POLITECHNIKA POZNAC
SKA
WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ
NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH
Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
ZA
OŻONE STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
 k z n
&
1 k
&
2
k+1
"
"
"
"
"
Materiały pomocnicze do wykładu (v1) "
"
" "
&
& &
"
"
"
"
"
"
"
"
"
&
&
n
[e-mail]
Plik:TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 1 / 34
1. Wprowadzenie
1. Wprowadzenie
Struktura niezawodnościowa systemu
Struktura niezawodnościowa systemu
Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)
Strukturę niezawodnościową systemu otrzymuje się ze struktury ogólnej (o zbiorze E elementów)
systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E .
systemu przez wydzielenie z niej podzbioru E .
Zbiór E �" E jest podzbiorem zbioru E, którego
Zbiór E �" E jest podzbiorem zbioru E, którego
elementy spełniają następujący warunek  być ele-
elementy spełniają następujący warunek  być ele-
ZBIÓR E ELEMENTÓW
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
mentem aktywnym systemu, to znaczy elementem,
SYSTEMÓW / OBIEKTÓW
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
którego istnienie w systemie i prawidłowe działanie
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
jest niezbędne do realizacji przez system wyzna-
ELEMENTY ELEMENTY
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być
czonych zadań (elementy podstawowe) lub być PASYWNE
AKTYWNE
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
elementem zdolnym do przejmowania funkcji dzia-
Elementy rezerwowe
Elementy podstawowe
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
łania innego elementu system (elementy rezerwo-
ER
EN
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.
we), w przypadku, gdy element ten się uszkodzi.
Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)
Rys. 1.1. Klasyfikacja elementów systemów (obiektów)
Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-
Jest to forma połączeń (sprzężeń) między elementami systemu, która w sposób jednoznaczny wy-
znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.
znacza niezawodność systemu w zależności od niezawodności jego elementów.
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 2 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano
Klasyfikację form połączeń między elementami systemu (struktur niezawodnościowych) pokazano
na rys. 1.2.
na rys. 1.2.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY ZA
OŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE NIEZAWODNOŚCIOWE
szeregowe struktury nieza- mostkowe struktury nieza-
wodnościowe wodnościowe
równoległe struktury nieza- progowe struktury nieza-
wodnościowe wodnościowe
szeregowo-równoległe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu siatka
równoległo-szeregowe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
struktury niezawodnościowe
typu komin
Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)
Rys. 1.2. Klasyfikacja struktur niezawodnościowych systemów (obiektów)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 3 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2

1 2 n
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
1
PROSTE STRUKTURY ZA
OŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE NIEZAWODNOŚCIOWE
2
szeregowe struktury nieza- mostkowe struktury nieza-
wodnościowe wodnościowe


równoległe struktury nieza- progowe struktury nieza-
wodnościowe wodnościowe
n
szeregowo-równoległe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu siatka
R11
równoległo-szeregowe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu sieć
struktury niezawodnościowe
R12 R22
typu ściana
R13 R23
struktury niezawodnościowe
typu komin
R13
R11 R12
R23
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 4 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
n

1 2 n
R = Ri
"
i=1
1
n
2
R = 1-

"(1- Ri )

i=1

n
R11
m
j
n
�# ś#
Rs-r = 1- Rij ź#
"ś#1-"ź#
R12 R22
ś#
j=1 i=1
�# #
R13 R23
m
n j
R13 �#
ź#
Rr-s = (1- Rij )ś#
R11 R12
"ś#1-"
ś# ź#
j=1 i=1
�# #
R23
Ważne!!!
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 5 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2. Niezawodność obiektów / systemów
o złożonych strukturach niezawodnościowych
2.1. Uwagi wstępne
Obiektami/systemami o strukturach niezawodnościowych złożonych przyjęto w teorii i praktyce nie-
zawodności nazywać systemy nie należące do klasy systemów szeregowo-równoległych.
Podstawowym problemem w procesie analizy i syntezy niezawodnościowej systemów o złożonych
strukturach niezawodnościowych jest problem obliczania ich niezawodności. Szczegółowo problem
ten przedstawiono w pracy Profesora Janusza Migdalskiego 1.
Do wyznaczania niezawodności systemów o złożonych strukturach niezawodnościowych stosuje się
tzw. metody dekompozycyjne. W myśl tych metod system o złożonych strukturach niezawodnościo-
wych dekomponuje się na pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych.
Metody te różnią się sposobem dekompozycji systemu o złożonych strukturach niezawodnościowych.
Jedną z tych metod jest metoda dekompozycji prostej.
