Przykładowe zadania z kolokwiów
ZAD. 1. Czy dana funkcja jest różnowartościowa? Czy jest  na ? Wyznaczyć f(A). Naszkicować f-1(f(A)).
f : R × R R, f(x, y) = (x + 3)(5 - y2), A = (-", -3] × {-4}
xy
f : (R - {-1}) × R R, f(x, y) = , A = {-2} × [0, +")
(x+1)2
(x+3)2
f : R × (R - {2}) R, f(x, y) = , A = (-", -2) × {3}
y-2
2x2+4
f : R × (R \ {1}) R, f(x, y) = , A = (-2, 1) × {-11}
y-1
ZAD. 2. Zbadać własności relacji.
mRn Ô! 8|5m+1 + 2 · 3n + 1 dla m, n " N0.
z1Rz2 Ô! Imz2 - Imz1 " Z dla z1, z2 " C. Opisać klasÄ™ abstracji elementu 1 + 5, 71i i podać 3 elementy z
tej klasy.
w1Áw2 Ô! " a, b, c " R w2(x) - w1(x) = ax2 + bx + c dla w1, w2 " R[x]. Opisać klasÄ™ abstracji elementu
5x4 - 2x3 + 4 i podać trzy elementy należące do tej klasy.
ZAD. 3. Niech {u, v, w} - baza przestrzeni V nad R. Czy układ {2v + u - 3w, 5u - 2v, w - 2u} jest bazą V ?
Znalez
ć bazę i wymiar przestrzeni W = Lin{2v + u - 3w, 5u - 2v, w - 2u}.
Czy U = {Ä…u + ²v + Å‚w : Ä…, ², Å‚ " R '" Ä… + 2² - Å‚ = 0} jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V ?
ZAD. 4. Sprawdzić czy dane przekształcenie jest liniowe.
Znalez
ć bazę i wymiar jądra oraz obrazu tego przekształcenia. Czy jest nieosobliwe?
Õ : R3 R[x]3, Õ(a, b, c) = (a + 2b - c)x3 + (2a + 3b)x + a + 3c
Õ : R[x]2 R4, Õ(ax2 + bx + c) = (2b - 5a, 2a + b - 3c, a - b + c, 2c - 3a)
ZAD. 5. Dana jest podprzestrzeń V = {(x1, x2, x3) " R3 : -5x1 + x2 + 3x3 = 0} przestrzeni R3. Znalez
ć
bazę przestrzeni V i rozszerzyć ją do bazy B przestrzeni R3. Wyznaczyć współrzędne wektora (3, 1, -2) w
bazie B.
ZAD. 6.
Czy przestrzeń V = {(x1, x2, ..., x2n) " R2n : x2 = 2x1, x4 = 2x3, ..., x2n = 2x2n-1} jest podprzestrzenią
R2n?
Czy a) V1 = {w " R[x]5 : w(-2) = 0} b) V2 = {w " R[x]5 : w(-2) = 0} jest podprzestrzeniÄ… R[x]5?

Czy a) V1 = {w " R[x]5 : (x - 3)|w(x)} b) V2 = {w " R[x]5 : (x - 3) w(x)} jest podprzestrzeniÄ… R[x]5?
Czy przestrzeń {f " R[x]2n : a0 + a2n = 0, a1 + a2n-1 = 0, ..., an-1 + an+1 = 0} jest podprzestrzenią R[x]2n?
Jeśli tak, to znalez
ć jej wymiar i bazę.
ZAD. 7. Wyznaczyć wzór ogólny przekształcenia liniowego
Õ : R[x]2 R3, jeÅ›li Õ(x2 + x) = (-2, 4, 2), Õ(3x - x2) = (2, 0, 2), Õ(2x2 - 3x + 2) = (-2, 3, 3)
Õ : R4 R[x]1, jeÅ›li Õ(-2, 1, 0, 0) = -2, Õ(0, 2, 0, 0) = 4x, Õ(1, 0, 1, 0) = x, Õ(1, 1, 0, 3) = 4
Õ : R4 R[x]2, jeÅ›li Õ(2, 1, 2, 6) = 2x2 - 3x, Õ(2, 0, 2, 6) = 2x2 - 4x, Õ(0, 0, 1, 3) = -3x, Õ(1, 0, 0, 1) = x2
Wyznaczyć bazę i wymiar jądra i obrazu. Czy jest nieosobliwe?
ZAD. 8. Znalez
ć jądro i obraz przekształcenia Ć : R4[x] R4. Wyznaczyć Ć-1({(0, 5, 5, 15)}).
