Rachunek wektorów
1. Przypomnienie
Niech Rk będzie zbiorem ciągów k wyrazowych utworzonych z liczb rzeczywistych. Zbiór Rk
nazywamy przestrzenią wektorową k  wymiarową, gdy ustalimy jak dodawać te ciągi oraz
jak je mno\
yć przez liczby.

Elementy zbioru Rk , (czyli te ciÄ…gi ) nazywamy wektorami i oznaczamy u = [u1 , u2 , & , uk]

oraz v = [v1 , v2 , & , vk] . Taki zapis będziemy nazywać wierszowym.
Niekiedy wektory wygodnie zapisywać w kolumnach (zapis kolumnowy) następująco:
u1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚u śł

2
ïÅ‚ śł
u = .
ïÅ‚ śł
...
ïÅ‚ śł
ðÅ‚uk ûÅ‚
Przykład 1.
1
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł

0
ïÅ‚ śł
a = [2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ] " R5 ; b = " R4.
ïÅ‚- 3
śł
ïÅ‚ śł
5
ðÅ‚ ûÅ‚
Definicja

a) Je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] przestrzeni Rk , to elementy u1 , u2 , & , uk nazywamy

składowymi wektora u .

b) Wektory u = v wtedy i tylko wtedy, gdy u1 = v1 , u2 = v2 , , & , uk = vk.
Czyli wektory danej przestrzeni są równe, gdy mają te same składowe.

c) Wektor [ 0, 0, & , 0] = 0 o zerowych składowych nazywamy wektorem zerowym.
Definicja

Je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] , v = [v1 , v2 , & , vk]

a) Sumą wektorów u , v nazywamy wektor

u + v = [u1 + v1, u2 + v2, & , uk + vk].

b) Iloczynem wektora u przez liczbÄ™ Ä… nazywamy wektor

Ä… u = [Ä… u1 , Ä… u2 , & , Ä… uk].
Definicja

Wektor -1 u = - u = [- u1 , - u2 , & , - uk] nazywamy wektorem przeciwnym

do wektora u .
Przykład 2.
1
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚-1 0
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł

4 0 4
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) + = ; 4 Å" a = 4Å" [2; -3,5; ½ ; 0,4; 7 ] = [8; -14; 2; 1,6; 28].
ïÅ‚- 3 3 6
śł ïÅ‚- śł ïÅ‚- śł
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
0 5 5
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2. Rachunek wektorów
Definicja

Ró\
nicą wektorów u , v nazywamy wektor u - v = u + (- v ).
Twierdzenie

Je\
eli m, n, sÄ… liczbami rzeczywistymi, a , b , c wektorami, to:

a) a + b = b + a ,

b) ( a + b ) + c = a + ( b + c ),

c) a + 0 = 0 + a ,

d) m ( a + b ) = m a + m b ,

e) ( m + n) a = m a + n a ,

f) a + (- a ) = a - a = 0 .
Przykład 3.

Oblicz a -2 b + 4 c , gdy a = [2, -1,2], b = [4, 0, -2], c = [ 0, -2, -1].
Mamy:

-2 b = -2 [4, 0, -2] = [-8, 0, 4],

4 c = 4 [ 0, -2, -1] = [ 0, -8, -4].
 Zatem

a -2 b + 4 c = [2, -1,2] - 2[4, 0, -2] + 4[ 0, -2, -1] =
= [2, -1,2] + [-8, 0, 4] + [ 0, -8, -4] =
= [-6, -1, 6] + [ 0, -8, -4] =
= [-6, -9, 2].

Ostatecznie a -2 b + 4 c = [-6, -9, 2].
Definicja

Wektory a , b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista k,

\
e a = k b .
Iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy
Definicja

Je\
eli u = [u1 , u2 , & , uk] , v = [v1 , v2 , & , vk], to iloczynem skalarnym wektorów

u , v nazywamy liczbÄ™ u " v = u1v1 + u2 v2 + & + ukvk .

Zamiast u " v piszemy u Å" v .
Å"
Å"
Å"
Przykład 4.

Oblicz b Å" c , gdy b = [4, 0, -2], c = [ 0, -2, -1].
Å"
Å"
Å"

Mamy b Å" c = [4, 0, -2] Å" Å" 0 + 0 Å" Å" (-1) = 2.
Å" Å" [ 0, -2, -1] = 4 Å" Å" (-2) + (-2) Å"
Å" Å" Å" Å" Å"
Å" Å" Å" Å" Å"
Definicja

Niezerowe wektory a , b są prostopadłe ( a Ą" b ) wtedy i tylko wtedy, gdy

a Å" b = 0.
Twierdzenie

1
Niech ą będzie miarą kąta między wektorami u , v , wtedy cos ą = u " v .
| u | Å" | v |
Definicja

Długością wektora u = [u1 , u2 , & , uk] nazywamy liczbę | u | równą
(u1)2 + (u2 )2 + ...+ (uk )2 .
Definicja

Je\
eli u = [u1 , u2 , u3] , v = [v1 , v2 , v3] oraz nie są one wektorami równoległymi,


to iloczynem wektorowym wektorów u , v nazywamy wektor r oznaczany


r = u × v o skÅ‚adowych [u2 v3 - v2 u3, u3v1 - v3 u1, u1 v2 - v1 u2].