1
Migdalski J., Podstawy strukturalnej teorii niezawodności. Skrypt Politechniki Świętokrzyskiej nr 57. Kielce, 1978.
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 6 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.2. Metoda dekompozycji prostej obliczania niezawodności systemów
o złożonych strukturach niezawodnościowych
Metoda dekompozycji prostej należy do efektywniejszych metod obliczania niezawodności syste-
mów o złożonych strukturach niezawodnościowych. Idea tej metody polega na tym, że system o nie-
zawodnościowej strukturze złożonej zostaje drogą kolejnych operacji strukturalnych przekształcony na
pewną liczbę podsystemów o prostych strukturach niezawodnościowych, tj. podsystemów
o strukturach szeregowych, równoległych, szeregowo-równoległych i równoległo-szeregowych.
Cechą charakterystyczną metody dekompozycji prostej jest to, że dekompozycję n-elementowego
systemu o złożonej strukturze niezawodnościowej wykonuje się zawsze względem jednego odpowied-
nio wybranego elementu systemu, w wyniku czego otrzymuje się na dwa podsystemy (n 1)-
elementowe nie zawierające elementu według, którego dokuje się dekompozycji. W przypadku gdy
struktury tak otrzymanych (n 1)-elementowych podsystemów są nadal złożonymi strukturami nieza-
wodnościowymi, to przeprowadza się ich kolejne dekompozycje dopóty, dopóki nie otrzyma się pod-
systemów o strukturach prostych.
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 7 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu
2.3. Ogólna formuła wyznaczania niezawodności systemu
Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-
Formalnym zapisem algorytmu obliczeń, opierającego się na opisanej wcześniej metodzie dekompo-
zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
zycji prostej, jest zależność zwana ogólną formułą niezawodności systemu. Dalej przedstawiono kolej-
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.
ne kroki procedury pozyskania ogólnej formuły niezawodności systemu.
Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.
Niech istnieje system składający się z n elementów i o dowolnej strukturze niezawodnościowej.
Schemat ideowy takiego systemu przedstawia rys. 2.1a. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-
Schemat ideowy takiego systemu przedstawia rys. 2.1a. Niech i-ty element tego systemu jest elemen-
tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
tem według którego odbywa się jego dekompozycja. Po takiej operacji system n-elementowy składa
się z dwóch podsystemów (rys. 2.1b)  pierwszy z nich jest podsystemem jednoelementowym a drugi
się z dwóch podsystemów (rys. 2.1b)  pierwszy z nich jest podsystemem jednoelementowym a drugi
jest podsystemem (n 1)-elementowym.
jest podsystemem (n 1)-elementowym.
a)
SYSTEM
n - elementowy
O DOWOLNEJ
STRUKTURZE
NIEZAWODNOŚCIOWEJ
b)
Podsystem
(n - 1) - elementowy
Rys. 2.1. Schemat ideowy systemu n-elementowego (a)
i-ty element
i system n-elementowy po dekompozycji prostej (b)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 8 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Przyjmuje się interpretację geometryczną (rys. 2.2), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:
Przyjmuje się interpretację geometryczną (rys. 2.2), opis i oznaczenia następujących zdarzeń:
A  zdarzenie, że system n-elementowy znajduje się w stanie zdatności,
Ai  zdarzenie, że i-ty element systemu jest zdatny,
Ai  zdarzenie, że i-ty element systemu jest niezdatny,
I  zdarzenie pewne, tzn. takie które musi wystąpić.
I
Ai
Ai
A
Rys. 2.2. Interpretacja geometryczna zdarzeń A, Ai,
i, i I
Na podstawie opisanych wcześniej zdarzeń oraz na podstawie rys. 2.2, można zapisać następujące
tożsamości:
A = I )" A (2.1)
I = Ai *" A (2.2)
i
a stąd A = (Ai *" A ))" A (2.3)
i
i A = (Ai )" A)*"(A )" A). (2.4)
i
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 9 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Ponieważ zdarzenia (Ai )" A) i
Ponieważ zdarzenia (Ai )" A) i (A )" A) są rozłączne (rys. 2.2), to na podstawie tożsamości (2.4),
i
prawdopodobieństwo zdarzenia A przedstawia zależność:
A = (Ai )" A)*"(A )" A) P(A) = P(Ai )" A)+ P(A )" A). (2.5)
i i
Ze znanych zależności na prawdopodobieństwa warunkowe postaci:
P(A )" Ai )
P(A Ai )= (2.6)
P(Ai )
P(A )" A )
i
P(A A )= (2.7)
i
P(A )
i
i zależności (2.5) wynika, że:
P(A) = P(Ai )�" P(A Ai )+ P(A )�" P(A A ) (2.8)
i i
Dla uproszczenia zapisu przyjmuje się następujące oznaczenia:
(
Rsn) = P(A) Ri(n-1) = P(A Ai ) R((in-1) = P(A A )
i
)
Ri = P(Ai ) 1- Ri = P(A )
i
a na tej podstawie zależność (2.8) ma postać:
(
Ważne!!!