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 2 -3
ïÅ‚ śł
0 1 2 -1 5
ïÅ‚ śł
A
MB (Ć) = ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 -1 3 2 6 ûÅ‚
2 -1 8 0 5
ZAD. 9. Znalez
ć macierz przekształcenia Ć((x, y, z) = (-z, 2x + 2y - 2z, x, y + z) w bazach
A = ((3, 0, 2), (1, -2, 0), (2, -1, 0)) i B = ((-13, 5, 6, 2), (-2, 2, 1, 0), (2, -1, -1, 0), (-5, 1, 2, 1)).
ZAD. 10. Znalez
ć wzór przekształcenia Ć, jeśli dana jest macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 1 1
ïÅ‚ śł
A
MB (Ć) = 0 -1 2 0
ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 0 1
oraz bazy A = ((0, -1, 1, 3), (5, -1, 0, 2), (-7, 3, -1, 0), (-3, 1, 0, 1)) i B = ((1, 2, 1), (-1, 2, 3), (1, 2, 3)).
ZAD. 11. Znalez
ć jądro i obraz przekształcenia
Ć(x, y, z, t, u) = (x + y - 2z + t + 5u, -2x - y + 2t + 3u, x + y - 5z - 3t + u, 2x + y + 3z + 2t + u).
A
ZAD. 12. Znalez
ć macierz MB (F ) przekształcenia F : R2[x] R1[x] ; F (w(x)) = (x - 1)w (x) - 2w(x),
dla A = (x2, x, 1), B = (x, 1). Sprawdzić czy układ C = (5x + 8, 2x + 3) jest bazą przestrzeni R1[x]
A
i jeśli tak, to wyznaczyć MC (F ).
ZAD. 13. Zbadać rozwiazalność układu w zależności od parametru a:
Å„Å‚
ôÅ‚
x + ay - z + at = 1
òÅ‚
(1 - 2a)x - y + az - at = a - 2 .
ôÅ‚
ół
(1 - a)x + (a - 1)y + az = a - 4
ZAD. 14. Rozwiązać równanie macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚ ëÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚öÅ‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 1 -29 1 -1 2
ïÅ‚ śł ìÅ‚ ïÅ‚ śł÷Å‚ ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -2 3 -7 X - ðÅ‚ -13 3 = 3 2
ûÅ‚ íÅ‚ ûÅ‚Å‚Å‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 -5 7 4 3 -1 1
ZAD. 15. Korzystając z macierzy wyznaczyć maksymalny liniowo niezależny podukład układu
{x3 + 2x2 - 2x, 3x2 + x + 1, x3 - x2 - 3x - 1, x3 + 2x2 - x - 2, 2x3 + 2x2 - 3x - 4}.
Czy znaleziony podukład tworzy bazę przestrzeni R3[x]?
ZAD. 16. Wykazać, że układ A = ((0, 2, 1), (1, 3, 0), (2, -1, -3)) jest bazą przestrzeni R3.
Zapisać macierz przekształcenia liniowego F : R3 R1[x] w bazach A i B = (x, 1),
C
jeśli F (0, 2, 1) = x, F (1, 3, 0) = x + 1, F (2, -1, -3) = -x + 1. Wyznaczyć MB(F ), gdzie C - baza kanoniczna
R3.
ZAD. 17. Wyznaczyć r(A) w zależności od parametru A.
Znalez
ć rozwiązanie układu w przypadkach, gdy r(A) < 3.
îÅ‚ Å‚Å‚
1 a -1 a 1
ïÅ‚ śł
A|B = -1 -1 a -a a - 2 .
ðÅ‚ ûÅ‚
1 - a a - 1 a 0 a - 4
ZAD. 18. Wykazać, że układ A = (2x + 1, x2 + 3x, 3x2 + 2x - 3) jest bazą przestrzeni R2[x].
Zapisać macierz przekształcenia liniowego F : R2[x] R2 w bazach A i B = ((1, 0), (0, 1)),
C
jeśli F (2x+1) = (0, 1), F (x2 +3x) = (1, 1), F (3x2 +2x-3) = (2, 0). Wyznaczyć MB(F ), gdzie C = (1, x, x2).
ZAD. 19. Znalez
ć macierz przekształcenia F : R2[x] R2[x] takiego, że F (w(x)) = (2x + 1)w(x) - x2w (x),
A
w bazie B = (x2, x, 1). Korzystając z macierzy zmiany bazy wyznaczyć MA (F ),
gdzie A = (2x + 1, x2 + 3x, 2x2 - x - 3).