Czyli u × v = [u2 v3 - v2 u3, u3v1 - v3 u1, u1 v2 - v1 u2].
Twierdzenie


a) Je\
eli r = u × v , to wektor r jest prostopadÅ‚y do wektorów u , v .

b) u × v = - v × u .

c) u × ( v × v ) = u × v + u × v .
1 2 1 2.


d) DÅ‚ugość wektora r = u × v dana jest wzorem | r | = | u | | v | sin Ä… , gdzie

ą jest miarą kąta między wektorami u , v .
Przykład 5.

Wyznacz iloczyn wektorowy wektorów a = [-2, 3, 1] , b = [-1, 2, 0].

Mamy a × b = [-2, 3, 1] × [-1, 2, 0] = [x, y, z], gdzie
x = 3Å" Å" 1 = -2, y = 1Å" Å" (-2) = -1, z = (-2) Å" Å"3 = -1.
Å" 0  2Å" Å" (-1)  0 Å" Å" 2  (-1) Å"
Å" Å" Å" Å" Å" Å"
Å" Å" Å" Å" Å" Å"

Zatem a × b =[ -2, -1, -1].
Twierdzenie

Pole S trójkąta zbudowanego na parze wektorów u = [u1 , u2 , u3] , v = [v1 , v2 , v3]
wychodzących z jednego punktu jest równe połowie długości iloczynu wektorowego

wektorów u , v , czyli S = ½ | u × v |.
Przykład 6.

Oblicz pole S trójkąta zbudowanego na wektorach a = [-2, 3, 1] , b = [-1, 2, 0].

Z przykÅ‚adu 4. mamy a × b =[ -2, -1, -1].

Zatem S = ½ | a × b | = korzystajÄ…c ze wzoru na dÅ‚ugość wektora
= ½ (-2)2 + (-1)2 + (-1)2 = ½ 6 .
Ćwiczenia

1. Dane sÄ… wektory a = [-2, -3] , b = [2, 0], c = [ 4, -1] . Wyznacz wektory:

a) a +4 b , b) b - (- c ) ,

c) 5 a -3b b + 4 c , d) 4 b - 2 c .


2. Dane sÄ… wektory u = 2 a - 3 b , v = -3 c + 5 a . Wyznacz wektory:


a) -4 u - 6 v , b) 5 c - 4 ( u - 6 v ).

3. Dane sÄ… wektory a = [-2, 3, 1] , b = [-1, 2, 0], c = [-9, 4, -1] . Oblicz:

a) a - 2 b + 3 c , b) (2 b Å" a ) Å" c ,

c) -2 a Å" b - c Å" b , d) ( -4 b - (-2 c ) ) Å" a + 5.
4. Przedstaw wektor [3, -2, 5] jako kombinację liniową wektorów:
a) [ 3, - 2, 5], [1, 1, 1], [0, 1, 2],
b) [ 0, - 1, 1], [1, 1, 1], [-1, 1, 0].

5. Sprawdz
, czy są prostopadłe, czy są równoległe wektory u , v , gdy:

a) u = [-2, 3, 1] , v = [-1, 2, 0],


b) u = a - b , v = a + b ,


c) u = - 3 a - 3( b - a ) , v = -7 b .

6. Dane sÄ… wektory a = [-2, 0, 4, 1] , b = [-1, 2, 0, 0], c = [0, 4, -1, 2] .
Oblicz długość wektora:

a) a ,

b) - b -2 c .

c) 6 a - ( b - 2 c ) Å"(-2) .
7. Wyznacz miarę kąta między wektorami:
a) [0, 0, 0, -1] , [-1, 0, 0, 0],
b) [0, 4] , [ -1, 2] .

8. Dane sÄ… wektory a = [-2, 1, 1] , b = [-1, 3, 0]. Sprawdz
, czy są równoległe wektory:

a) a × 2 b i a × 4 b ,

b) -3 a × 4 b i 5 a × (-2 b ).

9. Dane sÄ… wektory a = [-1, 1, 1] , b = [1, -2, 0]. Sprawdz
, czy są prostopadłe wektory:

a) a × 2 b i -3 a × b ,

b) -3 a × 4 b i 5 a × (-2 b ).

10. Wiadomo, \
e | a | = 3, | b | = 4 oraz a Å" b = 6.

a) Oblicz miarę kąta między wektorami a i b .

b) Oblicz pole trójkąta rozpiętego na wektorach a i b .