Rsn) = Ri �" Ri(n-1) + (1- Ri )�" R((in-1)
) (2.9)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 10 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
(
Rsn) = Ri �" Ri(n-1) + (1- Ri )�" R((n-1) (2.9)
i)
Zależność (2.9) to postać matematyczna ogólnej formuły niezawodności systemu. W wyznaczonej
formule, poszczególnym jej częściom, można nadawać interpretację geometryczną.
W myśl takiego podejścia, element na pewno uszkodzony (Ri = 0) przedstawić można za pomocą
 przerwy dla przepływu strumienia informacji lub energii (brak możliwości przepływu), zaś element
na pewno zdatny (tzn. Ri = 1) przedstawia się przez  zwarcie (brak oporu) dla przepływu strumienia
informacji lub energii.
W myśl interpretacji geometrycznej, realny element struktury niezawodnościowej systemu/obiektu
przedstawia dla przepływu informacji lub energii pewną rezystancję (opór), którego miara określona
jest na przedziale 0 < Ri < 1.
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 11 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej
2.4. Niezawodność systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej
System o strukturze niezawodnościowej mostkowej jest najprostszym systemem z klasy systemów
System o strukturze niezawodnościowej mostkowej jest najprostszym systemem z klasy systemów
złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
złożonych. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej mostkowej (zwanego dalej sys-
temem mostkowym) przedstawiono na rys. 2.3.
temem mostkowym) przedstawiono na rys. 2.3.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
PROSTE STRUKTURY ZA
OŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE NIEZAWODNOŚCIOWE
2
1
szeregowe struktury nieza- mostkowe struktury nie-
wodnościowe zawodnościowe 5
równoległe struktury nieza- progowe struktury nieza-
4
3
wodnościowe wodnościowe
szeregowo-równoległe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu siatka
równoległo-szeregowe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana
Rys. 2.3. Schemat ideowy systemu o strukturze
struktury niezawodnościowe niezawodnościowej mostkowej
typu komin
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 12 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły (2.9), dokonuje się
Zgodnie z procedurą obliczeniową, odbywającą się z wykorzystaniem formuły (2.9), dokonuje się
dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu mostkowego względem jednego jego elementu. Dobór elementu do dokonania
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system mostkowy będzie dekomponowany
względem elementu piątego (rys. 2.3). Uwzględniając ten fakt, formułę (2.9) można zapisać w postaci:
względem elementu piątego (rys. 2.3). Uwzględniając ten fakt, formułę (2.9) można zapisać w postaci:
(5 ( 4
RM) = R5 �" R54) + (1- R5)�" R((5)) (2.10)
W wyniku dekompozycji systemu mostkowego względem piątego elementu otrzymuje się m.in. pod-
systemy 4-elementowe o strukturach niezawodnościowych przedstawionych na rys. 2.4. Jeden z nich
jest systemem 4-elementowym o strukturze niezawodnościowej równoległo-szeregowej (rys. 2.4b),
zaś drugi jest systemem 4-elementowym o strukturze szeregowo-równoległej (rys. 2.4c).
a) b) c)
2 1 2
1
2
1
5
4
3
3 4 3 4
R5 = 0
R5 =1
Rys. 2.4. Schematy ideowe systemu mostkowego 5-elementowego i podsystemów 4-elementowych otrzymanych
po dekompozycji systemu mostkowego względem jego piątego elementu
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 13 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
(5 ( 4
RM) = R5 �" R54) + (1- R5)�" R((5)) (2.10)
Na tej podstawie składowe formuły (2.10), posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-
tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:
a)
2
1
(
R54) = (1- (1- R1)�"(1- R3))�"(1- (1- R2)�"(1- R4)) (2.11)
3 4
b) 1 2
R((4) = 1-(1- R1 R2 )�"(1- R3 R4 ) (2.12)
5)
3 4
a stąd niezawodność systemu mostkowego przedstawia zależność:
(5
RM) = R5 �"(1- (1- R1)�"(1- R3))�"(1- (1- R2)�"(1- R4))+ (1- R5)�"(1-(1- R1 R2)�"(1- R3 R4)) (2.13)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 14 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
(5
RM) = R5 �"(1- (1- R1)�"(1- R3))�"(1- (1- R2)�"(1- R4))+ (1- R5)�"(1-(1- R1 R2)�"(1- R3 R4)) (2.13)
skąd
(5
RM) = R5 �"(R1 + R3 - R1 R3)�"(R2 + R4 - R2 R4 )+ (1- R5)�"(R1 R2 + R3 R4 - R1 R2 R3 R4) (2.14)
a po redukcji wyrażenia (2.14) otrzymuje się:
Ważne!!!
