RACHUNEK WEKTOROWY
1. Wyznaczyć współrzędne wierzchołka D równoległoboku ABCD jeżeli
A = (0, 0, 0), B = (3, -2, 1) i C = (0, 4, -2). Wyznaczyć współrzędne punktu
przecięcia przekątnych tego równoległoboku.
2. Obliczyć dÅ‚ugość wektora u =ð 2a -ð b +ð 3c jeżeli a =ð [1, 0, -ð 2], b =ð [ð0, 2, -ð 3]ð
i c =ð [1, -ð1, 2].
3. Wyznaczyć kosinusy kierunkowe wektora u =ð [1, -ð1, 2].
rð rð
4. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów p =ð [ð1, 2 -ð1]ð i q =ð [ð-ð1, 1, -ð 2]ð.
rð rð
rð rð rð rð
rð rð
5. Wyznaczyć kÄ…t miÄ™dzy wektorami u =ð 2i +ð 3 j -ð k i v =ð 13i -ð 6 j +ð 8k .
rð
6. Dla jakiej wartoÅ›ci parametru m wektory u =ð [ð2, 3, -ð1]ð i
rð
v =ð [ðm, -ð 7, m +ð1]ð sÄ… prostopadÅ‚e?
7. Wykazać, że czworokąt o wierzchołkach A = (-3, 5, 6), B = (1, -5, 7), C = (8, -3, -1)
i D = (4, 7, -2) jest kwadratem.
rð rð rð
rð rð rð rð
rð
8. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów a =ð 2i +ð 3 j +ð 5k i b =ð i +ð 2 j +ð k .
rð rð rð
rð rð rð rð rð rð
9. UproÅ›cić wyrażenie i ´ð(ð2i +ð j -ð k)ð+ð(ði +ð k)ð´ð(ð2i -ð j +ð k)ð.
10. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (2, 3, 4) i C = (4, 3, 2).
Obliczyć długość wysokości opuszczonej z wierzchołka B.
rð rð
11. Znalez
ć wektor jednostkowy x prostopadÅ‚y do wektorów u =ð [ð2, -ð1, 1]ð i
rð
v =ð [ð1, 2, -ð1]ð.
rð rð
rð rð rð rð
rð rð
12. Wyznaczyć iloczyn mieszany wektorów u =ð 2i -ð j -ð k , v =ð i +ð 3 j -ð k i
rð
rð rð
rð
w =ð i +ð j +ð 4k .
13. Wykazać, że punkty A = (1, 2, -1), B = (0, 1, 5), C = (-1, 2, 1) i D = (2, 1, 3) leżą
w jednej płaszczyz
nie.
14. Dany jest czworościan o wierzchołkach w punktach A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 1),
C = (1, 1, 7) i D = (3, 4, 9). Obliczyć jego objętość oraz długość wysokości
poprowadzonej z wierzchołka D.
rð rð rð
15. Sprawdzić, czy wektory u =ð [ð3, -ð 2, 1]ð, v =ð [ð2, 1, 2]ð i w =ð [ð3, -ð1, -ð 2]ð sÄ…
komplenarne.