2r2n gdy równanie charakterystyczne: x2 + Ax + B = 0 ma dwa różne rozwiązania
r1 , r2 ;
b) sn = (C1 + nC2)rn gdy równanie charakterystyczne ma jedno rozwiązanie r.
7. W każdym z następujących przypadków podaj wzór jawny na sn :
a) s1 = -1, s2 = 13 i sn = -sn-1 + 6sn-2 dla n e" 3.
b) s1 = 8, s2 = 28 i sn = 4sn-1 - 4sn-2 dla n e" 3.
c) s1 = 4 , s2 = 1 i sn = sn-2 dla n e" 3.
d) s1 = 1, s2 = -1 i sn = -4sn-2 dla n e" 3.
Wartości stałych C1 i C2 wyznacz z warunków początkowych.
8. Korzystając z twierdzenia o indukcji matematycznej udowodnij prawdziwość wzorów:
1 1 1 1 n
a) + + + ... + = dla n " N+ .
1Å" 5 5 Å" 9 9 Å"13 (4n - 3)(4n + 1) 4n + 1
1
b) 1 + 4 + 9 + ... + n2 = n (n + 1)(2n + 1) dla n " N+ .
3
c) wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
1 - qn
Sn = a1 , jeśli q `" 1.
1 - q
a1 + an
d) wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego: Sn = n .
2
n n n n
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
n n-1 n-2 0
e) (a + b)n = ìÅ‚ b0 + ìÅ‚ b1 + ìÅ‚ b2 + ... + ìÅ‚ bn dla dowolnych a,b " R i n " N
+
ìÅ‚0÷Å‚a ìÅ‚1÷Å‚a ìÅ‚2÷Å‚a ìÅ‚n÷Å‚a
÷Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
- wzór dwumianowy Newtona.
f) liczba n4 - n2 jest podzielna przez 3 dla wszystkich n " N .
g) liczba 10n - (-1)n jest podzielna przez 11 dla wszystkich n " N
.
h) (1+ x)n e" 1+ nx dla dowolnych x " R , x e" -1 i n " N - nierówność Bernoulliego.
+
1 1 1 1
i) 1+ + + ... + d" 2 - dla n " N .
+
22 32 n2 n
n
1
ëÅ‚1+ öÅ‚
n
j) n d" d" n +1 dla n " N . Wskazówka: skorzystać z nierówności Bernoulliego.
ìÅ‚ ÷Å‚
+
n
íÅ‚ Å‚Å‚
Dorota Majorkowska-Mech