(5
RM) = R1 R2 + R3 R4 + R1 R4 R5 + R2 R3 R5 - R1 R2 R4 R5 - R2 R3 R4 R5 +
- R1 R2 R3 R4 - R1 R2 R3 R5 - R1 R3 R4 R5 + 2 R1 R2 R3 R4 R5 (2.15)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 15 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych
2.5. Niezawodność systemów o progowych strukturach niezawodnościowych
Definicja
Definicja
Ważne!!!
System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko
System o progowej strukturze niezawodnościowej jest w stanie zdatności tylko
wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów jest w stanie zdatności.
wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów jest w stanie zdatności.
Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa
Systemy o progowej strukturze niezawodnościowej w teorii i praktyce niezawodnościowej nazywa
się systemami typu  k z n zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-
się systemami typu  k z n zdatnych elementów. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodno-
ściowej progowej przedstawiono na rys. 2.5.
ściowej progowej przedstawiono na rys. 2.5.
STRUKTURY NIEZAWODNOŚCIOWE
SYSTEMÓW
 k z n
PROSTE STRUKTURY ZA
OŻONE STRUKTURY
NIEZAWODNOŚCIOWE NIEZAWODNOŚCIOWE
&
1 k
szeregowe struktury nieza- mostkowe struktury nieza-
wodnościowe wodnościowe
&
2
k+1
równoległe struktury nieza- progowe struktury nieza-
"
"
"
"
"
"
wodnościowe wodnościowe "
" "
&
& &
"
szeregowo-równoległe struk- struktury niezawodnościowe "
"
" "
"
" "
"
tury niezawodnościowe typu siatka
&
&
n
równoległo-szeregowe struk- struktury niezawodnościowe
tury niezawodnościowe typu sieć
struktury niezawodnościowe
typu ściana Rys. 2.5. Schemat ideowy systemu o strukturze
niezawodnościowej progowej
struktury niezawodnościowe
typu komin
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 16 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Warto wiedzieć, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są
Warto wiedzieć, że systemy o szeregowych i równoległych strukturach niezawodnościowych są
szczególnymi przypadkami systemów typu  k z n zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-
szczególnymi przypadkami systemów typu  k z n zdatnych elementów. System o szeregowej struktu-
rze niezawodnościowej jest systemem  n z n , zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-
rze niezawodnościowej jest systemem  n z n , zaś system o równoległej strukturze niezawodnościo-
wej jest systemem  1 z n .
wej jest systemem  1 z n .
 k z n
 n z n
&
1 k
&
2
k+1

1 2 n
 k = n
"
"
"
"
"
"
"
" "
&
& &
" "
"
"
"
"
"
"
"
&
&
n
 k z n  1 z n
&
1 k
1
&
2
k+1
2
 k = 1
"
"
"
"
"
"

"
" "

&
& &

" "
"
" "
"
" "
"
n
Warto& !
&
&
n
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 17 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Niezawodność systemu  2 z 3 o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu  2 z 3 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 3 (rys. 2.6) i o nieza-
Niech istnieje system 3-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 3 (rys. 2.6) i o nieza-
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 2 spośród 3 jego elementów są w stanie zdatności.
gdy co najmniej 2 spośród 3 jego elementów są w stanie zdatności.
 2 z 3
1 2
1 3
Rys. 2.6. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej  2 z 3
2 3
Wyznaczenie niezawodności systemu  2 z 3 , zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą
Wyznaczenie niezawodności systemu  2 z 3 , zgodnie z procedurą obliczeniową wykorzystującą
formułę (2.9), dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-
formułę (2.9), dokonuje się dekomponując ten system względem jednego jego elementu. Dobór ele-
mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system  2 z 3 będzie de-
mentu do dokonania dekompozycji systemu jest dowolny. Dalej przyjęto, że system  2 z 3 będzie de-
komponowany względem elementu drugiego (rys. 2.6). Uwzględniając ten fakt, formułę (2.9) można
komponowany względem elementu drugiego (rys. 2.6). Uwzględniając ten fakt, formułę (2.9) można
zapisać w postaci:
zapisać w postaci:
(
( ) ( )
()
Rsn) = Ri �" Ri(n-1) + (1- Ri )�" R((n-1)
(2.9)
i)
3) ( 2
R"(2z3" = R2 �" R22) + (1 - R2)�" R((2)) (2.16)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 18 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
3) ( 2
R"(2z3" = R2 �" R22) + (1 - R2)�" R((2)) (2.16)
W wyniku dekompozycji systemu  2 z 3 względem drugiego elementu otrzymuje się podsystemy
2-elementowe. Jeden z nich jest systemem 2-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 2-gi jest na pewno zdatny, tzn. R2 = 1), zaś drugi jest systemem 2-elementowym o
strukturze szeregowej (gdy element 2-gi jest na pewno niezdatny, tzn. R2 = 0).
Na tej podstawie składowe formuły (2.16), posiłkując się zależnościami na niezawodność obiek-
tów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych, przedstawiają się następująco:
(
R22) =1 - (1 - R1)�"(1 - R3) (2.17)
2
R((2)) = R1 �" R3 (2.18)
a stąd niezawodność systemu  2 z 3 przedstawia zależność:
3)
R"(2z3" = R2 �" (1 - (1 - R1)�" (1 - R3)) + (1 - R2)�" R1 R3 (2.19)
 2 z 3
skąd
1 2
3)
R"(2z3" = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 - 2 �" R1 R2 R3
(2.20)
1 3
Ważne!!!
2 3
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 19 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Niezawodność systemu  2 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu  2 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 4 (rys. 2.7) i o nieza-
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  2 z 4 (rys. 2.7) i o nieza-
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
gdy co najmniej 2 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
 2 z 4
Rys. 2.7. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej  2 z 4
1 2
1 3
1 4
2 3
Niezawodność systemu  2 z 4 można wyznaczyć dekomponując sys-
Niezawodność systemu  2 z 4 można wyznaczyć dekomponując sys-
2 4
tem względem elementu czwartego (rys. 2.7). Uwzględniając ten fakt,
tem względem elementu czwartego (rys. 2.7). Uwzględniając ten fakt,
formułę (2.9) można zapisać w postaci:
formułę (2.9) można zapisać w postaci:
3 4
(
( ) ( )
()
Rsn) = Ri �" Ri(n-1) + (1- Ri )�" R((n-1)
(2.9)
i)
4) ( 3)
R"(2z4" = R4 �" R43) + (1 - R4)�" R((4) (2.21)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 20 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
4) ( 3)
R"(2z4" = R4 �" R43) + (1 - R4)�" R((4) (2.21)
W wyniku dekompozycji systemu  2 z 4 względem czwartego elementu otrzymuje się podsystemy
3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej równole-
głej (gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R4 = 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym
o strukturze typu  2 z 3 (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R4 = 0).
Na tej podstawie składowe formuły (2.21), posiłkując się zależnościami posiłkując się zależnościami
na niezawodność obiektów/systemów o strukturach niezawodnościowych prostych oraz (2.16) i (2.19),
przedstawiają się następująco:
(
R43) =1 - (1 - R1)�" (1 - R2)�"(1 - R3) (2.22)
3)
R((4) = R2 �" (1 - (1 - R1)�" (1 - R3))+ (1 - R2)�" R1 R3 (2.23)
a stąd niezawodność systemu  2 z 4 przedstawia zależność:
4)
R"(2z4" = R4 �"(1- (1- R1)�"(1- R2)�"(1- R3))+ (2.24)
(1- R4 )�"(R2 �"(1- (1- R1)�"(1- R3))+ (1- R2 )�" R1 R3)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 21 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
4)
skąd R"(2z4" = R1 R4 + R2 R4 + R3 R4 - R1 R2 R4 - R1 R3 R4 - R2 R3 R4 + R1 R2 R3 R4 +
+ R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 - 2 �" R1 R2 R3 - R1 R2 R4 - R2 R3 R4 - R1 R3 R4 + 2�" R1 R2 R3 R4 (2.25)
 2 z 4
i ostatecznie
Ważne!!!
1 2
1 3
4)
R"(2z4" = R1 R2 + R1 R3 + R1 R4 + R2 R3 + R2 R4 + R3 R4 +
1 4
- 2�" R1 R2 R3 - 2�" R1 R2 R4 - 2�" R1 R3 R4 - 2�" R2 R3 R4 + 3�" R1 R2 R3 R4 (2.26)
2 3
2 4
3 4
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 22 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Niezawodność systemu  3 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niezawodność systemu  3 z 4 o różnej niezawodności elementów
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  3 z 4 (rys. 2.8) i o nieza-
Niech istnieje system 4-elementowy o strukturze niezawodnościowej  3 z 4 (rys. 2.8) i o nieza-
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
wodności początkowej elementów Ri (i = 1,2,3,4). System taki jest w stanie zdatności tylko wówczas,
gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
gdy co najmniej 3 spośród 4 jego elementów jest w stanie zdatności.
 3 z 4
1 2 3
1 2 4
1 3 4
Rys. 2.8. Schemat ideowy systemu o strukturze niezawodnościowej  3 z 4
2 3 4
Niezawodność systemu  3 z 4 wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu
Niezawodność systemu  3 z 4 wygodnie jest wyznaczać dekomponując system względem elementu
czwartego (ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu  2 z 3  formuła
czwartego (ze względu na wyznaczoną wcześniej formułę na niezawodność systemu  2 z 3  formuła
(2.20)). Biorąc to pod uwagę, formułę (2.9) dla systemu  3 z 4 można zapisać jako:
(2.20)). Biorąc to pod uwagę, formułę (2.9) dla systemu  3 z 4 można zapisać jako:
(
( ) ( )
()
Rsn) = Ri �" Ri(n-1) + (1- Ri )�" R((n-1)
(2.9)
i)
4 ( 3)
R"(3z)4" = R4 �" R43) + (1 - R4)�" R((4) (2.27)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 23 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
4 ( 3)
R"(3z)4" = R4 �" R43) + (1 - R4)�" R((4) (2.27)
W wyniku dekompozycji systemu  3 z 4 względem czwartego elementu otrzymuje się podsystemy
3-elementowe. Jeden z nich jest systemem 3-elementowym o strukturze niezawodnościowej  2 z 3
(gdy element 4-ty jest na pewno zdatny, tzn. R4 = 1), zaś drugi jest systemem 3-elementowym o struk-
turze szeregowej (gdy element 4-ty jest na pewno niezdatny, tzn. R4 = 0).
Na tej podstawie składowe formuły (2,27) przedstawiają się następująco:
3)
R((4) = R2 �"(1- (1- R1)�"(1- R3))+ (1- R2 )�" R1 R3 (2.28)
3)
R((4) = R1 �" R2 �" R3 (2.29)
Uwzględniając zależność (2,20) można zapisać, że
3) 3)
R((4) = R"(2z3" = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 - 2�" R1 R2 R3 (2.20)
4
a stąd R"(3z)4" = R4 �"(R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 - 2�" R1 R2 R3)+ (1- R4 )�" R1 �" R2 �" R3 (2.30)
a stąd ostatecznie niezawodność systemu  3 z 4 przedstawia zależność:
Ważne!!!
4
R"(3z)4" = R1 R2 R3 + R1 R2 R4 + R1 R3 R4 + R2 R3 R4 - 3 �" R1 R2 R3 R4
(2.31)
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 24 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Niezawodność systemów typu  k z n o identycznej niezawodności elementów
Niezawodność systemów typu  k z n o identycznej niezawodności elementów
Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej  k z n i o identycznej nieza-
Niech istnieje system n-elementowy o strukturze niezawodnościowej  k z n i o identycznej nieza-
wodności elementów
wodności elementów
R1 = R2 = ... = Rn = R (2.32)
R1 = R2 = ... = Rn = R (2.32)
 k z n
&
1 k
&
2
k+1
"
"
"
"
"
"
"
" "
&
& &
" "
"
" "
"
" "
"
&
&
n
System  k z n jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów
System  k z n jest w stanie zdatności tylko wówczas, gdy co najmniej k spośród n jego elementów
tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
tego systemu jest w stanie zdatności. Prawdopodobieństwo takiego zdarzenia gdy spełniony jest waru-
nek (2.32) można wyznaczyć z zależności:
nek (2.32) można wyznaczyć z zależności:
n
n
�# ś#
n)
Ważne!!!
R"(k z n"(R,k, n)=
"ś# i ź# �" Ri �" (1 - R)n-i
(2.33)
�# #
i=k
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 25 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
n
n
�# ś#
n)
R"(k z n"(R,k, n)=
"ś# i ź# �" Ri �" (1 - R)n-i
(2.33)
�# #
i=k
Dalej, wykorzystując zależność (2.33) przedstawiono formuły na niezawodność wybranych syste-
mów o strukturach niezawodnościowych typu  k z n przy założeniu identycznej niezawodności ich
elementów:
" niezawodność systemu typu  2 z 3 o identycznej niezawodności elementów
3
3
�# ś#
3
R"(2)z 3"(R,2,3) = - (2.34)
"ś# i ź# �" Ri �" (1 - R)3-i = 3 �" R2 2 �" R3,
�# #
i=2
" niezawodność systemu typu  2 z 4 o identycznej niezawodności elementów
4
4
�# ś#
4)
R"(2 z 4"(R,2,4) = - (2.35)
"ś# i ź# �" Ri �" (1 - R)4-i = 6 �" R2 8 �" R3 + 3 �" R4 ,
�# #
i=2
" niezawodność systemu typu  3 z 4 o identycznej niezawodności elementów
4
4
�# ś#
4)
R"(3 z 4"(R,3,4)= - (2.36)
"ś# i ź# �" Ri �" (1 - R)4-i = 4 �" R3 3 �" R4.
�# #
i=3
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 26 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
3. Zasada maksymalnej wrażliwości
Zasada maksymalnej wrażliwości wskazuje uwagę na elementy dowolnego systemu, których popra-
wa niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu.
Niezawodność systemu n-elementowego można wyznaczyć z formuły:
(
Rsn) = Ri �" R(in-1) + (1- Ri )R((in-1)
)
R(in-1)(R1, R2,..., Ri -1,1, Ri +1,..., Rn ) R((in-1)(R1, R2,..., Ri-1,0, Ri+1,..., Rn)
)
Mając niezawodność systemu n-elementowego oblicza się wrażliwości poszczególnych elementów
systemu, przez liczenie kolejnych pochodnych cząstkowych:
(
�#
"Rsn)
n
= R(1n-1) - R((1)-1) = "(1) �#
"R1
�#
..........................................
�#
(
"Rsn) �#
= R(in-1) - R((in-1) = "(i) Ź#
)
"Ri
�#
..........................................
�#
(
�#
"Rsn) n-1) n
= R(n - R((n)-1) = "(n)�#
"Rn
�#
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 27 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Następnie w oparciu o uzyskane wartości liczbowe szuka się wartości maksymalnej z listy wrażli-
wości:
" = max{"(1), "(2),..., "(i),..., "(n)}
1oraz element charakteryzujący się największą wrażliwością na zmianę niezawodności systemu (tzn.
taki, że poprawa jego niezawodności daje maksymalną zmianę niezawodności systemu).
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 28 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości
4. Zastosowanie zasady maksymalnej wrażliwości
Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej
Dla systemu o szeregowej strukturze niezawodnościowej
R
R R1 R2 R3
R = R1 �" R2 �" R3
1 2 3
R1 = 0,7 R2 = 0,8 R3 = 0,9
"R
"(1) = = R2 �" R3 = 0,8 �" 0,9 = 0,72
"R1
"R
"(2) = = R1 �" R3 = 0,7 �" 0,9 = 0,63
"R2
"R
"(3) = = R1 �" R2 = 0,7 �" 0,8 = 0,56
"R3
" = max{"(1), "(2), "(3)}= "(1) = 0,72
1Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 29 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej
Dla systemu o równoległej strukturze niezawodnościowej
R
R1= 0,7
()
R = 1 - (1 - R1)(1 - R2 )(1 - R3 )
1
R2= 0,8
2
R = 1 - [(1 - R2 )(1 - R3 ) - R1(1 - R2 )(1 - R3 )]
R3= 0,9
3
R = 1 - [(1 - R1)(1 - R3 ) - R2(1 - R1)(1 - R3 )]
R = 1 - [(1 - R1)(1 - R2 )- R3(1 - R1)(1 - R2 )]
"R
"(1) = = (1 - R2 )(1 - R3 )= (1 - 0,8)(1 - 0,9)= 0,2 �" 0,1 = 0,02
"R1
"R
"(2) = = (1 - R1)(1 - R3 ) = (1 - 0,7)(1 - 0,9)= 0,3 �" 0,1 = 0,03
"R2
"R
"(3) = = (1 - R1)(1 - R2 )= (1 - 0,7)(1 - 0,8)= 0,3 �" 0,2 = 0,05
"R3
" = max{"(1), "(2), "(3)}= "(3) = 0,05
1d"id"3
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 30 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
Dla systemu mostkowej strukturze niezawodnościowej
(5
RM) = R5[(R1 + R3 - R1 �" R3 )(R2 + R4 - R2 �" R4 )]+ (1- R5)[R1 �" R2 + R3 �" R4 - R1 �" R2 �" R3 �" R4]
Badanie wrażliwości
"RM
"(1) = = R5(R2 + R4 - R2 �" R4 )(1 - R3)+ (1 - R5 )(R2 - R2 �" R3 �" R4 )
"R1
"RM
"(2) = = R5(R1 + R3 - R1 �" R3)(1 - R4 )+ (1 - R5 )(R1 - R1 �" R3 �" R4 )
"R2
"RM
"(3) = = R5(R2 + R4 - R2 �" R4 )(1 - R1)+ (1 - R5 )(R4 - R1 �" R2 �" R4 )
"R3
"RM
"(4) = = R5(R1 + R3 - R1 �" R3 )(1 - R2 )+ (1 - R5 )(R3 - R1 �" R2 �" R3)
"R4
"RM
"(5) = = (R1 + R3 - R1 �" R3)(R2 + R4 - R2 �" R4)- (R1 �" R2 + R3 �" R4 - R1 �" R2 �" R3 �" R4)
"R5
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 31 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
" = max{"(1), "(2), "(3), "(4), "(5)}
1d"id"5
Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność
Ri = R dla i = 1,2,3,4,5
to
"1 = "2 = "3 = "4 = R(R + R - R �" R)(1 - R) + (1 - R)(R - R �" R �" R) =
= (R - R2)(2R - R2)+ (1 - R)(R - R3)= 2R2 - R3 - 2R3 + R4 + R - R3 - R2 + R4 =
= R + R2 - 4R3 + 2R4
"(5) = (R + R - R �" R)(R + R - R �" R)- (R �" R + R �" R - R �" R �" R �" R)=
= (2R - R2)(2R - R2)-(R2 + R2 - R4)= 4R2 - 2R3 - 2R3 + R4 - 2R2 + R4 =
= 2R2 - 4R3 + 2R4
R + R2 - 4R3 + 2R4 ( < = > ) 2R2 - 4R3 + 2R4
R + R2 - 4R3 + 2R4 > 2R2 - 4R3 + 2R4
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 32 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
" = max{"(1), "(2), "(3), "(4), "(5)}
1d"id"5
Gdyby przyjąć, że elementy struktury mostkowej mają wszystkie tę samą niezawodność
Ri = R dla i = 1,2,3,4,5
to
"1 = "2 = "3 = "4 = R(R + R - R �" R)(1 - R) + (1 - R)(R - R �" R �" R) =
= (R - R2)(2R - R2)+ (1 - R)(R - R3)= 2R2 - R3 - 2R3 + R4 + R - R3 - R2 + R4 =
= R + R2 - 4R3 + 2R4
"(5) = (R + R - R �" R)(R + R - R �" R)- (R �" R + R �" R - R �" R �" R �" R)=
= (2R - R2)(2R - R2)-(R2 + R2 - R4)= 4R2 - 2R3 - 2R3 + R4 - 2R2 + R4 =
= 2R2 - 4R3 + 2R4
R + R2 - 4R3 + 2R4 ( < = > ) 2R2 - 4R3 + 2R4
R + R2 - 4R3 + 2R4 > 2R2 - 4R3 + 2R4
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 33 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2
5. Podsumowanie
W ramach wykładu przedstawiono niżej przedstawione zagadnienia.
f& Pojęcie struktury niezawodnościowej.
f& Klasyfikacje struktur niezawodnościowych i elementów struktur niezawodnościowych.
f& Syntetycznie przypomniano problematykę niezawodności systemów/obiektów o niezawodno-
ściowych strukturach prostych (szeregowych, równoległych, równoległo-szeregowych, szere-
gowo-równoległych).
f& Ogólna formuła niezawodności  metoda dekompozycji prostej, wyprowadzenie i postać ma-
tematyczna, zastosowanie dla niezawodnościowych struktur prostych.
f& Niezawodność systemów/obiektów o niezawodnościowych strukturach złożonych  systemy
o strukturze mostkowej, systemy o strukturach progowych.
f& Sterowanie niezawodnością systemów/obiektów  reguła maksymalnej wrażliwości, sterowa-
nie niezawodnością struktur prostych i złożonych.
Plik: TL_Złożone_Struktury_Niezawodnościowe_[v1]_p_s.doc 34 / 34
A. KADZIC
SKI, WYBRANE ZAGADNIENIA STRUKTURALNEJ NIEZAWODNOŚCI SYSTEMÓW ZBUDOWANYCH Z ELEMENTÓW DWUSTANOWYCH. CZ. 2